北京理工大學(xué)2008級數(shù)值分析試題及答案.doc

課程編號：12000044 北京理工大學(xué)2009-2010學(xué)年第二學(xué)期2008級計算機(jī)學(xué)院數(shù)值分析期末試卷A卷 班級 學(xué)號 姓名 成績 注意： 答題方式為閉卷。 可以使用計算器。l 請將填空題和選擇題的答案直接填在試卷上，計算題答在答題紙上。一、 填空題（每空2分，共30分）1. 設(shè)函數(shù)f(x)區(qū)間a，b內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(a)f(b)0, 當(dāng) 時，用雙點弦截法產(chǎn)生的解序列收斂到方程f(x)=0的根。2. n個求積節(jié)點的插值型求積公式的代數(shù)精確度至少為_次，n個求積節(jié)點的高斯求積公式的代數(shù)精度為 。3. 已知a=3.201，b=0.57是經(jīng)過四舍五入后得到的近似值，則ab有 位有效數(shù)字，a+b有 位有效數(shù)字。4. 當(dāng)x=1，-1，2時，對應(yīng)的函數(shù)值分別為f(-1)=0，f(0)=2，f(4)=10，則f(x)的拉格朗日插值多項式是 。5. 設(shè)有矩陣，則A1_。6. 要使的近似值的相對誤差小于0.2%，至少要取 位有效數(shù)字。7. 對任意初始向量和常數(shù)項，有迭代公式產(chǎn)生的向量序列收斂的充分必要條件是 。8. 已知n=3時的牛頓-科特斯系數(shù)則 ， 。9. 三次樣條函數(shù)是在各個子區(qū)間上的 次多項式。10. 用松弛法 ()解方程組的迭代公式是 。11. 用牛頓下山法求解方程根的迭代公式是 ，下山條件是 。二、 選擇填空（每題2分，共10分）1. 已知數(shù)x1=721 x2=0.721 x3=0.700 x4=7*10-2是由四舍五入得到的，則它們的有效數(shù)字的位數(shù)應(yīng)分別為( )。 A. 3，3，3，1 B. 3，3，3，3 C. 3，3，1，1 D. 3，3，3，22. 為求方程x3x21=0在區(qū)間1.3,1.6內(nèi)的一個根，把方程改寫成下列形式，并建立相應(yīng)的迭代公式，迭代公式不收斂的是( )。 A. B. C. D. 3. 線性方程組 AX=B 能用高斯消元法求解的充分必要條件是（ ）。A. A 為對稱矩陣 B. A為實矩陣C. A0 D. A的各階順序主子式不為零4. 用選主元的方法解線性方程組AXB，是為了（ ）。A. 提高計算速度 B. 減少舍入誤差C. 減少相對誤差 D. 方便計算5. 下列說法不正確的是（ ）。A. 二分法不能用于求函數(shù)f(x)=0的復(fù)根。B. 方程求根的迭代解法的迭代函數(shù)為j(x)，則迭代收斂的充分條件是j(x)1。C. 用高斯消元法求解線性方程組AXB時，在沒有舍入誤差的情況下得到的都是精確解。D. 如果插值節(jié)點相同，在滿足插值條件下用不同方法建立的插值公式是等價的。三、 計算題（共60分）1. 已知單調(diào)連續(xù)函數(shù)y=f(x)的如下數(shù)據(jù)，若用插值法計算，x約為多少時f(x)=0.5，要求計算結(jié)果保留小數(shù)點后4位。（6分）xi-1 0 2 3f(xi)-4 -1 0 32. 設(shè)a為常數(shù)，建立計算的牛頓迭代公式，并求的近似值，要求計算結(jié)果保留小數(shù)點后5位。（6分）3. 用三點高斯求積公式求，計算結(jié)果保留小數(shù)點后6位（6分）4. 用高斯消元法解下面的線性方程組。（6分）5. 用高斯賽德爾方法求下列方程組的解，計算結(jié)果保留4位小數(shù)。（6分）6. 設(shè)函數(shù)f(x) 在區(qū)間0,3上具有四階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，試用埃爾米特插值法求一個次數(shù)不高于3的多項式P3(x)，使其滿足如下數(shù)據(jù)表值，并給出截斷誤差估計公式。（10分）xyy00113217. 用 Euler法和改進(jìn)的歐拉法求解下述初值問題，取h0.1，計算到x=0.5，要求計算結(jié)果保留小數(shù)點后6位。（10分）8. 用復(fù)化梯形公式計算積分，若要使截斷誤差不超過10-2，則應(yīng)在區(qū)間0，1上分成多少等份？并計算積分的近似值。（10分）課程編號：12000044 北京理工大學(xué)2009-2010學(xué)年第二學(xué)期2008級計算機(jī)學(xué)院數(shù)值分析期末試卷A卷 班級 學(xué)號 姓名 成績 注意： 答題方式為閉卷。 可以使用計算器。l 請將填空題和選擇題的答案直接填在試卷上，計算題答在答題紙上。一、 填空題（每空2分，共30分）1. 設(shè)函數(shù)f(x)區(qū)間a，b內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(a)f(b)0, 當(dāng) f(x)0 時，用雙點弦截法產(chǎn)生的解序列收斂到方程f(x)=0的根。