專業(yè)課 微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)十八講 十八講答案最靠譜但也有爭(zhēng)議 第七講

第七講 要素需求函數(shù)平新喬微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)十八講答案EatingN第七講 要素需求函數(shù)、成本函數(shù)、利潤函數(shù)與供給函數(shù)1 已知生產(chǎn)函數(shù)為，求利潤函數(shù)，并用兩種方法求供給函數(shù)解：由廠家利潤最大化的一階條件，求得要素需求函數(shù)，此時(shí)廠商的利潤函數(shù)為廠商的供給函數(shù)為，該供給函數(shù)也可以通過利潤函數(shù)對(duì)求偏導(dǎo)得到2 已知成本函數(shù)為，求廠商供給函數(shù)與利潤函數(shù)解：廠家利潤最大化一階條件是，由此得到供給函數(shù)，以及利潤函數(shù)3 下列說法對(duì)么？為什么？函數(shù)可以成為一個(gè)利潤函數(shù)答：不對(duì)因?yàn)樵摵瘮?shù)對(duì)不是一次齊次函數(shù)，因此它不可以成為一個(gè)利潤函數(shù)4 在一篇著名的論文里（J. Viner: “Cost Curves and Supply Curves”. Zeitschrift fur Nationalokonomie 3 (September 1931): 23 46），維納批評(píng)他的繪圖員不能畫出一組SATC曲線，并令其與U型AC線的切點(diǎn)也分別是每一條SATC線的最低點(diǎn)繪圖員抗議說這種畫法是不可能做出的在這一辯論中，你將支持哪一方？我支持繪圖員如果AC與所有SATC線最低點(diǎn)相切，那么它將有多個(gè)斜率為零的點(diǎn)，根據(jù)微分中值定理，這意味AC上存在多個(gè)二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)又AC是U型，即至多有一個(gè)二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)這兩者是矛盾的5 施教授與紀(jì)教授將出版一本新的初級(jí)教科書作為真正的科學(xué)家，他們提供了寫作該書的生產(chǎn)函數(shù)如下 ，其中完成該書的頁碼數(shù)，施教授將要支出的工作時(shí)間（小時(shí)）數(shù)，紀(jì)教授花費(fèi)的工作小時(shí)數(shù)施教授認(rèn)為其每小時(shí)工作價(jià)值為3美元，他花費(fèi)了900小時(shí)準(zhǔn)備初稿紀(jì)教授的每小時(shí)工作價(jià)值為12美元，并將修改施教授的初稿以完成此書5.1 紀(jì)教授必須花費(fèi)多少小時(shí)，以完成一本具有下列頁數(shù)的書：150頁？360頁？450頁？解：將與代入，得到紀(jì)教授必須花費(fèi)的時(shí)間分別為小時(shí)，小時(shí)和小時(shí)5.2 一本150頁的成書的邊際成本是多少？300頁的書的邊際成本是多少？450頁的書的邊際成本是多少？解：當(dāng)時(shí)，該書的生產(chǎn)成本函數(shù)為它的邊際成本為代入代入上式，得邊際成本分別是4美元，8美元和12美元6 假定廠商生產(chǎn)函數(shù)為柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)，有 ，其中廠商可以在競(jìng)爭(zhēng)性投入市場(chǎng)購買租金價(jià)格分別為與的任意數(shù)量的與6.1 證明成本最小化要求 該廠商的生產(chǎn)擴(kuò)張線的形狀是什么？證明：成本最小化要求，代入，即得到結(jié)論因?yàn)?