工程數(shù)學(xué)試卷及答案匯總(完整版).doc

一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選或未選均無分。得分評(píng)卷人1某人打靶3發(fā)，事件Ai 表示“擊中i發(fā)”，i=0,1,2,3. 那么事件A=A1A2A3表示()。 A. 全部擊中. B. 至少有一發(fā)擊中. C. 必然擊中 D. 擊中3發(fā)2對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y，若E(XY)=E(X)E(Y)，則有()。A. X和Y獨(dú)立。 B. X和Y不獨(dú)立。C. D(X+Y)=D(X)+D(Y) D. D(XY)=D(X)D(Y)3下列各函數(shù)中可以作為某個(gè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)的是（ ）。A 。 B. C. D. ，4設(shè)隨機(jī)變量X, Y, , 則有（ ）A. 對(duì)于任意的, P1=P2 B. 對(duì)于任意的, P1 P25設(shè)X為隨機(jī)變量，其方差存在，c為任意非零常數(shù)，則下列等式中正確的是（） AD(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X)得分二、填空題（每空3分，共15分）評(píng)卷人6 設(shè)3階矩陣A的特征值為-1，1，2，它的伴隨矩陣記為A*， 則|A*+3A2E|= 。7設(shè)A= ，則= 。8設(shè)有3個(gè)元件并聯(lián)，已知每個(gè)元件正常工作的概率為P，則該系統(tǒng)正常工作的概率為 。9設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，則概率 。10設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，則系數(shù) 。得分三、計(jì)算題（每小題10分，共50分）評(píng)卷人11求函數(shù)的傅氏變換 (這里)，并由此證明：12發(fā)報(bào)臺(tái)分別以概率0.6和0.4發(fā)出信號(hào)“1”和“0”。由于通訊系統(tǒng)受到干擾，當(dāng)發(fā)出信號(hào)“1”時(shí)，收?qǐng)?bào)臺(tái)未必收到信號(hào)“1”，而是分別以概率0.8和0.2收到信號(hào)“1”和“0”；同時(shí)，當(dāng)發(fā)出信號(hào)“0”時(shí)，收?qǐng)?bào)臺(tái)分別以概率0.9和0.1收到信號(hào)“0”和“1”。求（1）收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)“1”的概率；（2）當(dāng)收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)“1”時(shí)，發(fā)報(bào)臺(tái)確是發(fā)出信號(hào)“1”的概率。13設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率函數(shù)是求：（1）常數(shù)c；（2）概率P(XY )；（3）X與Y相互獨(dú)立嗎？請(qǐng)說出理由。14將n個(gè)球隨機(jī)的放入N個(gè)盒子中去，設(shè)每個(gè)球放入各個(gè)盒子是等可能的，求有球盒子數(shù)X的數(shù)學(xué)期望。15設(shè)一口袋中依此標(biāo)有1，2，2，2，3，3數(shù)字的六個(gè)球。從中任取一球，記隨機(jī)變量X為取得的球上標(biāo)有的數(shù)字，求(1)X的概率分布律和分布函數(shù)。(2)EX得分四、證明題（共10分）評(píng)卷人16.設(shè)a=(a1,a2,an)T，a10,其長度為a，又A=aaT,(1) 證明A2=a2A；(2) 證明a是A的一個(gè)特征向量，而0是A的n-1重特征值；(3) A能相似于對(duì)角陣嗎？若能,寫出對(duì)角陣.得分五、應(yīng)用題（共10分）評(píng)卷人17.設(shè)在國際市場上每年對(duì)我國某種出口商品的需求量X是隨機(jī)變量,它在2000,4000( 單位：噸 )上服從均勻分布，又設(shè)每售出這種商品一噸，可為國家掙得外匯3萬元，但假如銷售不出而囤積在倉庫，則每噸需保養(yǎng)費(fèi)1萬元。問需要組織多少貨源，才能使國家收益最大。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、 選擇題（每小題3分，共15分）1B2C3D4A5A 二、 填空題（每小題3分，共15分）6. 9 7. 1 8. 1(1P)3 9. 3/4 10. 12三、計(jì)算題（每題10分，共50分）11.解答：函數(shù)f(t)的付氏變換為：F(w)= （3分） = (2分)由付氏積分公式有f(t)=F(w)= (2分) = = （2分）所以 （1分）12.