大數賽《解析幾何》第五章培訓講義.doc

大學生數學競賽解析幾何培訓講義第五章 二次曲線的一般理論一、本章知識脈絡框圖一般式方程 二次曲線的方程雙線性式方程矩陣式方程兩個不同的實交點兩個重合的實交點直線與二次曲線的相關位置兩個共軛的虛交點惟一實交點沒有交點直線在二次曲線上二次曲線的中心、漸近方向及漸近線二次曲線按中心分類二次曲線按漸近方向分類二次曲線的直徑及共軛直徑、主方向及主直徑用坐標變換化簡二次曲線的化簡用不變量化簡二、本章重點及難點二次曲線屬于平面解析幾何的內容。在中學我們已經對二次曲線的各種具體表現(xiàn)形式做了比較多的研究，如橢圓、雙曲線、拋物線等。在這一章，我們主要是對所有的二次曲線作一個一般理論上的研究。本章的重點是：l 二次曲線與直線的交點；l 二次曲線按中心分類、二次曲線按漸近方向分類；l 二次曲線的中心、漸近方向和漸近線、主方向和主直徑；l 化簡二次曲線.本章的難點是：l 主方向和主直徑；l 化簡二次曲線.l 利用二次曲線的不變量解決有關問題. 三、本章的基本知識要點1.將二次曲線的一般方程表示為雙線性式： 其中也可以表示成短陣形式：其中矩陣A是一個對稱矩陣 2.將直線代入二次曲線的方程中，得到其中記通過方程的系數的討論，直線與二次曲線的位置關系如下：（1）0 直線與二次曲線有兩個不同的實交點（2）=0有一對相重合的實交點（3）0沒有實交點（4） 直線與二次曲線只有一個實交點（5）直線與二次曲線沒有實交點（6）直線落在曲線上 3.在二次曲線上一點Mo(x。，y。)處的切線方程 4.滿足的方向 稱為二次曲線的漸近方向，按漸近方向可以將二次曲線分成三類：（1）0：橢圓型、（2）=0：拋物型（3）0：雙曲型其中5.滿足的點(x。，y。)稱為二次曲線的中心，按中心也可以將二次曲線分為三類：（1）：中心曲線（2）：無心曲線（3）：線心曲線 6. 滿足的點(x。，y。)稱為二次曲線的奇異點，二次曲線在奇異點的切線不確定. 7.二次曲線的直徑是二次曲線的對稱軸（1)中心曲線無實的漸近方向，對任意方向的直徑為（2）無心曲線的直徑平行于曲線的漸近方向（3)線心曲線只有一條直徑：8.二次曲線的與非漸近方向共軛的直徑方向叫做非漸近方向的共軛方向，具有共軛方向的直徑稱為共軛直徑.9.與共軛方向垂直的方向稱為主方向，具有主方向的直徑稱為主直徑.成為二次曲線的主方向的條件是 (51)由特征方程即解出再代入(51)就可求出曲線的主方向.其中10. 化簡二次曲線的方程（1）用坐標變換化簡二次曲線的方程如果曲線為中心二次曲線可以求出中心作新坐標系的原點進行移軸消去二次曲線方程的一次項，然后再通過使轉角滿足的轉軸變換消去二次曲線方程的交叉項；如果曲線是無心曲線，則先作使轉角滿足的轉軸變換消去二次曲線方程的交叉項，然后再通過對方程配方的方法找出移軸公式進行移軸化簡方程；如果曲線是線心曲線，可以通過分解因式的方法化簡.利用轉軸來消去二次曲線方程的xy項，它有一個幾何意義，就是把坐標軸旋轉到與二次曲線的主方向平行的位置.這是因為如果二次曲線的特征根確定的主方向為，那么由(51)可以得所以因此，上面介紹的通過轉軸與移軸來化簡二次曲線的方程，實際上是把坐標軸變換到與二次曲線的主直徑（即對稱軸）重合的位置.如果是中心曲線，坐標原點與曲線的中心重合；如果是無心曲線，坐標原點與曲線的頂點重合；如果是線心曲線，坐標原點可以與曲線的任何一個中心重合.因此，二次曲線的方程的化簡，只要先求出曲線的主直徑，然后以它作為坐標軸，作坐標變換即可. (2)用曲線的不變量和半不變量化簡二次曲線的方程在直角坐標變換下，都是不變量；是半個不變量所以可以通過二次曲線的系數矩陣A求出二次曲線的標準方程其中如果曲線為中心二次曲線，從特征方程求出，就可以寫出曲線的簡化方程為.如果曲線是無心曲線，簡化方程為.如果曲線是線心曲線，簡化方程為.四、基本例題解題點擊【例1】作轉軸變換，消去二次曲線中的項，求轉角.【解】因為作使的轉角就可以消去二次曲線方程中的項所以， 【例2】 求二次曲線的簡化方程.【提示】因為只要求曲線的簡化方程，不要求畫圖.因此可以用二次曲線的不變量來解.