2010海天強(qiáng)化數(shù)學(xué)講義第二章.pdf

考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 32 第二章一元函數(shù)微分學(xué)第二章一元函數(shù)微分學(xué) 第一節(jié)第一節(jié)第一節(jié)第一節(jié)導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分 1 1 1 1 導(dǎo)數(shù)定義 導(dǎo)數(shù)定義 導(dǎo)數(shù)定義 導(dǎo)數(shù)定義 0 xf x xfxxf x lim 00 0 0 0 lim 0 xx xfxf xx 左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù) 0 xf x xfxxf x lim 00 0 右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù) 0 xf x xfxxf x lim 00 0 可導(dǎo)可導(dǎo)可導(dǎo)可導(dǎo)左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等 2 2 2 2 微分定義 微分定義 微分定義 微分定義 若 則稱在處若 則稱在處可微可微可微可微 00 xxAxfxxfy xf 0 x xxfxxfyd d 00 3 3 3 3 導(dǎo)數(shù)與微分的幾何意義 導(dǎo)數(shù)與微分的幾何意義 導(dǎo)數(shù)與微分的幾何意義 導(dǎo)數(shù)與微分的幾何意義 會(huì)求曲線的切線和法線方程 會(huì)求曲線的切線和法線方程 4 4 4 4 連續(xù) 連續(xù) 連續(xù) 連續(xù) 可導(dǎo)可導(dǎo)可導(dǎo)可導(dǎo) 可微之間的關(guān)系可微之間的關(guān)系可微之間的關(guān)系可微之間的關(guān)系 5 5 5 5 求導(dǎo)法則 求導(dǎo)法則 求導(dǎo)法則 求導(dǎo)法則 1 有理運(yùn)算法則 2 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法 3 隱函數(shù)求導(dǎo)法 4 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 5 參數(shù)方程求導(dǎo)法 6 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 7 高階導(dǎo)數(shù) 1 有理運(yùn)算法則 2 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法 3 隱函數(shù)求導(dǎo)法 4 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 5 參數(shù)方程求導(dǎo)法 6 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 7 高階導(dǎo)數(shù) 題型一 可導(dǎo)性的討論 導(dǎo)數(shù)定義 題型一 可導(dǎo)性的討論 導(dǎo)數(shù)定義 題型一 可導(dǎo)性的討論 導(dǎo)數(shù)定義 題型一 可導(dǎo)性的討論 導(dǎo)數(shù)定義 連續(xù)可導(dǎo) 可微 考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 33 例例例例 2 12 12 12 1 設(shè)函數(shù)在處連續(xù) 下列命題錯(cuò)誤的是設(shè)函數(shù)在處連續(xù) 下列命題錯(cuò)誤的是 xf0 x A 若 B 若 A 若 B 若 0 0 lim 0 f x xf x 則存在0 0 lim 0 f x xfxf x 則存在 C 若存在 D 若存在 C 若存在 D 若存在 0 lim 0 f x xf x 則存在 0 lim 0 f x xfxf x 則存在 解法解法解法解法 1 1 1 1直接法 直接說明 直接法 直接說明 D D D D 中的命題是錯(cuò)誤的 中的命題是錯(cuò)誤的 令 我們知道不存在 但令 我們知道不存在 但xxf 0 f 存在存在 0lim lim 00 x xx x xfxf xx 故應(yīng)選 故應(yīng)選 D D D D 解法解法解法解法 2 2 2 2排除法 即說明 排除法 即說明 A A A A B B B B C C C C 中的三個(gè)命題都正確 中的三個(gè)命題都正確 由存在 且其分母趨于零 則 又在處連續(xù) 由存在 且其分母趨于零 則 又在處連續(xù) x xf x lim 0 0 lim 0 xf x xf0 x 則 則 則 則 A A A A 中命題正確 同理可說明 中命題正確 同理可說明 B B B B 中命題正確 中命題正確 0 0 lim 0 fxf x 由知 則由知 則0 lim 0 x xf x 0 0 f 0 0 0 lim lim 00 f x fxf x xf xx 從而 從而 C C C C 中命題也正確 中命題也正確 即 即 A A A A B B B B C C C C 都不能選 故 應(yīng)選 都不能選 故 應(yīng)選 D D D D 例例例例 2 22 22 22 2 設(shè) 則在點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件為設(shè) 則在點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件為0 0 f xf0 x A 存在B 存在A 存在B 存在cosh 1 1 