二次曲線(xiàn)的直徑.doc

5.5 二次曲線(xiàn)的直徑1二次曲線(xiàn)的直徑我們已經(jīng)討論了直線(xiàn)與二次曲線(xiàn)相交的各種情況當(dāng)直線(xiàn)平行于二次曲線(xiàn)的某一非漸近方向時(shí)，這條直線(xiàn)與二次曲線(xiàn)總交于兩點(diǎn)（兩個(gè)不同的實(shí)點(diǎn)，兩個(gè)重合的實(shí)點(diǎn)或一對(duì)共軛的虛點(diǎn)），這兩點(diǎn)決定了二次曲線(xiàn)的一條弦現(xiàn)在我們來(lái)研究二次曲線(xiàn)上一族平行弦的中點(diǎn)軌跡命題5.5.1 二次曲線(xiàn)的一族平行弦的中點(diǎn)軌跡是一條直線(xiàn)證 設(shè)X : Y是二次曲線(xiàn)的一個(gè)非漸近方向，即F (X，Y) 0，而 (x0，y0 ) 是平行于方向X : Y的弦的中點(diǎn)，那么過(guò) ( x0，y0 ) 的弦為它與二次曲線(xiàn)F (x，y) = 0的兩交點(diǎn)（即弦的兩端點(diǎn)）由如下二次方程 F (X，Y) F ( x0, y0 ) = 0(2)的兩根與所決定，因?yàn)?( x0, y0 ) 為弦的中點(diǎn)，根據(jù)前面關(guān)于中心的有關(guān)討論，必有 = 0從而有這說(shuō)明平行于方向X : Y的弦的中點(diǎn) ( x0，y0 ) 的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程 (3)即也就是(5.51)反過(guò)來(lái)，如果點(diǎn) ( x0，y0 ) 滿(mǎn)足方程（5.51），那么方程（2）將有絕對(duì)值相等而符號(hào)相反的兩個(gè)根，點(diǎn) ( x0，y0 ) 就是具有方向XY的弦的中點(diǎn)，因此方程（5.51）為一族平行于某一非漸近方向XY的弦的中點(diǎn)軌跡的方程方程（5.51）的一次項(xiàng)系數(shù)不能全為零，這是因?yàn)楫?dāng)時(shí)，將有這與XY是非漸近方向的假設(shè)矛盾，所以（5.51）是一個(gè)二元一次方程，它是一條直線(xiàn)命題得證定義5.5.1 二次曲線(xiàn)的平行弦中點(diǎn)的軌跡叫做這個(gè)二次曲線(xiàn)的直徑，它所對(duì)應(yīng)的平行弦，叫做共軛于這條直徑的共軛弦；而直徑也叫做共軛于平行弦方向的直徑如前所述，斜率k = Y / X對(duì)應(yīng)方向X : Y，故有推論 如果二次曲線(xiàn)的一族平行弦的斜率為k，那么共軛于這族平行弦的直徑方程是(5.52)這里定義的二次曲線(xiàn)的直徑是一條實(shí)直線(xiàn)而不是一條線(xiàn)段，因?yàn)槠叫杏谀硞€(gè)非漸近方向的平行弦不論是兩實(shí)點(diǎn)的連線(xiàn)還是兩虛點(diǎn)的“連線(xiàn)”，它們的中點(diǎn)都是實(shí)點(diǎn)，這些實(shí)點(diǎn)構(gòu)成一條實(shí)直線(xiàn)而不僅僅是一條實(shí)線(xiàn)段認(rèn)為直徑是一條直線(xiàn)，這與以往所說(shuō)的圓的直徑是一條線(xiàn)段是有區(qū)別的在大多數(shù)情況下，把包括圓在內(nèi)的所有二次曲線(xiàn)的直徑都看成直線(xiàn)更便于進(jìn)行理論討論由于二次曲線(xiàn)的非漸近方向X : Y一般有無(wú)窮多個(gè)，從方程（3）或（5.52）可以看出，如果F1 (x，y) = 0和F2 (x，y) = 