一道高考立幾試題的多向探究.pdf

1 6 數(shù)學(xué)通訊 2 O 1 4年第 1 1 1 2期 上半月 輔教 導(dǎo)學(xué) 下 面 考 慮f x 一 2 o l l x 1 訂 的最 小值 根 據(jù)解 題經(jīng) 驗(yàn) 所求最小值可能會在滿足條件的區(qū)域 z 0 z z一 1 的 邊 界 處 即 z z中有一個 為 1 另兩個 為 0時 取得 不妨 用逐 步 調(diào)整 法檢驗(yàn) 一 下 先比較 f z O 和 f x y 的大小 因?yàn)?f x z 一f x Y z O e 0 i l y 1 而 一 麗 F麗 1 r 網(wǎng) 一 1 一 2 訂 蕊 F 一2 麗可 二 F 0 所 以 f x z f x Y z O 再 比較 f x z O 和 f x 0 O 的 大小 因?yàn)?f x j 0 一 f x y 0 O 一 干了 歹 干T 1 一 二 F 2 麗 二 麗 1 而 j干T 瓜 一 2 0 1 3 2 2 01 1 1 2 0 1 2 2 O 1 l x 所 以 廠 z 0 一f x 0 O 0 從 而 廠 3 0 f x 3 z 0 O 因此 廠 f z 0 f z Y z 0 0 故 f c c f x 0 0 一廠 1 0 0 而 j r 1 0 0 一 2 O 1 2 2 所以f x 2 的 最小值為 2 o 1 2 2 當(dāng)且僅當(dāng) z 中有一個為 1 另兩 個 為 0時 取得 說 明 由例 4的解題 步驟 可 以發(fā) 現(xiàn) 每 一 步 的轉(zhuǎn)化 都 不是 盲 目 的 在 求 簡 的 大 原 則 下 抓 住 解 題 的方 向是關(guān)鍵 逐 步化 繁為 簡 參考 文獻(xiàn) 1 張奠宙 過伯祥 方均斌 龍開奮著 數(shù)學(xué)方 法論稿E M3 上海教育出版社 2 0 1 3 2 楊起群 簡單 性原則在解題 中的應(yīng)用 r j 3 小學(xué) 教學(xué)研 究 2 0 0 7 1 0 E 3 邱炯玲 數(shù)學(xué)之美 美在簡單 J 課堂新風(fēng) 采 2 0 1 2年 總第 2 5 8期 4 潘儀明 領(lǐng)悟數(shù)學(xué)解題方法 的美E J G 福建 中學(xué) 數(shù) 學(xué) 2 0 1 2 1 2 E s 王淼生 數(shù)學(xué)美本質(zhì)上終究是 簡單 口 數(shù) 學(xué) 教學(xué) 2 O 1 3 8 2 0 1 3 2 z o l z 2 0 1 1 x 1 一 z 收稿 日期 2 0 1 4 0 7 1 2 2 0 1 3十 2 一 1 一 道高考立幾試題的多向探究 蔣振濱 福建省漳平市第一 中學(xué) 3 6 4 4 0 0 2 0 1 4年高考已落下帷幕 今年福建省 高考數(shù) 學(xué) 試題難 度適 中 題 型穩(wěn)定 其 中理 科卷 第 1 7 題 吸 引 了筆者的眼球 這是一道立體幾何翻折問題 翻 折后圖形給 出 試題不難 此題看似平淡 卻精彩 紛 呈 本文 從試 題 的不 同角 度 不 同方 向探 究 試 題 的來 龍去 脈 從 中感 悟 高 考 試題 寶 藏 帶 給 我 們 的 巨大 財(cái) 富 一 試 題呈 現(xiàn) 2 0 1 4年 高考 福建 卷 理 1 7 在平 面 四邊 形 A BC D 中 A B B D C D 1 A B I B D C D 1 B D 將 A BD沿BD折起 使得平面 A BD 1 平面 B CD 如 圖 1 1 求 證 A B l C D 2 若 M 為AD 中點(diǎn) 求直 線 A D 與平 面MB C 輔教 導(dǎo)學(xué) 數(shù)學(xué)通訊 2 O 1 4年第 1 1 1 2期 上半 月 1 7 所 成角的正弦值 本 題 主 要 考 查 空 間 直 線 與 直 線 直 線 與 平 面 平 面與平 面 之間 的位 置關(guān) 系 等基礎(chǔ)知識 考查空 間想象 能力 推 理論證 能力 運(yùn)算 目 求解能力 考查數(shù)形結(jié)合思 