高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.2.2反證法學(xué)案含解析新人教A版.docx

2.2.2反證法學(xué)習(xí)目標(biāo)1了解反證法是間接證明的一種基本方法2理解反證法的思考過程，會用反證法證明數(shù)學(xué)問題知識鏈接1有人說反證法就是通過證明逆否命題來證明原命題，這種說法對嗎？為什么？答這種說法是錯誤的，反證法是先否定命題，然后再證明命題的否定是錯誤的，從而肯定原命題正確，不是通過逆否命題證題命題的否定與原命題是對立的，原命題正確，其命題的否定一定不對2反證法主要適用于什么情形？答要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰；如果從正面證明，需要分成多種情形進(jìn)行分類討論，而從反面進(jìn)行證明，只要研究一種或很少的幾種情形預(yù)習(xí)導(dǎo)引1反證法定義假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，這種證明方法叫做反證法2反證法常見的矛盾類型反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾這個矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾等要點(diǎn)一用反證法證明“至多”“至少”型命題例1已知x，y0，且xy2.求證：，中至少有一個小于2.證明假設(shè)，都不小于2，即2，2.x，y0，1x2y,1y2x.2xy2(xy)，即xy2與已知xy2矛盾，中至少有一個小于2.規(guī)律方法對于含有“至多”、“至少”的命題適合用反證法，對于此類問題，需仔細(xì)體會“至少有一個”、“至多有一個”等字眼的含義，弄清結(jié)論的否定是什么，避免出現(xiàn)證明遺漏的錯誤跟蹤演練1已知a，b，c，dR，且abcd1，acbd1，求證：a，b，c，d中至少有一個是負(fù)數(shù)證明假設(shè)a，b，c，d都是非負(fù)數(shù)，abcd1，(ab)(cd)1.又(ab)(cd)acbdadbcacbd，acbd1.這與已知acbd1矛盾，a，b，c，d中至少有一個是負(fù)數(shù)要點(diǎn)二用反證法證明不存在、唯一性命題例2求證對于直線l：ykx1，不存在這樣的實(shí)數(shù)k，使得l與雙曲線C：3x2y21的交點(diǎn)A、B關(guān)于直線yax(a為常數(shù))對稱證明假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得A、B關(guān)于直線yax對稱，設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，則有(1)直線l：ykx1與直線yax垂直；(2)點(diǎn)A、B在直線l：ykx1上；(3)線段AB的中點(diǎn)在直線yax上，所以由得(3k2)x22kx20.當(dāng)k23時，l與雙曲線僅有一個交點(diǎn)，不合題意由、得a(x1x2)k(x1x2)2由知x1x2，代入整理得：ak3，這與矛盾所以假設(shè)不成立，故不存在實(shí)數(shù)k，使得A、B關(guān)于直線yax對稱規(guī)律方法證明“唯一性”問題的方法：“唯一性”包含“有一個”和“除了這個沒有另外一個”兩層意思證明后一層意思時，采用直接證法往往會相當(dāng)困難，因此一般情況下都采用間接證法，即用反證法(假設(shè)“有另外一個”，推出矛盾)或同一法(假設(shè)“有另外一個”，推出它就是“已知那一個”)證明，而用反證法有時比用同一法更方便跟蹤演練2求證方程2x3有且只有一個根證明2x3，xlog23，這說明方程2x3有根下面用反證法證明方程2x3的根是唯一的：假設(shè)方程2x3至少有兩個根b1，b2(b1b2)，則2b13,2b23，兩式相除得2b1b21.若b1b20，則2b1b21，這與2b1b21相矛盾若b1b20，則2b1b21)，證明方程f(x)0沒有負(fù)數(shù)根證明假設(shè)x0是f(x)0的負(fù)數(shù)根，則x00且x01且ax0，由0ax0101，解得x02，這與x00矛盾，所以假設(shè)不成立，故方程f(x)0沒有負(fù)數(shù)根1證明“在ABC中至多有一個直角或鈍角”，第一步應(yīng)假設(shè)()A三角形中至少有一個直角或鈍角B三角形中至少有兩個直角或鈍角C三角形中沒有直角或鈍角D三角形中三個角都是直角或鈍角答案B2用反證法證明“三角形中至少有一個內(nèi)角不小于60”，應(yīng)先假設(shè)這個三角形中()A有一個內(nèi)角小于60 B每一個內(nèi)角都小于60C有一個內(nèi)角大于60 D每一個內(nèi)角都大于60答案B3“abCab