2. n個求積節(jié)點的插值型求積公式的代數(shù)精確度至少為_次，n個求積節(jié)點的高斯求積公式的代數(shù)精度為 。3. 已知a=3.201，b=0.57是經(jīng)過四舍五入后得到的近似值，則ab有 2 位有效數(shù)字，a+b有 2 位有效數(shù)字。解析：h(ab)= h(a)+ h(b)= ,e(ab)= h(ab)ab0.0093.2010.570.0160.05e(a+b)= e(a)+ e(b)=0.0005+0.005=0.00550.054. 當(dāng)x=1，-1，2時，對應(yīng)的函數(shù)值分別為f(-1)=0，f(0)=2，f(4)=10，則f(x)的拉格朗日插值多項式是 。解析： 5. 設(shè)有矩陣，則A1_。解析：|A|1=max2+0,3+4=76. 要使的近似值的相對誤差小于0.2%，至少要取 3 位有效數(shù)字。解析： 0.0050.0097. 對任意初始向量和常數(shù)項，有迭代公式產(chǎn)生的向量序列收斂的充分必要條件是 r(M)1 。8. 已知n=3時的牛頓-科特斯系數(shù)則 ， 。9. 三次樣條函數(shù)是在各個子區(qū)間上的 3 次多項式。10. 用松弛法 ()解方程組的迭代公式是 。11. 用牛頓下山法求解方程根的迭代公式是 ，下山條件是 |f(xn+1)| |f(xn)| 。解析：牛頓迭代公式：xn+1=xn-f (xn)/ f (xn) 牛頓下山法迭代公式：xn+1=xn-lf(xn)/f(xn) f(x)x21 xn+1=xn-l( xn3/3xn)/( xn21)= xn-l xn ( xn33)/( 3xn23)二、 選擇填空（每題2分，共10分）1. 已知數(shù)x1=721 x2=0.721 x3=0.700 x4=7*10-2是由四舍五入得到的，則它們的有效數(shù)字的位數(shù)應(yīng)分別為( A )。 A. 3，3，3，1 B. 3，3，3，3 C. 3，3，1，1 D. 3，3，3，22. 為求方程x3x21=0在區(qū)間1.3,1.6內(nèi)的一個根，把方程改寫成下列形式，并建立相應(yīng)的迭代公式，迭代公式不收斂的是( A,D )。 A. B. C. D. 解析：A: |j(1.3)|3.1 |j(1.6)| 1.1 B: |j(1.3)|0.9 C: D: 3. 線性方程組 AX=B 能用高斯消元法求解的充分必要條件是（D ）。A. A 為對稱矩陣 B. A為實矩陣C. A0 D. A的各階順序主子式不為零4. 用選主元的方法解線性方程組AXB，是為了（ B ）。A. 提高計算速度 B. 減少舍入誤差C. 減少相對誤差 D. 方便計算5. 下列說法不正確的是（ B ）。A. 二分法不能用于求函數(shù)f(x)=0的復(fù)根。B. 方程求根的迭代解法的迭代函數(shù)為j(x)，則迭代收斂的充分條件是j(x)0 取x0=11x1=(11+115/11)=10.72727 x2=(10.72727+115/10.72727)= 10.72381x2=(10.72381+115/10.72381)= 10.723813. 用三點高斯求積公式求，計算結(jié)果保留小數(shù)點后6位（6分）4. 用高斯消元法解下面的線性方程組。（6分）解答：l11=1,u11=1u12=1u13=-1z1=1l21=1/1=1l22=1,u22=2-11=1u23=-2-1(-1)=-1z2=0-11=-1l31=-2/1=-2l32=1-(-2) 1=3l33=1,u33=1-(-2)(-1)-3(-1)=2z3=1-(-2)1-3(-1)=6 解得：5. 用高斯賽德爾方法求下列方程組的解，計算結(jié)果保留4位小數(shù)。（6分）解答：取x0=(0,0,0)x1=(0.3,1.56,2.684)x2=(0.8804,1.9445,2.9539)x3=(0.9843,1.9923,2.9938)x4=(0.9978,1.9989,2.9991)x5=(0.9997,1.9999,2.9999)x6=(1.0000,2.0000,3.0000)x7=(1.0000,2.0000,3.0000)6. 設(shè)函數(shù)f(x) 在區(qū)間0,3上具有四階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，試用埃爾米特插值法求一個次數(shù)不高于3的多項式P3(x)，使其滿足如下數(shù)據(jù)表值，并給出截斷誤差估計公式。（10分）xyy0011321解答：構(gòu)造差商表：xyfxi,xi+1fxi,xi+1,xi+2fxi,xi+1,xi+2,xi+30011(1-0)/(1-0)=111y/1!=3(3-1)/(1-0)=221(1-1)/(2-1)=0(0-3)/(2-1)=-3(-3-2)/(2-0)=-2.5P3(x)=0+x1+x(x-1) 2+x(