【解】因為，所以曲線為中心曲線.從特征方程即求出，簡化方程為，解得簡化方程為 【例3】 作移軸變換，消去中心二次曲線中的一次項，求新原點的坐標.【解】因為，所以曲線為中心曲線.只要求出曲線的中心作新坐標系的原點進行移軸就可以消去二次曲線方程的一次項.解方程組求得曲線的中心坐標為（0，1）. 【例4】 如果二次曲線是線心曲線，求的值.【解】因為二次曲線為線心曲線的充要條件是.所以求出 【例5】 求二次曲線的漸近方向.【解】因為滿足的方向 就稱為二次曲線的漸近方向 所以只要解方程就可以求得二次曲線的漸近方向因此已知二次曲線只有一個的漸近方向 【例6】.求二次曲線對于方向共扼的直徑【解】將二次曲線表示成矩陣形式：由方程組解出中心坐標為設與方向共軛的方向為由共軛方向之間的關系得所以因此二次曲線的對于方向共扼的直徑為 【例7】求二次曲線的主方向和主直徑.【解】二次曲線的矩陣形式為由于，所以該曲線為非中心曲線.由特征方程解出.分別將代入線性方程組解出對應的主方向為，.其中是漸近主方向.因此曲線只有一條主直徑，方程為即 【例8】設二次曲線表示兩條平行直線，證明這兩條直線的距離為.【證明】因為二次曲線表示兩條平行直線，故有0，從而該曲線為線心曲線，其簡化方程為，即與所以兩直線的距離為. 五、擴展例題解題點擊【例1】 證明二次曲線為中心二次曲線，且直線通過該中心?！咎崾尽壳€就是為中心二次曲線.求出中心坐標代入直線方程，如果滿足直線方程，那么該直線就通過中心. 【例2】證明二次曲線上的每一點都是奇異點【提示】用奇異點的定義【證明】二次曲線可以表示為由于對于二次曲線上的點(x,y)，下面各方程是恒等式，故任意的（x,y）都成立，所以二次曲線上的每一點都是奇異點. 【例3】 求二次曲線的漸近線. 【解】 二次曲線可以表示成短陣形式由方程組解出中心坐標為又由，解得漸近方向為因此漸近線為和 【例4】 求平面直角坐標變換將二次曲線化簡為標準方程.【提示】有兩個方法化簡.一個是轉軸移軸分別作；另一個是求出主直徑就可以求出坐標變換公式化簡方程.下面給出一個解法.【解】二次曲線的矩陣形式為由于，所以該曲線為非中心曲線.由特征方程解出.分別將代入線性方程組解出對應的主方向為因此曲線只有一條主直徑，方程為即求出主直徑與曲線的交點，即曲線的頂點為，所以過曲線的頂點且以非漸近主方向為方向的直線為即這也是過頂點垂直于主直徑的直線，取主直徑為新坐標系的軸，而過頂點垂直于主直徑的直線為軸作坐標變換，它的變換公式為解出代入已知方程，經過整理得化為標準方程 【例5】 已知二次曲線的方程為.證明：1.二次曲線為線心曲線2.二次曲線的簡化方程為.【證明】1.二次曲線的方程為 由于，所以曲線表示.線心曲線 2. 簡化方程為即 【例6】證明以直線 為漸近線的二次曲線方程總能寫成 【證明】設以直線 為漸近線的二次曲線方程為它的漸近線方程為其中為曲線的中心，因為是關于的二次齊次式，所以它可以分解成兩個一次式之積，從而有=因為為曲線的中心，所以令代入上式得=即=故以直線 為漸近線的二次曲線方程可寫成 ： 【例7】試證明二次曲線兩個不同特征根確定的主方向相互垂直.【證明】設，由它們確定的主方向分別為與，則有 與所以故有因為，所以，故兩個主方向與相互垂直.【例8】試證二次曲線是一個實圓的充要條件是0.【證明】因為圓為橢圓的特例，故二次曲線是一個實圓的充要條件是 0，0，且簡化方程中的，所以特征方程的判別式.所以有，此時有.因此方程又可簡化為由于 0，0可得 0，曲線為實圓.故該二次曲線是一個實圓的充要條件是0. 六、本章訓練題及提示【訓練題1】已知二次曲線的方程為 證明：1.二次曲線為中心二次曲線； 2.二次曲線的標準方程為.【訓練題2】 求過點(1，1)且與二次曲線相切的直線【提示】點(1，1)不是切點【訓練題3】 求二次曲線過點（1，-2）的直徑，并求出與這個直徑共扼的直徑【提示】注意曲線無實漸近方向【訓練題4】 求平面直角坐標變換將二次曲線化簡為標準方程.【訓練題5】 證明二次曲線表示兩條平行直線，并且這兩條直線的距離為【提示】注意用二次曲線的不變量和半不變量【