解答: 設(shè) A1=“發(fā)出信號(hào)1”，A0=“發(fā)出信號(hào)0”，A=“收到信號(hào)1” （2分）(1)由全概率公式 （1分）有 P(A)=P(A|A1)P(A1)+P(A|A0)P(A0) （2分） =0.8x0.6+0.1 x0.4=0.52 （1分）(2)由貝葉斯公式 （1分）有 P(A1|A)=P(A|A1)P(A1)/ P(A) （2分） =0.8x0.6/0.52=12/13 （1分）13.解答:(1) 由聯(lián)合概率密度的性質(zhì)有即 （2分）從而 c=8 （2分）(2) （2分）(3) 當(dāng)x0時(shí)， （2分）當(dāng)x=0時(shí), 同理有 （1分）因 故X與Y相互獨(dú)立 （1分）14.解答：設(shè) i =1,2,N (2分)則 (1分)因 (2分) (2分)因而 (2分)所以 (2分)15.解答：（1）隨機(jī)變量的取值為1，2，3。 （1分）依題意有： （3分）的分布函數(shù) （1分）由條件知：當(dāng)時(shí)， （1分） 當(dāng)時(shí)， （1分）當(dāng)時(shí)， （1分）當(dāng)時(shí)， （1分）（2）EX=1 x 1/6+2 x 3/6+3 x 2/6= 13/6 （1分）四、證明題（共10分）(1) A2=aaTaaT=aTa aaT =a2A （2分）(2)因 Aa= aaT a=aTaa= a2a （2分）故a是A的一個(gè)特征向量。又A對(duì)稱，故A必相似于對(duì)角陣 （1分）設(shè)A diag(1,2,n)=B, 其中1,2,n是A的特征值 (1分)因rank(A)=1, 所以 rank(B)=1 (1分)從而1,2,n中必有n-1個(gè)為0, 即0是A的n-1重特征值 （1分）(3) A對(duì)稱，故A必相似于對(duì)角陣，=diag(a2, 0,0) (2分)五、應(yīng)用題（共10分）解答:設(shè)y為預(yù)備出口的該商品的數(shù)量，這個(gè)數(shù)量可只介于2000與4000之間，用Z表示國家的收益（萬元）, （1分）則有 （4分）因 X服從R(2000,4000), 故有 (1分)所以 =( y2 7000y + 4106 ) /1000 (3分)求極值得 y=3500 (噸) (1分)工程數(shù)學(xué)（本）10秋模擬試題（一）一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）1設(shè)都是n階方陣，則下列命題正確的是( )2向量組的秩是（ 3 ）3元線性方程組有解的充分必要條件是（）4. 袋中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，則兩球都是紅球的概率是（）5設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本，則（ ）是無偏估計(jì)二、填空題（每小題3分，共15分）6設(shè)均為3階方陣，則-187設(shè)為n階方陣，若存在數(shù)l和非零n維向量，使得 ，則稱l為的特征值 8設(shè)隨機(jī)變量，則a =0.3 9設(shè)為隨機(jī)變量，已知，此時(shí)2710設(shè)是未知參數(shù)的一個(gè)無偏估計(jì)量，則有三、（每小題16分，共64分）11設(shè)矩陣，且有，求解：利用初等行變換得即 由矩陣乘法和轉(zhuǎn)置運(yùn)算得12求線性方程組的全部解解： 將方程組的增廣矩陣化為階梯形方程組的一般解為（其中為自由未知量）令=0，得到方程的一個(gè)特解.方程組相應(yīng)的齊方程的一般解為（其中為自由未知量）令=1，得到方程的一個(gè)基礎(chǔ)解系.于是，方程組的全部解為（其中為任意常數(shù)）13設(shè)，試求: (1)；(2)（已知）解：(1) (2) 14據(jù)資料分析，某廠生產(chǎn)的一批磚，其抗斷強(qiáng)度，今從這批磚中隨機(jī)地抽取了9塊，測(cè)得抗斷強(qiáng)度（單位：kgcm2）的平均值為31.12，問這批磚的抗斷強(qiáng)度是否合格（）解： 零假設(shè)由于已知，故選取樣本函數(shù)已知，經(jīng)算得，由已知條件，故拒絕零假設(shè)，即這批磚的抗斷強(qiáng)度不合格。四、證明題（本題6分）15設(shè)是階對(duì)稱矩陣，試證：也是對(duì)稱矩陣證明：是同階矩陣，由矩陣的運(yùn)算性質(zhì)可知已知是對(duì)稱矩陣，故有，即由此可知也是對(duì)稱矩陣，證畢工程數(shù)學(xué)（本）10秋模擬試題（二）一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）1若是對(duì)稱矩陣，則等式（ ）成立2（ ）3若（）成立，則元線性方程組有唯一解4. 