《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)大綱(新).pdf

高等數(shù)學(xué) 教學(xué)大綱 課程編號 2100004 2100005 學(xué)時 176 學(xué)分 11 授課學(xué)院 理學(xué)院 適用專業(yè) 工科類 管理類各專業(yè) 教材 高等數(shù)學(xué) 上下冊 作者 楊則燊 邊馥萍等 天津大學(xué)出版社 一 課程性質(zhì) 目的和任務(wù) 高等數(shù)學(xué)課程是我校本科各專業(yè)必修的一門重要的基礎(chǔ)理論課程 它將為本 科學(xué)生的后繼課程及各專業(yè)課程打下必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 通過本課程的學(xué)習(xí) 學(xué)生 們可獲得 1 函數(shù) 極限連續(xù) 2 一元函數(shù)微積分學(xué) 3 向量代數(shù)及空間解析幾何 4 多元函數(shù)微 積分學(xué) 5 級數(shù) 6 微分方程 等方面的基本概念 基本理論和基本運算技能 二 教學(xué)基本要求 通過各個教學(xué)環(huán)節(jié) 逐步培養(yǎng)學(xué)生具有抽象概括問題的能力 邏輯推理能力 空間想象能力和自學(xué)能力 使學(xué)生具有比較熟練的運算能力和綜合運用所學(xué)知識 去分析問題和解決問題的能力 三 教學(xué)容 1 函數(shù) 極限 連續(xù) 1 函數(shù) 理解函數(shù)概念 掌握函數(shù)記號 了解函數(shù)的有界性 單調(diào)性 周期性和奇偶性 了解反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的概念 熟悉基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形 能列出簡單實際問題中的函數(shù)關(guān)系 2 極限 連續(xù) 了解極限的N 定義 能用 式的語言敘述極限定義 掌握極限四則運算法則 了解兩個極限存在準(zhǔn)則 夾擠準(zhǔn)則 單調(diào)有界準(zhǔn)則 會用兩個重要極限 1 1 lim 1lim 0 e xx smx x xx 求極限 了解無窮小 無窮大的概念 掌握無窮小的比較 理解函數(shù)在一點連續(xù)的概念 會判斷間斷點類型 了解初等函數(shù)的連續(xù)性 知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 介值定理和最大 值 最小值定理 2 一元函數(shù)微分學(xué) 1 導(dǎo)數(shù)與微分 理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念 了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之 間的關(guān)系 能用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量 熟悉導(dǎo)數(shù)和微分的運算法則 包括微分形式不變性 和導(dǎo)數(shù)的基本公式 了 解高階導(dǎo)數(shù)的概念 能熟練地求出初等函數(shù)的一 二階導(dǎo)數(shù) 掌握隱函數(shù)和參量方程確定的函數(shù)的一 二階導(dǎo)數(shù)的求法 2 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 理解羅爾 Rolle 定理 拉格朗日 Lagrange 定理 了解柯西 Cauchy 定 理和泰勒 Taylor 定理 會應(yīng)用拉格朗日定理 理解函數(shù)的極值概念 掌握求函數(shù)的極值 判斷函數(shù)的增減性與函數(shù)圖形 的凹凸性 求函數(shù)圖形的拐點等方法 能描繪函數(shù)圖形 包括水平和鉛直漸近線 會解較簡單的最大值和最小值的應(yīng)用問題 掌握羅必塔 L Hospital 法則 知道曲率和曲率半徑的概念 并會計算曲率和曲率半徑 知道求方程近似解的二分法和切線法 3 一元函數(shù)積分學(xué) 1 不定積分 理解不定積分的概念及性質(zhì) 熟悉不定積分的基本公式 熟練掌握不定積分的換元法和分部積分法 掌 握較簡單的有理函數(shù)的積分 2 定積分 理解定積分的概念和性質(zhì) 理解變上限的定積分作為其上限的函數(shù)及其求導(dǎo)定理 熟悉牛 萊 Newton Leibniz 公式 熟練掌握定積分的換元法及分部積分法 了解廣義積分的概念 知道定積分的近似計算法 梯形法和拋物線法 熟練掌握用定積分來表達一些幾何量與物理量 如面積 體積 弧長和功 等 的方法 4 向量代數(shù)與空間解析幾何 1 理解向量的概念 2 掌握向量的運算 線性運算 點積 叉積 掌握兩個向量夾角的求法及 垂直 平行的條件 3 熟悉單位向量 方向余弦及向量的坐標(biāo)表達式 熟練掌握用坐標(biāo)表達式 進行向量運算 4 熟悉平面方程和直線方程及求法 5 理解曲面方程的概念 