，因此該廠商的生產(chǎn)擴(kuò)張線是一條射線6.2 假定成本最小化，證明總成本可以表示為下述的關(guān)于，與的函數(shù) 這里，是依賴于與的常量證明：代入中，得到，解出 將代入，得到 因此生產(chǎn)成本就可以表示為令，則得到欲證結(jié)論7 假定廠商固定要素比例的生產(chǎn)函數(shù)如下 資本與勞動(dòng)的租金價(jià)格分別為，7.1 計(jì)算廠商的長期總成本、平均成本與邊際成本解：廠商的要素需求函數(shù)為，因此長期總成本為，平均成本和邊際成本恒為7.2 假定在短期內(nèi)固定為10，計(jì)算：廠商的短期總成本、平均成本與邊際成本，第10單位的邊際成本是多少？第50單位呢？第100單位呢？解：廠商的短期生產(chǎn)函數(shù)為因此，當(dāng)時(shí) ， ，由此，可以得到第10和第50單位的邊際成本為0.3，而第100個(gè)單位是無法達(dá)到的，這時(shí)我們可以認(rèn)為它的邊際成本為正無窮大8 假定某曲棍球生產(chǎn)廠商的生產(chǎn)函數(shù)是 在短期，廠商的資本裝備數(shù)量固定為的租金價(jià)格為元，的工資率為元8.1 計(jì)算廠商的短期總成本曲線解：8.2 廠商的短期邊際成本函數(shù)是什么？如果生產(chǎn)25個(gè)曲棍球棒，則廠商的短期平均成本與短期邊際成本是多少？若生產(chǎn)數(shù)量分別為50、100與200時(shí)，它們又是多少？解：，由此可得當(dāng)生產(chǎn)數(shù)量分別為50、100和200時(shí)，短期平均成本分別為2.5，2和2.5，短期邊際成本分別為1，2和48.3 畫出廠商的短期成本曲線和短期邊際成本曲線標(biāo)出2中所求的點(diǎn)12001005042.528.4 短期邊際成本曲線與短期平均成本曲線在何處相交？解釋為什么短期邊際成本曲線將通常交于短期平均曲線的最低點(diǎn)解：兩者在短期平均成本曲線最低點(diǎn)相交當(dāng)多生產(chǎn)的一單位產(chǎn)品的成本低于平均成本時(shí)，平均成本下降；而多生產(chǎn)的一單位產(chǎn)品的成本多于平均成本時(shí)，平均成本上升因此，當(dāng)多生產(chǎn)一單位產(chǎn)品的成本（即邊際成本）等于平均成本時(shí)，平均成本最低9 一個(gè)富有進(jìn)取心的企業(yè)家購買了兩個(gè)工廠以生產(chǎn)裝飾品每個(gè)工廠生產(chǎn)相同的產(chǎn)品而且每個(gè)工廠的生產(chǎn)函數(shù)都是 ，每個(gè)工廠在各自擁有的資本存量方面卻不同工廠1擁有，工廠2擁有與的租金價(jià)格由元給出9.1 如果該企業(yè)家試圖最小化短期生產(chǎn)總成本，則產(chǎn)出應(yīng)如何在兩個(gè)工廠分配？解：廠商的最大化問題是其一階條件為 代入約束條件，得到，因此，9.2 給定在兩個(gè)工廠間的最優(yōu)產(chǎn)量分配，計(jì)算短期總成本、平均成本與邊際成本曲線產(chǎn)量為100、125與200時(shí)的邊際成本為多少？解：由上題知，所以，同時(shí)，因此，產(chǎn)量為100、125與200時(shí)的邊際成本分別為，2和9.3 在長期，應(yīng)如何在兩個(gè)工廠間分配產(chǎn)量？計(jì)算長期總成本、平均成本與邊際成本解：設(shè)兩個(gè)工廠的的長期總成本為 事實(shí)上這個(gè)假定是不必要的如果假定兩個(gè)工廠的生產(chǎn)函數(shù)不同，那么最后的結(jié)論就是兩個(gè)廠的邊際成本相等的條件隱性地確定了的值，長期邊際成本，又設(shè)總產(chǎn)量為，令，那么廠商的問題是確定一個(gè)值，使最小其一階條件為，因?yàn)榧夹g(shù)呈現(xiàn)規(guī)模報(bào)酬不變，不變，因此任意均滿足該條件，使得總成本最低成本函數(shù)為，而產(chǎn)量可以在兩個(gè)廠任意分配平均成本，邊際成本9.4 