若條件（且 ）成立，則隨機(jī)事件，互為對(duì)立事件5對(duì)來自正態(tài)總體（未知）的一個(gè)樣本，記，則下列各式中（）不是統(tǒng)計(jì)量二、填空題（每小題3分，共15分）6設(shè)均為3階方陣，則87設(shè)為n階方陣，若存在數(shù)l和非零n維向量，使得 ，則稱為相應(yīng)于特征值l的特征向量 8若，則0.39如果隨機(jī)變量的期望，那么2010不含未知參數(shù)的樣本函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量 三、（每小題16分，共64分）11設(shè)矩陣，求解：利用初等行變換得即由矩陣乘法得12當(dāng)取何值時(shí)，線性方程組有解，在有解的情況下求方程組的全部解解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形由此可知當(dāng)時(shí)，方程組無解。當(dāng)時(shí)，方程組有解。此時(shí)齊次方程組化為分別令及，得齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系令，得非齊次方程組的一個(gè)特解 由此得原方程組的全部解為（其中為任意常數(shù)）13設(shè)，試求：(1)；(2)（已知）解：(1) (2)15.1mm，若已知這批滾珠直徑的方差為，試找出滾珠直徑均值的置信度為0.95的置信區(qū)解：由于已知，故選取樣本函數(shù)已知，經(jīng)計(jì)算得滾珠直徑均值的置信度為0.95的置信區(qū)間為，又由已知條件，故此置信區(qū)間為四、證明題（本題6分）15設(shè)隨機(jī)事件,相互獨(dú)立，試證：也相互獨(dú)立證明：所以也相互獨(dú)立證畢工程數(shù)學(xué)（本）（10春）模擬試題2010年6月一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，本題共15分）1. 若，則（3）2. 已知2維向量組，則至多是（）3. 設(shè)為階矩陣，則下列等式成立的是（）4. 若滿足（），則與是相互獨(dú)立5. 若隨機(jī)變量的期望和方差分別為和，則等式（ ）成立二、填空題（每小題3分，共15分）1. 設(shè)均為n階可逆矩陣，逆矩陣分別為，則2. 向量組線性相關(guān)，則.3. 已知，則4. 已知隨機(jī)變量，那么5. 設(shè)是來自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，則三、計(jì)算題（每小題16分，共64分）1設(shè)矩陣，求（1），（2）解： （1）利用初等行變換得即2. 當(dāng)取何值時(shí)，線性方程組有解，在有解的情況下求方程組的全部解解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形由此可知當(dāng)時(shí)，方程組無解。當(dāng)時(shí)，方程組有解。8分此時(shí)相應(yīng)齊次方程組的一般解為 （是自由未知量）分別令及，得齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系令，得非齊次方程組的一個(gè)特解由此得原方程組的全部解為（其中為任意常數(shù)）3. 設(shè)，試求；（已知）解： 4. 已知某種零件重量，采用新技術(shù)后，取了9個(gè)樣品，測(cè)得重量（單位：kg）的平均值為14.9，已知方差不變，問平均重量是否仍為15（）？解： 零假設(shè)由于已知，故選取樣本函數(shù)已知，經(jīng)計(jì)算得，由已知條件，故接受零假設(shè)，即零件平均重量仍為15四、證明題（本題6分）設(shè),是兩個(gè)隨機(jī)事件，試證： 證明：由事件的關(guān)系可知而，故由加法公式和乘法公式可知證畢工程數(shù)學(xué)（本）(09秋模擬試題2009年12月 一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，本題共15分）1. 設(shè)為矩陣，為矩陣，當(dāng)為（）矩陣時(shí)，乘積有意義2. 向量組的極大線性無關(guān)組是（ ）3. 若線性方程組的增廣矩陣為，則當(dāng)（）時(shí)線性方程組有無窮多解 4. 擲兩顆均勻的骰子，事件“點(diǎn)數(shù)之和為4”的概率是（ ）.5. 在對(duì)單正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)問題中，檢驗(yàn)法解決的問題是（未知方差，檢驗(yàn)均值 ）二、填空題（每小題3分，共15分）1. 設(shè)均為3階矩陣，且，則2.設(shè)，則23. 設(shè)是三個(gè)事件，那么發(fā)生，但至少有一個(gè)不發(fā)生的事件表示為 .4. 設(shè)隨機(jī)變量，則5. 設(shè)是來自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，則 三、計(jì)算題（每小題16分，共64分）1已知，其中，求解：利用初等行變換得即由矩陣乘法運(yùn)算得2.求線性方程組的全部解.解： 將方程組的增廣矩陣化為階梯形方程組的一般解為（其中為自由未知量） 令=0，得到方程的一個(gè)特解. 方程組相應(yīng)的齊次方程的一般解為（其中為自由未知量）令=1，得到方程的一個(gè)基礎(chǔ)解系. 