lim 2 0 f h h 1 1 lim 0 h h ef h C 存在D 存在C 存在D 存在sinh 1 lim 2 0 hf h h 2 1 lim 0 hfhf h h 解法解法解法解法 1 1 1 1直接法 由于 直接法 由于 1 1 lim 0 h h ef h h e e fef h h h h 1 1 0 1 lim 0 令令 h h h e fef 1 0 1 lim 0 teh 1 0 0 lim 0 f t ftf t 考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 34 故應(yīng)選 故應(yīng)選 B B B B 解法解法解法解法 2 2 2 2排除法 由于 排除法 由于 2 0 2 0 cosh1 cosh1 0 cosh 1 lim cosh 1 lim h ff h f hh 0 2 1 cosh1 0 cosh 1 lim 2 1 0 f ff h 由于 則 由于 則 A A A A 中極限存在只能推得在處的右導(dǎo)數(shù)存 中極限存在只能推得在處的右導(dǎo)數(shù)存0cosh1 xf0 x 在 所以 在 所以 A A A A 不正確 不正確 C C C C 也不正確 事實(shí)上 取 顯然不存在 也不正確 事實(shí)上 取 顯然不存在 3 2 xxf 0 f 但但sinh 1 lim 2 0 hf h h 存在存在 3 2 3 2 3 0 2 3 2 0 6 1sinh lim sinh lim h h h h hh D D D D 也不正確 事實(shí)上取 顯然不存在 因?yàn)?也不正確 事實(shí)上取 顯然不存在 因?yàn)?0 0 0 1 x x xf 0 f 在處不連續(xù) 但在處不連續(xù) 但 xf0 x 0 11 1 lim 2 1 lim 00 h hfhf h hh 故應(yīng)選 故應(yīng)選 B B B B 例例例例 2 32 32 32 3設(shè) 可導(dǎo) 則是在可導(dǎo)設(shè) 可導(dǎo) 則是在可導(dǎo) xf sin1 xxfxF 0 0 f xF0 x 的的 A A A A 充分必要條件充分必要條件 B B B B 充分條件但非必要條件充分條件但非必要條件 C C C C 必要條件但非充分條件必要條件但非充分條件 D D D D 既非充分條件又非必要條件既非充分條件又非必要條件 解解解解 由于 而可導(dǎo) 則在由于 而可導(dǎo) 則在xxfxfxxfxFsin sin1 xf xF 可導(dǎo)的充要條件是在可導(dǎo) 令可導(dǎo)的充要條件是在可導(dǎo) 令0 xxxfsin 0 xxxfxsin 0 0 0 0 sin lim 0 0 lim 00 xf xf x xxf x x xx 則是在可導(dǎo)的充要條件 故應(yīng)選 則是在可導(dǎo)的充要條件 故應(yīng)選 A A A A 0 0 f x 0 x 注 注 注 注 由本題的分析過程也得到一條常用的結(jié)論 設(shè) 其由本題的分析過程也得到一條常用的結(jié)論 設(shè) 其axxxf 考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 35 在處連續(xù) 則在處可導(dǎo)的充要條件是在處連續(xù) 則在處可導(dǎo)的充要條件是 x ax xfax 0 a 例例例例 2 42 42 42 4 函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 2 32 xxxxxf A 3 B 2 C 1 D 0 A 3 B 2 C 1 D 0 解解解解xxxxxf 32 2 xxxxx11 1 2 顯然不可導(dǎo)的點(diǎn)最多三個(gè) 即 顯然不可導(dǎo)的點(diǎn)最多三個(gè) 即 xf1 x1 x0 x 但由但由例例例例 2 32 32 32 3 的注可知 在可導(dǎo) 而在 不可導(dǎo) 故應(yīng)的注可知 在可導(dǎo) 而在 不可導(dǎo) 故應(yīng) xf1 x1 x0 x 選 選 B B B B 例例例例 2 52 52 52 5 設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo) 則函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo)的充分條設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo) 則函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo)的充分條 xfax xfax 件是 A 且B 且 件是 A 且B 且 0 af0 af 0 af0 af C 且D 且C 且D 且 0 af0 af 0 af0 af xfax xfax 的某鄰域內(nèi) 此時(shí)的某鄰域內(nèi) 此時(shí)ax 0 xf xfxf 與在處可導(dǎo)性相同 故 與在處可導(dǎo)性相同 故 C C C C 不正確 不正確 xf xfax 同理 同理 D D D D 不正確 故應(yīng)選 不正確 故應(yīng)選 B B B B 解法解法解法解法 2 2 2 2直接法 直接法 直接法 直接法 直接證明 直接證明 B B B B 正確 正確 令令 xfx ax afxf ax ax axax lim lim 考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 36 ax xf ax lim axaf axaf 即 即 afa afa 由于 則 則在不可導(dǎo) 故應(yīng)選 由于 則 則在不可導(dǎo) 故應(yīng)選 B B B B 0 af aa xfax 例例例例 2 62 