如果兩個(gè)工廠呈現(xiàn)規(guī)模報(bào)酬遞減，則3將會(huì)有什么變化解：因?yàn)閮蓚€(gè)工廠均呈現(xiàn)規(guī)模報(bào)酬遞減，則它們的長期邊際成本隨各自的產(chǎn)量增加而單調(diào)遞增9.3中的一階條件仍可用于確定分配比例當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，我加上了下標(biāo)1和2，以說明這兩個(gè)LMC并非同一個(gè)函數(shù)注 在9.4中寫出的一階條件確實(shí)與9.3的相同，9.4把條件寫全是因?yàn)楫?dāng)時(shí)確實(shí)可能出現(xiàn)的情況，因?yàn)槲覀儾恢繪MC的具體形式10 假定某曲棍球棒廠商的生產(chǎn)函數(shù)是 而資本在短期固定為、的租金分別為和10.1 計(jì)算廠商的總成本為，和的函數(shù)解：當(dāng)時(shí)，此時(shí)廠商的短期總成本為 10.2 給定，與，資本投入應(yīng)如何加以選擇以使成本最?。拷猓毫?，得到10.3 用你在2中求得的結(jié)果去計(jì)算曲棍球棒生產(chǎn)的長期總成本解：令中，就可以得到曲棍球棒生產(chǎn)的長期總成本為10.4 對(duì)于美元，美元，試畫出曲棍球棒生產(chǎn)的長期總成本曲線運(yùn)用，與證明它是由1所算出的短期成本曲線的包絡(luò)線解：此時(shí)，與時(shí)的短期成本分別為，它們分別與切于、和，因此是以上短期成本曲線的包絡(luò)線11 下列說法對(duì)嗎？為什么？因?yàn)槔麧欁畲蠡浅杀咀钚』某浞謼l件，所以要素需求函數(shù)具有條件要素需求函數(shù)的所有性質(zhì)說明：對(duì)與利潤最大化是成本最小化的充分條件對(duì)應(yīng)，要素需求函數(shù)就是產(chǎn)量最優(yōu)時(shí)的條件要素需求函數(shù)，因此要素需求函數(shù)具有條件要素需求函數(shù)的所有性質(zhì)注 本題解答僅作參考個(gè)人認(rèn)為這道題中的“所有性質(zhì)”需要有個(gè)更明確的界定12 函數(shù)可以成為一個(gè)成本函數(shù)么？（這里是工資率，是利率，為產(chǎn)量）并請(qǐng)陳述您的理由答：因?yàn)檫`反了成本關(guān)于要素價(jià)格具有一次齊次性的要求，它不可以成為一個(gè)成本函數(shù)13 推導(dǎo)成本函數(shù)，當(dāng)生產(chǎn)函數(shù)分別為以下形式時(shí)13.1 解：，因此，當(dāng)時(shí)，令，得到，當(dāng)時(shí)，令，得到綜上，13.2 解：因?yàn)?，因此成本函?shù)13.3 解： s.t. 一階條件滿足 代入生產(chǎn)函數(shù)，得，其中所以14 下列說法對(duì)么？為什么？14.1 當(dāng)邊際成本下降時(shí)，平均成本必下降答：記是固定成本若在上連續(xù)記，那么，其中（因?yàn)檫呺H成本下降），那么有，因此有，所以平均成本下降注 我假設(shè)是我們?cè)诮?jīng)濟(jì)學(xué)課本里面經(jīng)?？吹降某杀厩€圖邊際成本下降之后上升，然后與平均成本曲線相交于平均成本的最低點(diǎn)，此后邊際成本均大于平均成本，并同時(shí)上升下同14.2 當(dāng)邊際成本上升時(shí)，平均成本必上升答：不一定從上題的角度，此時(shí)，但是因?yàn)橛泄潭ǔ杀臼沟玫姆?hào)不能確定15 對(duì)于生產(chǎn)函數(shù)，計(jì)算利潤最大化的利潤函數(shù)、供給函數(shù)并判斷利潤函數(shù)是否滿足課本上講過的性質(zhì)1到4解：利潤最大化的一階條件為，其中，為要素的價(jià)格，為產(chǎn)出價(jià)格解得，（）其中為供給對(duì)性質(zhì)一的驗(yàn)證：對(duì)性質(zhì)二的驗(yàn)證：對(duì)性質(zhì)三的驗(yàn)證：對(duì)性質(zhì)四的驗(yàn)證：有；，；，由此得到，為半正定矩陣，即對(duì)和是凸函數(shù)對(duì)性質(zhì)五的驗(yàn)證：對(duì)和可導(dǎo)以及霍泰林引理的驗(yàn)證在對(duì)性質(zhì)一和二的驗(yàn)證中已經(jīng)完成16 