于是，方程組的全部解為（其中為任意常數(shù)）3. 設(shè)，求和.（其中,）解：設(shè) =4. 某一批零件重量，隨機(jī)抽取4個(gè)測(cè)得重量（單位：千克）為14.7, 15.1, 14.8, 15.2 可否認(rèn)為這批零件的平均重量為15千克(已知)？解：零假設(shè)由于已知，故選取樣本函數(shù)經(jīng)計(jì)算得，已知，故接受零假設(shè)，即可以認(rèn)為這批零件的平均重量為15千克.四、證明題（本題6分）設(shè),為隨機(jī)事件，試證：證明：由事件的關(guān)系可知而，故由概率的性質(zhì)可知即證畢工程數(shù)學(xué)（本）模擬練習(xí)一、單項(xiàng)選擇題1. 若都是n階矩陣，則等式（）成立2. 向量組的秩是（ ）3. 設(shè)線性方程組有惟一解，則相應(yīng)的齊次方程組（只有0解）4. 設(shè)為隨機(jī)事件，下列等式成立的是（）5. 設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本，則（ ）是無偏估計(jì)二、填空題1. 設(shè)是3階矩陣，其中，則2. 當(dāng)=1 時(shí)，方程組有無窮多解3. 若，則4. 若連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)的是，則5. 若參數(shù)的估計(jì)量滿足，則稱為的無偏估計(jì)三、計(jì)算題1設(shè)矩陣，是3階單位矩陣，且有，求解：由矩陣減法運(yùn)算得 利用初等行變換得即由矩陣乘法運(yùn)算得2. 求線性方程組的全部解解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形此時(shí)相應(yīng)齊次方程組的一般解為 是自由未知量令，得齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系令，得非齊次方程組的一個(gè)特解由此得原方程組的全部解為（其中為任意常數(shù)）3.設(shè)，試求；（已知）解：4. 某鋼廠生產(chǎn)了一批管材，每根標(biāo)準(zhǔn)直徑100mm，今對(duì)這批管材進(jìn)行檢驗(yàn)，隨機(jī)取出9根測(cè)得直徑的平均值為99.9mm，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s = 0.47，已知管材直徑服從正態(tài)分布，問這批管材的質(zhì)量是否合格（檢驗(yàn)顯著性水平，） 解：零假設(shè)由于未知，故選取樣本函數(shù)已知，經(jīng)計(jì)算得， 由已知條件， 故接受零假設(shè)，即可以認(rèn)為這批管材的質(zhì)量是合格的四、證明題設(shè)是線性無關(guān)的，證明, 也線性無關(guān)證明：設(shè)有一組數(shù)，使得 成立，即，由已知線性無關(guān)，故有該方程組只有零解，得，故是線性無關(guān)的證畢工程數(shù)學(xué)（本）08秋模擬試題一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）1設(shè)均為階可逆矩陣，則下列等式成立的是( ) 2方程組相容的充分必要條件是( )，其中，3設(shè)矩陣的特征值為0，2，則3A的特征值為 ( 0，6 ) 4. 設(shè)A，B是兩事件，則下列等式中（ ，其中A，B互不相容 ）是不正確的5若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則方差=（ ）二、填空題（每小題3分，共15分）1設(shè)，則的根是 2設(shè)向量可由向量組線性表示，則表示方法唯一的充分必要條件是 3若事件A，B滿足，則 P（A - B）= 4設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，則常數(shù)k =5若樣本來自總體，且，則三、（每小題16分，共64分）1設(shè)矩陣，求：（1）；（2）解：（1）因?yàn)?所以 （2）因?yàn)?所以 2求齊次線性方程組 的通解解： A=一般解為 ，其中x2，x4 是自由元 令x2 = 1，x4 = 0，得X1 =；x2 = 0，x4 = 3，得X2 =所以原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為 X1，X2 原方程組的通解為： ，其中k1，k2 是任意常數(shù)3設(shè)隨機(jī)變量（1）求；（2）若，求k的值 （已知）解：（1）1= 11（）= 2（1）0.045 （2）11即k4 = -1.5， k2.54某切割機(jī)在正常工作時(shí)，切割的每段金屬棒長服從正態(tài)分布，且其平均長度為10.5 cm，標(biāo)準(zhǔn)差為0.15cm.從一批產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取4段進(jìn)行測(cè)量，測(cè)得的結(jié)果如下：（單位：cm）10.4，10.6，10.1，10.4問：該機(jī)工作是否正常(, )？