0表示兩條不同的直線(xiàn)，方程（5.51）表示的直線(xiàn)就構(gòu)成一個(gè)平面直線(xiàn)束記此直線(xiàn)束為H，則H具有如下的性質(zhì)：當(dāng)時(shí)H為中心直線(xiàn)束，當(dāng)時(shí)H為平行直線(xiàn)束；如果F1(x，y) = 0和F2(x，y) = 0表示同一直線(xiàn)，這時(shí)，那么（3）或（5.52）只表示一條直線(xiàn)如果F1(x，y) = 0和F2(x，y) = 0中有一個(gè)為矛盾方程，比如F1(x，y) = 0中a11= a12 = 0，這時(shí)成立且（3）或（5.52）仍表示一平行直線(xiàn)束；若F1 (x, y) = 0和F2 (x, y) = 0中有一個(gè)為恒等式，比如F1 (x, y) = 0中a11 = a12 = a13= 0，則成立，（3）或（5.52）只表示一條直線(xiàn)因此當(dāng)，即二次曲線(xiàn)為中心曲線(xiàn)時(shí)，它的全部直徑屬于一個(gè)中心直線(xiàn)束，這個(gè)直線(xiàn)束的中心就是二次曲線(xiàn)的中心；當(dāng)，即二次曲線(xiàn)為無(wú)心曲線(xiàn)時(shí)，它的全部直徑屬于一個(gè)平行直線(xiàn)束，它的方向?yàn)槎吻€(xiàn)的漸近方向XY =:=:；當(dāng)，即二次曲線(xiàn)為線(xiàn)心曲線(xiàn)時(shí)，二次曲線(xiàn)只有一條直徑，它的方程是 (或)即線(xiàn)心二次曲線(xiàn)的中心直線(xiàn)，因此我們有：命題5.5.2 中心二次曲線(xiàn)的直徑通過(guò)曲線(xiàn)的中心，無(wú)心二次曲線(xiàn)的直徑平行于曲線(xiàn)的漸近方向，線(xiàn)心二次曲線(xiàn)的直徑只有一條，就是曲線(xiàn)的中心直線(xiàn)圖5.5.1給出了三種二次曲線(xiàn)的直徑的情形，圖中直徑用粗線(xiàn)畫(huà)出（a）中心曲線(xiàn)，直徑是中心直線(xiàn)束（b）無(wú)心曲線(xiàn)，直徑是平行直線(xiàn)束（c）線(xiàn)心曲線(xiàn)，直徑是一條直線(xiàn)圖5.5.1例1 求橢圓或雙曲線(xiàn)的直徑解 F (x，y)， F1(x，y)， F2(x，y)根據(jù)（3），共軛于非漸近方向XY的直徑方程是顯然，直徑通過(guò)曲線(xiàn)的中心（0，0）例2 求拋物線(xiàn)2px的直徑解F (x，y)2px 0F1(x，y)p，F(xiàn)2(x，y) y共軛于非漸近方向XY的直徑為X p Y y0即y所以?huà)佄锞€(xiàn)2px的直徑平行于它的漸近方向10注 這里的XY是拋物線(xiàn)2px的任一非漸近方向拋物線(xiàn)2px的漸近方向是滿(mǎn)足齊次方程= 0的解當(dāng)Y = 0時(shí)，X 0，因而解是1 : 0而直徑y(tǒng) = pX / Y的方向恰是10，這也是x軸的方向例3 求二次曲線(xiàn)F (x，y)的共軛于非漸近方向XY的直徑解 F1 (x，y)x y 1，F(xiàn)2 (x，y) x y 1 直徑方程為X (x y 1) Y ( x y 1)0即(X Y )(x y 1)0因?yàn)橐阎€(xiàn)F (x，y)0的漸近方向?yàn)閄 Y 11，所以對(duì)于非漸近方向XY一定有X Y,因此曲線(xiàn)的共軛于非漸近方向XY的直徑為x y 10它只有一條直徑事實(shí)上，所給的曲線(xiàn)是線(xiàn)心二次曲線(xiàn)，所以只有一條直徑2共軛方向與共軛直徑二次曲線(xiàn)的與非漸近方向XY共軛的直徑方程總可以寫(xiě)成（5.51）的形式，而（5.51）的方向是XY (5.53)我們稱(chēng)這個(gè)方向?yàn)榉菨u近方向XY的共軛方向根據(jù)（5.53），存在非零實(shí)數(shù)t，使得X t，Yt因此有因XY為非漸近方向，F(xiàn) (X, Y ) 0，而由所設(shè)t 0，因此當(dāng)I2 0，即二次曲線(xiàn)為中心二次曲線(xiàn)時(shí)，F(xiàn) (X , Y ) 0；當(dāng)I20，即二次曲線(xiàn)為非中心二次曲線(xiàn)時(shí)，F(xiàn) (X, Y )0因此有命題5.5.3 中心二次曲線(xiàn)的非漸近方向的共軛方向仍然是非漸近方向，而非中心二次曲線(xiàn)的非漸近方向的共軛方向是漸近方向由（5.53）得二次曲線(xiàn)的非漸近方向XY與它的共軛方向XY 之間的關(guān)系是(5.54)從（5.54）式看出，兩個(gè)方向XY與XY 是對(duì)稱(chēng)的，因此對(duì)中心曲線(xiàn)來(lái)說(shuō)，非漸近方向XY的共軛方向?yàn)榉菨u近方向X : Y，而: Y 的共軛方向就是XY任意給定一個(gè)非漸近方向XY，作一組平行于這個(gè)方向的平行弦，它們的中點(diǎn)就確定一條共軛于非漸近方向XY的直徑l，設(shè)其方向?yàn)閄 : Y若X : Y也是非漸近方向，則同樣由X : Y 也確定一條直徑l，l的方向必然是XY定義5.5.2 中心二次曲線(xiàn)的一對(duì)具有相互共軛方向的直徑叫做一對(duì)共軛直徑設(shè)，代入（5.54），得(5.55)這就是一對(duì)共軛直徑的斜率滿(mǎn)足的關(guān)系式例如橢圓的一對(duì)共軛直徑的斜率k與k 有關(guān)系即(4)而雙曲線(xiàn)的一對(duì)共軛直徑的斜率k與k 有關(guān)系(5)在（5.54）中，如果設(shè)XYXY那么有顯然此時(shí)XY為二次曲線(xiàn)的漸近方向因此如果對(duì)二次曲線(xiàn)的共軛方向從（5.54）作代數(shù)的推廣，那么漸近方向可以看成自共軛方向，從而漸近線(xiàn)也就可以看成與自己共軛的直徑從（14）看出，橢圓的任何一對(duì)共軛直徑的斜率k與k 都具有相反的符號(hào)（假定k與k 皆不為零），所以這一對(duì)共軛直徑不能在同一象限里（圖5.5.2）并且當(dāng)k 0而k值增大時(shí)，k 0而k值增大時(shí)，k 0而絕對(duì)值跟著減小這表示當(dāng)雙曲線(xiàn)的一條直徑繞中心逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)時(shí)，它的共軛直徑繞著中心順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)此外，如果一條直徑的斜率趨近于（或 ），其共軛直徑的斜率也趨近于（或 因此，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)是它的一對(duì)共軛直徑的極限位置這就更詳盡地說(shuō)明了可以把雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)看成它的直徑，即兩條重合的自共軛直徑圖5.5.2圖5.5.3由于例子中的討論是在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系中進(jìn)行的，若k與k 中有一個(gè)為零，則另一個(gè)必為無(wú)窮大，實(shí)際上此時(shí)一對(duì)共軛直徑是中心二次曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，也就是坐標(biāo)軸若根