62 62 6 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)內(nèi)在則 1lim 3 xfxxf n n n A 處處可導(dǎo) B 恰有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn) C 恰有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn) D 至少有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn) A 處處可導(dǎo) B 恰有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn) C 恰有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn) D 至少有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn) 解解解解利用利用例例例例 1 301 301 301 30 的結(jié)論 本題中 則的結(jié)論 本題中 則1 1 a 3 3 2 xxa 1 1 1 max 1lim 3 21 3 xx x aaxxf n n n 顯然為偶函數(shù) 不可導(dǎo)的點(diǎn)只可能為 只需討論 顯然為偶函數(shù) 不可導(dǎo)的點(diǎn)只可能為 只需討論 xf1 x1 x 0 1 f3 1 1 lim 1 3 1 x x f x 則在不可導(dǎo) 從而也不導(dǎo) 故應(yīng)選 則在不可導(dǎo) 從而也不導(dǎo) 故應(yīng)選 C C C C xf1 x1 x 例例例例 2 72 72 72 7 設(shè)在上二階可導(dǎo) 設(shè)在上二階可導(dǎo) xf 0 0 f 0 0 xa x x xf xg 1 確定使在上連續(xù) 1 確定使在上連續(xù) a xg 2 證明對(duì)以上確定的 在上有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù) 2 證明對(duì)以上確定的 在上有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù) a xg 解解解解1 1 1 1 顯然在處連續(xù) 而顯然在處連續(xù) 而 xg0 x 0 lim lim 00 f x xf xg xx 則若時(shí)在上連續(xù)則若時(shí)在上連續(xù) 0 fa xg 2 2 2 2 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) 0 x 且連續(xù) 且連續(xù) 2 x xfxf x xg xg 考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 37 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) 0 x x gxg g x 0 lim 0 0 2 00 0 lim 0 lim x xfxf x f x xf xx 導(dǎo)數(shù)定義 導(dǎo)數(shù)定義 2 0 2 0 lim 0 f x fxf x 2 0 2 00 0 0 lim lim lim x xff xfxfx x xfxf x xg xxx 0 2 0 2 0 0 0 lim 0 lim 2 00 g ff f x f xxf x fxf xx 則在處連續(xù) 故在上有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)則在處連續(xù) 故在上有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù) xg 0 x xg 題型二題型二題型二題型二復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù) 定理 定理 定理 定理 設(shè)在處可導(dǎo) 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處可導(dǎo) 則復(fù)合函設(shè)在處可導(dǎo) 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處可導(dǎo) 則復(fù)合函 xu 0 x ufy 00 xu 數(shù)在處可導(dǎo) 且數(shù)在處可導(dǎo) 且 xfy 0 x 00 0 xuf dx dy xx 例例例例 2 82 82 82 8 設(shè) 則 設(shè) 則 1 sin 2 x x xf 0 f 解解解解應(yīng)填應(yīng)填 0 0 0 0 因?yàn)闉槠婧瘮?shù) 為偶函數(shù) 為奇函數(shù) 則因?yàn)闉槠婧瘮?shù) 為偶函數(shù) 為奇函數(shù) 則 xf xf xf 0 0 f 例例例例 2 92 92 92 9 已知 則已知 則 2 arctan 23 23 xxf x x fy 0 x dx dy 解解解解 0 2 0 23 12 23 23 x x xx x f dx dy 4 3 1arctan33 1 f 例例例例 2 102 102 102 10 設(shè)函數(shù)可導(dǎo) 求的導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù)可導(dǎo) 求的導(dǎo)數(shù) 0 0 0 1 sin 3 x x x x x xf xfxF 解解解解 0 0 0 1 sin 3 xf x x xf xfxF 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) 