Dab或ab答案D4用反證法證明“在同一平面內(nèi)，若ac，bc，則ab”時，應(yīng)假設(shè)()Aa不垂直于c Ba，b都不垂直于cCab Da與b相交答案D5已知a是整數(shù)，a2是偶數(shù)，求證a也是偶數(shù)證明(反證法)假設(shè)a不是偶數(shù)，即a是奇數(shù)設(shè)a2n1(nZ)，則a24n24n1.4(n2n)是偶數(shù)，4n24n1是奇數(shù)，這與已知a2是偶數(shù)矛盾由上述矛盾可知，a一定是偶數(shù)1反證法證明的基本步驟(1)假設(shè)命題結(jié)論的反面是正確的；(反設(shè))(2)從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，推出與已知條件、公理、定義、定理、反設(shè)及明顯的事實(shí)矛盾；(推謬)(3)由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)論是正確的(結(jié)論)2用反證法證題要把握三點(diǎn)：(1)必須先否定結(jié)論，對于結(jié)論的反面出現(xiàn)的多種可能，要逐一論證，缺少任何一種可能，證明都是不全面的(2)反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行論證，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行論證，就不是反證法(3)反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個矛盾可以與已知矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾，但推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾這個矛盾可以是()與已知條件矛盾與假設(shè)矛盾與定義、公理、定理矛盾與事實(shí)矛盾A B C D答案D2已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b的位置關(guān)系為()A一定是異面直線 B一定是相交直線C不可能是平行直線 D不可能是相交直線答案C解析假設(shè)cb，而由ca，可得ab，這與a，b異面矛盾，故c與b不可能是平行直線故應(yīng)選C.3有下列敘述：“ab”的反面是“ay或x0，x11且xn1(n1,2，)，試證“數(shù)列xn對任意的正整數(shù)n都滿足xnxn1”，當(dāng)此題用反證法否定結(jié)論時應(yīng)為()A對任意的正整數(shù)n，有xnxn1B存在正整數(shù)n，使xnxn1C存在正整數(shù)n，使xnxn1D存在正整數(shù)n，使xnxn1答案D解析“任意”的反語是“存在一個”9設(shè)a，b，c都是正數(shù)，則三個數(shù)a，b，c()A都大于2B至少有一個大于2C至少有一個不小于2D至少有一個不大于2答案C解析假設(shè)a2，b2，c2，則6.又2226，這與假設(shè)得到的不等式相矛盾，從而假設(shè)不正確，所以這三個數(shù)至少有一個不小于2.10若下列兩個方程x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一個方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案a2或a1解析若兩方程均無實(shí)根，則1(a1)24a2(3a1)(a1)0，a.2(2a)28a4a(a2)0，2a0，故2a0，abbcca0，abc0，求證a0，b0，c0.證明用反證法：假設(shè)a，b，c不都是正數(shù)，由abc0可知，這三個數(shù)中必有兩個為負(fù)數(shù)，一個為正數(shù)，不妨設(shè)a0，b0，則由abc0，可得c(ab)，又ab0，c(ab)(ab)(ab)abc(ab)(ab)(ab)ab即abbcca0，ab0，b20，a2abb2(a2abb2)0，即abbcca0矛盾，所以假設(shè)不成立因此a0，b0，c0成立12已知a，b，c(0,1)，求證(1a)b，(1b)c，(1c)a不可能都大于.證明假設(shè)三個式子同時大于，即(1a)b，(1b)c，(1c)a，三式相乘得(1a)a(1b)b(1c)c，又因?yàn)?a1，所以0a(1a)2.同理0b(1b)，0c(1c)，所以(1a)a(1b)b(1c)c，與矛盾，所以假設(shè)不成立，故原命題成立三、探究與創(chuàng)新13已知f(x)是R上的增函數(shù)，a，bR.證明下面兩個命題：(1)若ab0，則f(a)f(b)f(a)f(b)；(2)若f(a)f(b)f(a)f(b)，則ab0.證明(1)因?yàn)閍b0，所以ab，ba，又因?yàn)閒