解：零假設(shè).由于已知，故選取樣本函數(shù) 經(jīng)計(jì)算得， 由已知條件，且 故接受零假設(shè)，即該機(jī)工作正常.四、證明題（本題6分）設(shè)向量組線性無關(guān)，令，證明向量組線性無關(guān)。證明：設(shè)，即因?yàn)榫€性無關(guān)，所以 解得k1=0, k2=0, k3=0，從而線性無關(guān)工程數(shù)學(xué)（本）綜合練習(xí)題一、填空題行列式。設(shè)二階矩陣，其伴隨矩陣。設(shè)均為4階矩陣，且，。若為矩陣，為矩陣，為矩陣，則為矩陣。一個(gè)向量組中如有零向量，則此向量組一定線性相關(guān)。若，則0.7。設(shè)互不相容，且，則0。連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)是，則。設(shè)為隨機(jī)變量，已知，那么18。樣本是由若干個(gè)樣品組成的集合。參數(shù)的估計(jì)量滿足，則稱為的無偏估計(jì)量。二、單項(xiàng)選擇題由得到的矩陣中的元素（12）。（）。若是對(duì)稱矩陣，則條件（）成立。設(shè)均為階方陣，則等式（）成立。設(shè)為階矩陣，既是又是的特征值，既是又是的屬于的特征向量，則結(jié)論（是的特征向量）成立對(duì)任意兩個(gè)事件，等式（）成立。若等式（）成立，則事件相互獨(dú)立。下列函數(shù)中，能作為隨機(jī)變量密度函數(shù)的是（）。設(shè)隨機(jī)變量，則（0）。設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本，則（）是統(tǒng)計(jì)量。設(shè)是來自正態(tài)總體（均未知）的樣本，則統(tǒng)計(jì)量（）不是的無偏估計(jì)。工程數(shù)學(xué)（本）07春模擬試題2007年5月一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，本題共15分）1. 都是階矩陣，則下列命題正確的是 ( ) 2. 已知2維向量組，則至多是（）3. 設(shè)是元線性方程組，其中是階矩陣，若條件（是行滿秩矩陣）成立，則該方程組沒有非0解4. 袋中放有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，第一次取出一球，不放回，第二次再取一球，則兩次都是紅球的概率是（）5. 設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本，則（ ）是無偏估計(jì)二、填空題（每小題3分，共15分）1. 設(shè)均為3階矩陣，且，2. 設(shè)為階方陣，若存在數(shù)和非零維向量，使得，則稱為的特征值3. 已知，則4. 設(shè)隨機(jī)變量，則5. 若參數(shù)的估計(jì)量滿足，則稱為的無偏估計(jì) 三、計(jì)算題（每小題16分，共64分）1設(shè)矩陣，是3階單位矩陣，且有，求解：由矩陣減法運(yùn)算得 利用初等行變換得即由矩陣乘法運(yùn)算得2. 求線性方程組的全部解解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形此時(shí)齊次方程組化為令，得齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系令，得非齊次方程組的一個(gè)特解由此得原方程組的全部解為（其中為任意常數(shù)）3. 設(shè)，試求；（已知）解：8分4. 某鋼廠生產(chǎn)了一批管材，每根標(biāo)準(zhǔn)直徑100mm，今對(duì)這批管材進(jìn)行檢驗(yàn)，隨機(jī)取出9根測(cè)得直徑的平均值為99.9mm，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s = 0.47，已知管材直徑服從正態(tài)分布，問這批管材的質(zhì)量是否合格（檢驗(yàn)顯著性水平，）解：零假設(shè)由于未知，故選取樣本函數(shù) 已知，經(jīng)計(jì)算得，由已知條件，故接受零假設(shè)，即可以認(rèn)為這批管材的質(zhì)量是合格的。四、證明題（本題6分）設(shè)是線性無關(guān)的，證明, 也線性無關(guān)證明：設(shè)有一組數(shù)，使得 成立，即，由已知線性無關(guān)，故有該方程組只有零解，得，故是線性無關(guān)的證畢工程數(shù)學(xué)（本）模擬試題（06秋-2）一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，本題共15分）1. 若都是階矩陣，則等式（）成立2. 向量組的秩是（ ）3. 甲、乙二人射擊，分別表示甲、乙射中目標(biāo)，則表示（至少有一人沒射中）的事件4. 在下列數(shù)組中，（ ）中的數(shù)組可以作為離散型隨機(jī)變量的概率分布5. 