想 化 歸 與 轉(zhuǎn) 化 思 想 函數(shù) 與方 程思 想 題 目雖 常規(guī) 但 解 法靈 活 多 樣 能 多 角 度 圖 1 C D 地 考查 學(xué) 生應(yīng) 用數(shù) 學(xué)知 識解 決 問題 的多 種能 力 二 解 法探 究 本文只研究第 2 小題 對立體幾何 的解法 大 都 分為 兩大 類方 法 一是 傳 統(tǒng) 的幾 何 解 法 二 是 向量 法 方 法 的多樣 性 讓 學(xué)生 有 所 選 擇 向量 法 對 空問想象能力要求不 高 對計(jì) 算求解 能力要求 較 高 而傳統(tǒng)的幾何解法則反之 在平 時教學(xué) 中如能 常用這 二石一鳥 的方法教學(xué) 則 能更有效地提 高學(xué) 生思 維 的靈 活性 和敏捷 性 1 向量 法 過點(diǎn) B在 平 面 B C D 內(nèi)作 BE 上 B D 如 圖 2 由 1 知 A B 上 平 面 BCD B E c 平 面 BCD BD c 平 面 BC D AB 上 B E A B l B D 以 B 為 坐標(biāo) 原點(diǎn) 分 別 以麗 百 的方 向?yàn)?z軸 圖 2 軸 z軸 的正方 向建 立 空 間直 角 坐 標(biāo) 系 依 題 意 得 B O 0 O C 1 1 0 D O 1 O A O 0 1 M O 1 則 一 1 1 o 蔚一 o 1 1 一 0 1 一 1 設(shè) 平面 MB C的法 向量 13 一 Y Z o 則 n 葡一 o n 可 一 o 即 一 0 號 十 號 z 一 0 取 一 1 得 平 面 MBC 的一 個 法 向量 n一 1 一 1 1 設(shè) 直 線 A D 與平 面 MBC所 成 的角 為0 1 s i n 0 s I 一 一 B 0 直 線 A D 與平 面 MBC所 成 角 的正弦值 為 2 幾何 法 法 一 垂 面法 M 是 AD 的 中點(diǎn) A B B D B M 上 A D 又 由 1 知 C D 上 面 A B D B M c 面 AB D C D 上 B M C D n A D D B M 上 面 A C D B M 面 MBC 面 MCD 上 面 MBC C MD 是直線 A D 與平面 MB C所成的角 C D 1 M D 一 號 A D 一 C D 上 A D M C 一 S i n C M D 一 爭 直 線 A D 與 平 面 MB C所成角的正弦值為 點(diǎn)評 垂面法是解決線面角 二面角常用 的 方 法 在 解 題 時 只 需 找 出 或作 出 已知平 面 的垂 面 再過該垂面與已知直線的交點(diǎn)作交線 垂面與 已知平面的交線 的垂線 則斜線在已知平面的射 影顯而易見 線面角 的求解就化 歸為平 面直角三 角 形 的 問題 了 法二 等體 積法 在 Rt AC DM 中 C D 1 D M 一 MC一 2 又 BM B C 一 B M z c Mz BC 一 丟 B M C M 一 5 1 s 一 丟 肋 C D 一 1 e 1 M i l l i B C D NNN 3 9 1A B 即 設(shè)點(diǎn) D 到 面 BMC 的距 離 為 h 由 VD M c M 一 得 s B M c 一 號 s 腳 專 一 丟 一 設(shè)直 線 A D 與平 面 MBC所成 的角為 0 則 s i n 一 一 直 線 A D 與 平面 MB C所 成 角的正 弦 值 為 點(diǎn) 評 等體 積 法 常用 來 求點(diǎn) 面 距離 線 面 距 離 面 面距 離 對 于線 面角 當(dāng)斜 線 在 已知 平 面 的 射影 較 難 尋 找 時 可 以用 等體 積 法求 出點(diǎn) D 到 平 面 MB C的距離 再用所求角的正弦值求線 面角 這樣 省 去 了找 線 面 角 的麻 煩 不 能 不 說 是 一 種 好 解 法 法三 嵌 入 法 1 8 數(shù) 學(xué)通訊 2 O 1 4年第 1 1 1 2期 上半月 輔教導(dǎo) 學(xué) 如 能將 原 圖形 嵌 入 到 規(guī) 則 的 幾 何 體 亦 