0 x 1 cos 1 sin3 1 sin 23 x x x x x xfxF 考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 38 當(dāng)時(shí) 為 和的復(fù)合 且當(dāng)時(shí) 為 和的復(fù)合 且0 x xF uf xu 由題設(shè)存在 若存在由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法知 由題設(shè)存在 若存在由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法知0 0 0 f 0 0 0 0 fF 而而0 1 sinlim 0 1 sin lim 0 2 0 3 0 x x x x x xx 則則00 0 0 fF 注 注 注 注 0 0 1 sin lim 0 0 lim 0 3 00 x f x xf x fxF F xx x x x x x f x xf x 1 sin 1 sin 0 1 sin lim 3 3 3 0 x x x x x f x xf xx 1 sin lim 1 sin 0 1 sin lim 3 0 3 3 0 00 0 f 這是一種 這是一種 經(jīng)典經(jīng)典經(jīng)典經(jīng)典 的錯(cuò)誤 原因是極限不存在 因?yàn)?的錯(cuò)誤 原因是極限不存在 因?yàn)?x x f x xf x1 sin 0 1 sin lim 3 3 0 求極限的函數(shù)在的任何鄰域內(nèi)都有沒定義的點(diǎn) 充分大 求極限的函數(shù)在的任何鄰域內(nèi)都有沒定義的點(diǎn) 充分大 0 x n x 1 n 題型三題型三題型三題型三隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例例例例 2 112 112 112 11 設(shè)由所確定 試求 設(shè)由所確定 試求 xyy tan yxy yy 解解解解等式兩端對(duì)求導(dǎo)得等式兩端對(duì)求導(dǎo)得 tan yxy x 1 sec2yyxy 1 tan1 2 yyx 利用原方程化簡(jiǎn) 利用原方程化簡(jiǎn) 1 1 2 yy 考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 39 1 1 2 y y 1 1 22 233 yyy y y 例例例例 2 122 122 122 12 設(shè)函數(shù)由所確定 試求設(shè)函數(shù)由所確定 試求 xyy 1 y xey 0 2 2 x dx yd 解解解解由知由知1 y xey 0 yy eyxey 令 由原方程知此時(shí)令 由原方程知此時(shí) 0 x1 y 將 代入上式得將 代入上式得 0 x1 yey 0 式兩端對(duì)求導(dǎo)得 式兩端對(duì)求導(dǎo)得 x 0 yyy eyxeyeyy 將 代入上式得將 代入上式得0 x1 yey 0 2 2 0 ey 例例例例 2 132 132 132 13設(shè)可導(dǎo)函數(shù)由方程所確定 其中可導(dǎo)函設(shè)可導(dǎo)函數(shù)由方程所確定 其中可導(dǎo)函 xyy y x duux0 sin 數(shù) 且 求數(shù) 且 求 0 u 1 0 0 0 y 解解解解在中令得在中令得 y x duux0 sin 0 x 又 則 又 則 y duu 0 0 0 u 0 y 等式兩端對(duì)求導(dǎo)得等式兩端對(duì)求導(dǎo)得 y x duux0 sin x 1 0 cos xyyx 將 代入上式得將 代入上式得0 x0 y2 0 y 等式 等式 1 1 1 1 兩端對(duì)求導(dǎo)得 兩端對(duì)求導(dǎo)得 x 0 sin 2 xyyyyx 將 代入上式得將 代入上式得0 x0 y2 0 y 考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 40 3 0 y 題型四題型四題型四題型四參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù) 公式 公式 公式 公式 tx ty dx dy 32 2 tx tytxtxty dx yd 方法 方法 方法 方法 一階導(dǎo)數(shù)代公式 二階導(dǎo)數(shù)利用 一階導(dǎo)數(shù)代公式 二階導(dǎo)數(shù)利用 1 2 2 txtx ty dt d dx yd 例例例例 2 142 142 142 14 設(shè) 又 求 設(shè) 又 求 0 tf tftf ty tfx 2 2 dx yd 解解解解t tf tftf ttf tx ty dx dy 1 1 1 2 2 tftxdx dt t dt d t dx d dx yd 注注注注 本題中求二階導(dǎo)數(shù)不能套公式 條件不夠 本題中求二階導(dǎo)數(shù)不能套公式 條件不夠 2 2 dx yd 例例例例 2 152 152 152 15 設(shè)由所確定 求 設(shè)由所確定 求 xyy 01sin 323 2 yte ttx y 0 2 2 t dx yd 解解解解本題最簡(jiǎn)單的方法是利用公式本題最簡(jiǎn)單的方法是利用公式 0 0 0 0 0 3 0 2 2 x yxxy dx yd t 由知 則由知 則323 2 ttx26 tx6 x 2 0 x6 0 x 由知 且由知 且01sin yte y 1 0 y 0cossin ytetye yy 0sincossin cos ytetyetyetye yyyy 令 得 令 得 0 tey 0 2 2 0 ey 4 32 2 0 2 2 ee dx yd t 