設(shè)是來自正態(tài)總體均未知）的樣本，則（ ）是統(tǒng)計(jì)量二、填空題（每小題3分，共15分）1. 若為矩陣，為矩陣，為矩陣，則為矩陣2. 設(shè)為階方陣，若存在數(shù)和非零維向量，使得，則稱為的特征值3. 若，則4. 已知隨機(jī)變量，那么5. 設(shè)是未知參數(shù)的一個(gè)無偏估計(jì)量，則有 三、計(jì)算題（每小題16分，共64分）1設(shè)矩陣，且有，求解：利用初等行變換得即由矩陣乘法和轉(zhuǎn)置運(yùn)算得2. 當(dāng)取何值時(shí)，線性方程組有解，在有解的情況下求方程組的一般解解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形由此可知當(dāng)時(shí)，方程組無解。當(dāng)時(shí)，方程組有解此時(shí)方程組的一般解為3. 設(shè)，試求；（已知）解：4. 對(duì)一種產(chǎn)品的某項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)進(jìn)行測(cè)量，該指標(biāo)服從正態(tài)分布，今從這種產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取了16件，測(cè)得該項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)的平均值為31.06，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為0.35，求該項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)置信度為0.95的置信區(qū)間（）解：由于未知，故選取樣本函數(shù)已知，經(jīng)計(jì)算得該項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)置信度為0.95的置信區(qū)間為，又由已知條件，故此置信區(qū)間為四、證明題（本題6分）設(shè)向量組，如果線性相關(guān)，證明線性相關(guān)證明：因?yàn)橄蛄拷M線性相關(guān)，故存在一組不全為0的數(shù)，使成立于是存在不全為0的數(shù)，使成立，由相性定義知線性相關(guān)證畢工程數(shù)學(xué)（本）模擬試題一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共21分）1設(shè)A是矩陣，是矩陣，且有意義，則是( )矩陣2若X1、X2是線性方程組AX=B的解，而是方程組AX = O的解，則（ ）是AX=B的解3設(shè)矩陣，則A的對(duì)應(yīng)于特征值的一個(gè)特征向量=( ) 4. 下列事件運(yùn)算關(guān)系正確的是（ ）5若隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量（ ）6設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本，則（ ）是的無偏估計(jì)7對(duì)給定的正態(tài)總體的一個(gè)樣本，未知，求的置信區(qū)間，選用的樣本函數(shù)服從（t分布）二、填空題（每小題3分，共15分）1設(shè)三階矩陣的行列式，則=22若向量組：，能構(gòu)成R3一個(gè)基，則數(shù)k 3設(shè)互不相容，且，則0 4若隨機(jī)變量X ，則 5設(shè)是未知參數(shù)的一個(gè)估計(jì)，且滿足，則稱為的無偏 估計(jì)三、（每小題10分，共60分）1已知矩陣方程，其中，求解：因?yàn)?，且?所以 2設(shè)向量組，求這個(gè)向量組的秩以及它的一個(gè)極大線性無關(guān)組解：因?yàn)椋?）= 所以，r() =3 它的一個(gè)極大線性無關(guān)組是 （或）3用配方法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，并求出所作的滿秩變換解：令 （*）即得 由（*）式解出，即得或?qū)懗?4罐中有12顆圍棋子，其中8顆白子，4顆黑子若從中任取3顆，求：（1）取到3顆棋子中至少有一顆黑子的概率；（2）取到3顆棋子顏色相同的概率解：設(shè)=“取到3顆棋子中至少有一顆黑子”，=“取到的都是白子”，=“取到的都是黑子”，B =“取到3顆棋子顏色相同”，則（1（2）5設(shè)隨機(jī)變量X N（3，4）求：（1）P（1 X 7）；（2）使P（X a）=0.9成立的常數(shù)a (，)解：（1）P（1 X 7）= = = 0.9973 + 0.8413 1 = 0.8386 （2）因?yàn)?P（X 1)，則下列命題正確的是( )2向量組 的秩是( 3 )3若線性方程組AX=0只有零解，則線性方程組AX=b( 解的情況不能斷定 )4袋中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，則兩球都是紅球的概率是( ) 