或 將 原 圖 進(jìn) 行 適 當(dāng) 的 延 展 補(bǔ)體 讓 幾 何 體 有更 強(qiáng) 的 視 覺 感 無 論 用 向 量法還是用 幾何法 將 會 有 更 多 的 解 題 切 入 點(diǎn) 解題 思 路更 清 晰 透 C 圖 3 亮 由 A B J B D C D 上 B D 平 面 A BD 上 平面 B C D A B B D C D 自然想 到將 幾何 體 放人 正 方 體 如 圖 3所 示 以上 各種 解 法 在 此 圖 中 仍然 適 用 下 面再 給 出嵌入 后 的另 一 種精 彩解 法 如 圖 3 延 長 B M 至 右上 頂點(diǎn) E 連結(jié) C E D F 用三垂 線 定理 易證 D F 上 面 B C E F A I AD F A 一 1 A D 一 2 D F 3 C OS ADF 設(shè) 直線 A D 與平面 MBC所成 的角 為 則s i n口 C O S A DF 一 7 直 線 AD 與平 面 MB C所成 0 角的正弦值為 0 點(diǎn)評 解 完后 長舒一 口氣 在 感 嘆此 法在解 題中帶來 的優(yōu)越性后 發(fā)現(xiàn)正方 體可將立體幾何 的空 間感 展 現(xiàn)得 淋漓 盡 致 原 圖嵌 入 后 只要 做適 當(dāng)?shù)难?展 讓 有關(guān) 點(diǎn) 線 面更 具 空 間 感 讓 解 題 得 心 應(yīng)手 這樣 好 的解題 模 型不 用 豈不 可惜 解 完 此 題 后 筆 者 意猶未 盡 思考 在 什 么 情 況下 會 讓 我 們 不 自覺 地 想 到 嵌 入 法 呢 為 此 筆 者 做 了 如 下 探 究 三 變 式探 究 1 隱藏 圖形 將 試題 的 圖 形 隱 去 試 題 難 度 提 升 怎 么 畫 圖 畫 怎樣 的 圖成 為解 題 的關(guān) 鍵 點(diǎn) 可 以預(yù) 見 如 果 任 意畫 一個 四面體 雖然 可 以 解 但 圖 形 沒 有 了 較好 的空 間感 解起 來 費(fèi) 時費(fèi) 力 對 于解 題 顯 然不 利 由題 目條 件 中給 的 AB上 B D C D 上 B D 平 面 AB D j 平面 B C D 可 將 B D C D 放 于底面 因 A B 上 B D 平面 A BD 上 平面 B C D 正方體模型 自然 浮 出水面 2 改 變角 度 將 條件 平 面 A BD上 平面 B C D 改為 平 面ABD 與平 面 B C D 所 成 二 面 角 的 平 面 角 為 4 5 并 改 變 A B 的長 使 AB為左 側(cè) 面對 角線 將 圖形 隱去 一 道 嶄新 的試題 出爐啦 題 目 四面體 AB C D 中 B D C D 一 1 A B 一 2 A B l B D C D 上 B D 平 面 A B D 與 平 面 BC D 所成 二 面角 的平 面 角 為 4 5 M 為 AD 中點(diǎn) 求直線 A D 與平面 MB C所成角的正弦值 分 析 在 沒 有 給 出立 幾 圖形 的試 題 中 巧 妙 的構(gòu)圖成了此類問題 的解題關(guān)鍵 點(diǎn) 注意到異面 直線 AB C D 同垂 直 于 直線 B D 抓 住 B D 這 條 關(guān) 鍵 線 將 B D C D 放于 底 面 由 A B l B D A B 只能 落在左 側(cè) 面了 這 樣 將 圖形 置 于正 方 體 中 顯 得 很 自然 如 圖 4 C 圖 4 3 改變 長度 D 圖 5 改 變 A B 的長度 A點(diǎn) 在左 側(cè) 面的對 角線 所在 的直線上運(yùn)動 讓圖形進(jìn)一步的 伸 縮 1 AB變 長 讓 A 往 外延 展 題 目 四面體 A BC D 中 肋一 C D 1 AB 一 2 2 A B 上 B D C D l B D 平 面 A BD 與 平 面 BC D 所成二 面 角 的平 面角 為 4 5 M 為 AD 中點(diǎn) 求 直線 A D 與平 面 MBC所 成角 的正 弦值 分 析 過 A 作 底 面 BC D 的垂線 整 個 四面 體 被 嵌入 到底 面 直 角 梯形 