掌握常用二次曲面的方程及其圖形 掌握以坐標(biāo) 軸為旋轉(zhuǎn)軸的施轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程 6 知道空間曲線的參數(shù)方程和一般方程 5 多元函數(shù)微分學(xué) 1 理解多元函數(shù)的概念 2 知道二元函數(shù)的極限 連續(xù)性等概念以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 3 理解偏導(dǎo)數(shù) 全微分的概念 了解全微分存在的必要條件與充分條件 4 了解方向?qū)?shù)與梯度的概念 掌握它們的計算方法 5 熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法 會求二階偏導(dǎo)數(shù) 6 會求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 了解由方程組確定的隱函數(shù)的求偏導(dǎo)數(shù)的方法 7 了解曲線的切線與法平面及曲面的切平面與法線 掌握它們的方程的求 法 8 理解多元函數(shù)極值的概念 會求函數(shù)的極值 了解條件極值的概念 會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值 會求解一些較簡單的最大值和最小值的應(yīng)用問題 6 重積分 1 理解二重積分 三重積分的概念 知道重積分的性質(zhì) 2 熟練掌握二重積分的計算方法 包括直角坐標(biāo)與極坐標(biāo) 3 掌握三重積分的計算方法 包括直角坐標(biāo) 柱面坐標(biāo)與球坐標(biāo) 4 能用重積分表達一些幾何量與物理量 如 平面與曲面面積 體積 質(zhì)量 重心 轉(zhuǎn)動慣量等 7 曲線積分與曲面積分 1 理解兩類曲線積分的概念 知道兩類曲線積分的性質(zhì) 2 掌握兩類曲線積分的計算方法 3 熟悉格林 Green 公式 會運用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件 4 知道兩類曲面積分的概念 并會計算兩類曲面積分 5 熟悉高斯 Gauss 公式 會運用曲面積分與曲面無關(guān)的條件 6 知道斯托克斯 Stokes 公式及空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件 7 知道散度 旋度的概念 會計算散度與旋度 8 能用曲線積分及曲面積分來表達一些幾何量與物理量 如弧長 面積 功 通量 重心等 8 級數(shù) 1 理解無窮級數(shù)收斂 發(fā)散以及和的概念 了解無窮級數(shù)收斂的必要條件 知道無窮級數(shù)的基本性質(zhì) 2 熟悉幾何數(shù)和 P 級數(shù)的收斂性 3 掌握正項級數(shù)斂散性的比較判別法及比值判別法 會用根值判別法 4 掌握交錯級數(shù)的萊布尼茲定理 并能估計交錯級數(shù)的截斷誤差 5 了解無窮級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念 以及絕對收斂與收斂的關(guān)系 6 知道函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念 7 熟練掌握簡單冪級數(shù)的收斂域的求法 8 知道冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì) 9 知道函數(shù)展開為臺勞 Taylor 級數(shù)的充要條件 10 掌握x ln 1cosx sinx ex 和 a x 1 的馬克勞林 Maclaurin 展開式 并 能利用這些展開式將一些簡單的函數(shù)展成冪級數(shù) 11 會用冪級數(shù)進行一些近似計算 12 知道函數(shù)展開為付立葉 Forier 級數(shù)的充分條件 能將定義在 和 ll 上的函數(shù)展開為付立葉級數(shù) 能將定義在 lo上的函數(shù)展開為正弦或余弦級數(shù) 9 常微分方程 1 了解微分方程 解 通解 初始條件和特解等概念 2 會識別下列幾種一階微分方程 變量可分離方程 齊次方程 一階線性 方程 貝努利 Bemoulli 方程和全微分方程 3 熟練掌握變量可分離方程及 階線性方程的解法 會解齊次方程和貝 努利方程 會解較簡單的全微分方程 4 知道下列幾種特殊的高階方程 y x fy x fy n 和 y y fy 的降階法 5 了解二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 6 熟練掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法 并知道高階常系數(shù)齊次 線性微分方程的解法 7 掌握自由項為多項式 指數(shù)函數(shù) 正弦函數(shù) 余弦函數(shù)以及它們的和與 乘積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法 8 會用微分方程解一些簡單的幾何和物理問題 四 學(xué)時分配 參