5設(shè)f(x)和F(x)分別是隨機(jī)變量X的分布密度函數(shù)和分布函數(shù)，則對(duì)任意ab，有二、填空題(每小題3分，共15分)1設(shè)A是2階矩陣，且12設(shè)A為押階方陣，若存在數(shù)A和非零”維向量x，使得(Ax= )，則稱x為A相應(yīng)于特征值A(chǔ)的特征向量3若則 P(AB)= ( O3 )，4設(shè)隨機(jī)變量X，若D(X)=3，則D(一X+3)= (3 )5若參數(shù)的兩個(gè)無偏估計(jì)量和滿足，則稱比更(有效 )三、計(jì)算題(每小題】6分，共64分)1設(shè)矩陣，求A-1B解：利用初等行變換得即由矩陣乘法得2求線性方程組的全部解解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形此時(shí)齊次方程組化為令z4=1，得齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系令z4=o，得非齊次方程組的一個(gè)特解由此得原方程組的全部解為(其中志為任意常數(shù))3設(shè)，試求(1)(已知解：(1)(2)=（2）-(1)=0.9772-0.8413=0.13594據(jù)資料分析，某廠生產(chǎn)的一批磚，其抗斷強(qiáng)度XN(325，121)，今從這批磚中隨機(jī)地抽取了9塊，測(cè)得抗斷強(qiáng)度(單位：kgcm2)的平均值為31.12，問這批磚的抗斷強(qiáng)度是否合格()解：零假設(shè)由于已知，故選取樣本函數(shù)已知；=31.12，經(jīng)計(jì)算得由已知條件故拒絕零假設(shè)，即這批磚的抗斷強(qiáng)度不合格四、證明題(本題6分)設(shè)A，B為隨機(jī)事件，試證：P(A)=P(A-B)+P(AB)證明：由事件的關(guān)系可知 而(A-B) AB=，故由概率的性質(zhì)可知P(A)=P(AB)+P(AB) 證畢試卷代號(hào)：1080 中央廣播電視大學(xué)學(xué)年度第二學(xué)期“開放本科”期末考試 工程數(shù)學(xué)(本) 試題2007年7月一、單項(xiàng)選擇題【每小題3分。本題共15分)1設(shè)A，B為咒階矩陣則下列等式成立的是( )的秩是(3 )3線性方程組解的情況是(有無窮多解 )4下列事件運(yùn)算關(guān)系正確的是( )5設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本，其中是未知參數(shù)，則( )是統(tǒng)計(jì)量二、填空題(每小題3分。共15分)1設(shè)A，B是3階矩陣；其中則 12 2設(shè)A為”階方陣，若存在數(shù)A和非零咒維向量z，使得則稱2為A相應(yīng)于特征值的 特征向量 3若則 034設(shè)隨機(jī)變量X，若則25設(shè)是來自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，則三、計(jì)算題【每小題16分，共64分)1已知其中求X解：利用初等行變換得即由矩陣乘法和轉(zhuǎn)置運(yùn)算得2當(dāng)A取何值時(shí)，線性方程組有解，在有解的情況下求方程組的一般解解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形由此可知當(dāng)A3時(shí)，方程組無解當(dāng)A一3時(shí)，方程組有解方程組的一般解為3設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度求E(X)，D(X)解：由期望的定義得由方差的計(jì)算公式有4已知某種零件重量采用新技術(shù)后，取了9個(gè)樣品，測(cè)得重量(單位：kg)的平均值為149，已知方差不變，問平均重量是否仍為解：零假設(shè)H。：盧一l5由于已知cr2一O09，故選取樣本函數(shù)已知X一一l49，經(jīng)計(jì)算得由已知條件U，。一l96，故接受零假設(shè)，即零件平均重量仍為l5四、證明題(本題6分)設(shè)A，B是兩個(gè)隨機(jī)事件，試證：P(B)=P(A)P(B1A)+P(萬)P(B1頁)證明：由事件的關(guān)系可知而=p，故由加法公式和乘法公式可證畢工程數(shù)學(xué)（本）04秋模擬試題（1）一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共21分）1設(shè)都是階矩陣，則下列命題正確的是（，且，則）2在下列所指明的各向量組中，（任何一個(gè)向量都不能被其余的向量線性表出）中的向量組是線性無關(guān)的3設(shè)矩陣，則A的對(duì)應(yīng)于特征值的一個(gè)特征向量=( ) 4. 