的 四棱 錐 如 圖 5 用 向量 法 解答輕 而 易舉 2 A B 變短 讓 A 往 內(nèi)縮 題 目 四面體 AB C D 中 B D C D AB 一 1 A B上 B D C D J B D 平 面 AB D 與平面 BC D 所 成二 面角 的平 面 角 為 4 5 M 為 AD 中點(diǎn) 求 直 線 AD 與平面 MB C所 成 角 的正弦 值 分析 A 在 左側(cè) 面 的對 角線上 此 時 四面體 被移 入正 方體 內(nèi) 可 先 畫 出 正 方 體 再 將 有 關(guān) 點(diǎn) 線 面等元 素 移入 正方 體 內(nèi) 如 圖 6 圖 6 C D 圖 7 C D 輔 教導(dǎo)學(xué) 數(shù)學(xué)通訊 2 O 1 4年第 l 1 1 2期 上半 月 1 9 4 隱藏 角度 若將平面 A BD 與平面 BC D所成二面角的平 面 角為 4 5 的條件 隱去 弱化 條 件 讓 A C動起 來 這樣設(shè)計(jì)可以將 有關(guān)最值 問題 融人其 中 許多新 題 應(yīng)運(yùn) 而生 題 1 四面體 A BC D 中 B D C D A B 一 1 AB l B D C D 上 BD 1 求四面體 AB C D 的體積的最大值 2 求二面角 C AB D 的最大值 題 2 四面體 AB C D 中 B D C D A B 一 1 AB上 B D 求 四面體 A BC D 的體積的最大值 分析 題 1中將 二 面角 隱去 A 點(diǎn) 在 左側(cè) 面 內(nèi)運(yùn) 動 且落 在 以 B為 圓心 1 為半 徑 的 圓上 除去 面 B C D上的點(diǎn) 如圖 7 當(dāng)AB上 面 B C D時 體積 1 最大 V 一 U 題 2中 繼續(xù) 弱化 條 件 將 C D 上 B D 條 件 隱 去 可將面 B C D放在正方體底面 則點(diǎn) C落在 以D 為 圓心 D B為半 徑 的圓上 除 去直 線 B D上 的點(diǎn) 當(dāng) A B 上 面 B C D C D 上 B D 時 四面 體 AB C D 的 1 體積最大 V 一 圖 8 圖 8 四 試 題尋 源 高 考試 題 原創(chuàng) 性 雖 強(qiáng) 但 也 不是 無 源 之水 無 本 之 木 不少 考題 都是 有原 型 的 這些 原 型 要 么來 自教材 要么來 自競賽題 有些則是過去高考題 的 改編 由以上探究 發(fā)現(xiàn) 命 題者 是借 助一種模型 即 兩 條 異 面 直 線 AB C D 同 垂 直 于 直 線 BD 即AB上 B D C D上 B D 讓 A B動起來 借助 翻折問題將圖形鎖定在特殊位置上 抓住 B D這條 關(guān)鍵 線讓 A 點(diǎn) 在左 側(cè) 面 動起 來 讓 C點(diǎn) 在 下 底 面 動起 來 許 多新試 題 因此 而 生 這 樣 的模 型并 非無 源可循 在許 多競賽試 題 中 我們 找到 了它的蹤 跡 如 以下 幾例 題 1 2 0 1 4 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建省預(yù)賽 試 題 在 三棱 錐 D A B C中 A B B C一 2 A B上 B D B C 上 C D D A 上 A B C DA 一 6 0 則 三棱 錐 D AB C 的體 積為 題 2 2 0 0 9 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽 試 題 四面 體 A B C D 中 C D 上 B C AB l B C C D AC A B B C 一 1 平 面 B C D 與 平 面 AB C 成 4 5 的 二 面 角 則 點(diǎn) B 到 平 面 AC D 的 距 離 為 分析 以上兩道聯(lián)賽試題均 出現(xiàn) 了 A B l B C C D 上 B C 模 型 與 本道 高 考 題 如 出一 轍 從 中窺探到高 考試題與競 賽試題 有千絲 萬縷 的聯(lián) 系 只要將競賽試題