求證：在競(jìng)爭(zhēng)型的市場(chǎng)中，如果一個(gè)廠商的生產(chǎn)技術(shù)具有規(guī)模報(bào)酬不變的特性，那么如果最大利潤存在，它一定為零證明：廠商生產(chǎn)技術(shù)規(guī)模報(bào)酬不變，意味著它沒有固定成本；因此，當(dāng)最大利潤為負(fù)時(shí)，廠商可以選擇生產(chǎn)規(guī)模為零，使得利潤為零又假設(shè)最大利潤大于零，那么考慮這個(gè)廠商將生產(chǎn)規(guī)模擴(kuò)大一倍根據(jù)競(jìng)爭(zhēng)性市場(chǎng)的假設(shè)，這時(shí)產(chǎn)出價(jià)格不會(huì)變化，總收益為原來的兩倍，同時(shí)（仍根據(jù)競(jìng)爭(zhēng)性假設(shè)）要素價(jià)格也不會(huì)變化，它和廠商技術(shù)規(guī)模報(bào)酬不變一起決定了總成本等于原來的兩倍，這就意味著利潤等于原來利潤的兩倍，也就是說，最大利潤如果存在，它不可能大于零綜上，如果最大利潤存在，它一定為零17 說明生產(chǎn)者剩余也能由如下運(yùn)算得出：這里是市場(chǎng)給出的價(jià)格，企業(yè)是價(jià)格接受者說明：無法說明這僅僅在企業(yè)邊際成本在上非減才會(huì)成立18 假定一個(gè)從事非法復(fù)制計(jì)算機(jī)光碟的廠商有如下每日短期總成本函數(shù)： 18.1 如果非法復(fù)制的計(jì)算機(jī)光碟每盤賣20元，則這個(gè)廠商每天生產(chǎn)多少？它的利潤是多少？解：令廠商短期邊際成本等于20，即，得到廠商每天生產(chǎn)10張光碟，其利潤為每天75元18.2 當(dāng)元時(shí)，廠商的短期生產(chǎn)者剩余是多少？解：其生產(chǎn)者剩余等于利潤加固定成本，由上題結(jié)果知其利潤為75元，固定成本25元，因此生產(chǎn)者剩余為100元18.3 寫出這個(gè)廠商的生產(chǎn)者剩余作為非法光碟價(jià)格的一般表達(dá)式解：由邊際成本等于價(jià)格，得，那么利潤為，加上固定成本得到生產(chǎn)者剩余19 給出下列論斷不成立的反例19.1 平均成本在任何地方都遞減，意味著邊際成本在任何地方都遞減反例：考慮平均可變成本存在最低點(diǎn)，且存在固定成本的情況這使得邊際成本先與平均可變成本最低點(diǎn)相交，然后與平均成本最低點(diǎn)相交很明顯在于平均成本相交之前，邊際成本是遞增的，而平均成本遞減圖形可以參考十八講122的圖7.2檢查到這里19.2 成本函數(shù)呈次可加性意味著平均成本在任何地方都遞減反例：如果說成本函數(shù)次可加性是定義為存在，使得，那么一個(gè)反例就是可以假設(shè)一個(gè)離散的生產(chǎn)技術(shù)因?yàn)檫f減是建立在函數(shù)的連續(xù)性上的，因此一個(gè)離散的生產(chǎn)函數(shù)在滿足成本次可加性（這很容易找到）的同時(shí)，卻沒有平均成本的遞減20 學(xué)習(xí)曲線的出現(xiàn)與規(guī)模報(bào)酬遞增是一回事么？如果不是，請(qǐng)說明兩者之間的區(qū)別答：不是學(xué)習(xí)曲線屬于累積產(chǎn)量對(duì)當(dāng)期成本函數(shù)本身的影響，而規(guī)模報(bào)酬遞增是產(chǎn)量（流量）增大時(shí)，成本函數(shù)呈現(xiàn)的一種性質(zhì)21 有學(xué)者對(duì)美國化工行業(yè)的平均成本，行業(yè)的累積產(chǎn)量，以及企業(yè)平均規(guī)模做