甲、乙二人射擊，分別表示甲、乙射中目標(biāo)，則表示（至少有一人沒射中）的事件5設(shè)，是的分布函數(shù)，則下列式子不成立的是（）6設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本，則（ ）是無偏估計(jì)7對(duì)正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)問題中，檢驗(yàn)解決的問題是（已知方差，檢驗(yàn)均值）二、填空題（每小題3分，共15分）1設(shè)是2階矩陣，且，12已知齊次線性方程組中為矩陣，且該方程組有非零解，則33，則0.74若連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)的是，則5若參數(shù)的兩個(gè)無偏估計(jì)量和滿足，則稱比更有效三、計(jì)算題（每小題10分，共60分）1設(shè)矩陣，問：A是否可逆？若A可逆，求解：因?yàn)?所以A可逆。利用初等行變換求，即即 由矩陣乘法得2線性方程組的增廣矩陣為求此線性方程組的全部解解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形此時(shí)齊次方程組化為 ，（其中x3為自由未知量）.分別令，得齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系令，得非齊次方程組的一個(gè)特解由此得原方程組的全部解為（其中為任意常數(shù)） 3用配方法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，并求出所作的滿秩變換解： 令 即得 由（*）式解出，即得或?qū)懗?4兩臺(tái)車床加工同樣的零件，第一臺(tái)廢品率是1，第二臺(tái)廢品率是2，加工出來的零件放在一起。已知第一臺(tái)加工的零件是第二臺(tái)加工的零件的3倍,求任意取出的零件是合格品的概率解：設(shè)：“是第臺(tái)車床加工的零件”，：“零件是合格品”.由全概公式有顯然，故 5設(shè)，試求；（已知）解：6設(shè)來自指數(shù)分布，其中是未知參數(shù)，求的最大似然估計(jì)值解：答案: 解： 似然函數(shù)為取對(duì)數(shù)得求導(dǎo)得令得的最大似然估值四、證明題（本題4分）設(shè)是隨機(jī)事件，試證：證明：由事件的運(yùn)算得 ，且與互斥，由加法公式得 ，又有 ，且與互斥，由加法公式得綜合而得，證畢工程數(shù)學(xué)11春試題一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分） 1設(shè)為階矩陣，則下列等式成立的是（ ）A BC D 2方程組相容的充分必要條件是( )，其中，A BC D 3下列命題中不正確的是（ ） AA與有相同的特征多項(xiàng)式 B若是A的特征值，則的非零解向量必是A對(duì)應(yīng)于的特征向量 C若=0是A的一個(gè)特征值，則必有非零解 DA的特征向量的線性組合仍為A的特征向量 4若事件與互斥，則下列等式中正確的是（ ）A BC D 5設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本，則檢驗(yàn)假設(shè)采用統(tǒng)計(jì)量U =（ ）A B C D 二、填空題（每小題3分） 1設(shè)，則的根是 2設(shè)4元線性方程組AX=B有解且r（A）=1，那么AX=B的相應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系含有 個(gè)解向量 3設(shè)互不相容，且，則 4設(shè)隨機(jī)變量X B（n，p），則E（X）= 5若樣本來自總體，且，則 三、計(jì)算題（每小題16分） 1設(shè)矩陣，求 2求下列線性方程組的通解 3設(shè)隨機(jī)變量X N（3，4）求：（1）P（1 X 7）；（2）使P（X a）=0.9成立的常數(shù)a (已知，) 4從正態(tài)總體N（，4）中抽取容量為625的樣本，計(jì)算樣本均值得= 2.5，求的置信度為99%的置信區(qū)間.(已知 ) 四、證明題（本題6分） 4設(shè)n階矩陣A滿足，則A為可逆矩陣工程數(shù)學(xué)（本）11春模擬試卷參考解答 一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分） 1A 2B 3D 4A 5C 二、填空題（每小題3分，共15分）11，-1，2，-2 23 30 4np 5 三、（每小題16分，共64分）1解：由矩陣乘法和轉(zhuǎn)置運(yùn)算得6分利用初等行變換得即 16分7-2解利用初等行變換，將方程組的增廣矩陣化成行簡化階梯形矩陣，即方程組的一般解為：，其中，是自由未知量 8分令，得方程組的一個(gè)特解方程組的導(dǎo)出組的一般解為：，其中，是自由未知量令，得導(dǎo)出組的解向量；令，得導(dǎo)出組的解向量 13分所以方程組的通解為：，其中，是任意實(shí)數(shù) 16分 3解：（1）P（1 X 7）= = 0.9773 + 0.8413 1 = 0.8186 8分 （2）因?yàn)?P（X a）= 0.9所以 ，a = 3 + = 5.56 16分 4解：已知，n = 625，且 5分 因?yàn)?= 2.5， 10分所以置信度為99%的的置信區(qū)間為： . 16分四、（本題6分） 證明： 因?yàn)?，即 所以，A為可逆矩陣 6分05