考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 41 題型五題型五題型五題型五對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用于冪指函數(shù) 連乘 連除 開方 乘方等 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用于冪指函數(shù) 連乘 連除 開方 乘方等 例例例例 2 162 162 162 16 設(shè) 求 設(shè) 求 x xy sin2 1 y 解解解解 1ln sinln 2 xxy 2 2 1 sin2 1ln cos x xx xx y y 2 2sin2 1 sin2 1ln cos 1 x xx xxxy x 例例例例 2 172 172 172 17 設(shè) 求設(shè) 求 3 2 1 2 1 xx xx y y 解解解解 1ln ln2ln1 ln 3 1 ln 2 xxxxy 2 1 21 2 1 1 1 3 1 x x xxxy y 2 3 2 1 21 2 1 1 1 1 2 1 3 1 x x xxxxx xx y 題型六題型六題型六題型六高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù) 常用方法 常用方法 常用方法 常用方法 1 代公式 2 求一階 二階 歸納階導(dǎo)數(shù) 1 代公式 2 求一階 二階 歸納階導(dǎo)數(shù) y y n n y 3 利用泰勒級(jí)數(shù) 3 利用泰勒級(jí)數(shù) n n n xx n xf xf 0 0 0 常用公式 常用公式 常用公式 常用公式 1 1 2 sin sin nxx n 2 2 2 cos cos nxx n 3 3 0 kn n k kk n n vuCuv 例例例例 2 182 182 182 18 設(shè) 求設(shè) 求 65 2 xx x xf xf n 考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 42 解解解解 2 2 3 3 3 2 65 2 xxxx x xx x xf 2 2 3 3 nn n xx xf 令令 1 3 3 1 x x x 2 3 1 xx 3 3 2 1 xx 1 1 3 1 3 1 n n nnn x n xnx 則則 11 2 1 2 3 1 3 n n n n n x n x n xf 11 2 2 3 3 1 nn n xx n 例例例例 2 192 192 192 19 設(shè) 求 設(shè) 求 xexf x sin xf n 解解解解xexexf xx cossin 4 sin 2 cos sin xexxe xx 4 sin 2 nxexf xnn 例例例例 2 202 202 202 20 設(shè)設(shè) 求求xxxf 44 cossin xf n 解解解解xxxxf2sin 2 1 1cossin21 222 xxxxf4sin2cos2sin2 2 1 4sin 4 1 nxxf nn 例例例例 2 212 212 212 21 求函數(shù)在處的階導(dǎo)數(shù) 求函數(shù)在處的階導(dǎo)數(shù) 1ln 2 xxxf 0 xn 解法解法解法解法 1 1 1 1利用公式利用公式 n k knkk n n vuCuv 0 令 令 2 xu 1ln xv xu2 2 u0 k u3 k 考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 43 0 0 u0 0 u2 0 u2 0 k u3 k 0 0 0 2 2 2 n n n vuCf 1 1 1 1 x x v 2 1 1 xv 2 1 2 3 2 1 3 1 1 3 1 n n nnn x n xnv 3 1 0 1 2 nv nn 2 1 3 1 2 2 1 0 1 1 n n n nn f n nn 解法解法解法解法 2 2 2 2 1 2 12 2 n xx xxxf nn 等式右端的次項(xiàng)系數(shù)等式右端的次項(xiàng)系數(shù) xn 2 1 2 1 13 nn a nn n 又又 0 n f a n n 則則 2 1 0 1 n n naf n n n 例例例例 2 222 222 222 22 設(shè) 求 設(shè) 求 xyarctan 0 n y 解法解法解法解法 1 1 1 1 2 1 1 x y 則 則 1 1 1 1 1 1 2 yx 令 令 2 1xu yv 1 式兩端求階導(dǎo)數(shù) 注意到 1 式兩端求階導(dǎo)數(shù) 注意到 1 n1 0 u0 0 u2 0 u 0 0 k u3 k 0 0 0 0 2 2 1 n n n yuCy 即即 0 2 1 0 2 nn ynny 0 0 12 1 0 0 2 yky kk 考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 44 這里這里0 0 0 0 yy 2 1 0 2 1 0 12 kyky kkk 解法解法解法解法 2 2 2 2 nn xxx x y 242 2 1 1 1 1 x nn dxxxxy 0 242 1 1 12 1 3 123 n xx x nn 由此可知由此可知 0 0 2 k y 2 1 12 12 1 0 12 kk k y k k k 第二節(jié)第二節(jié)第二節(jié)第二節(jié)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 1 1 1 1 微分中值定理微分中值定理微分中值定理微分中值定理 羅爾定理羅爾定理羅爾定理羅爾定理 設(shè)在連續(xù) 在內(nèi)可導(dǎo) 且 那么至少 設(shè)在連續(xù) 在內(nèi)可導(dǎo) 且 那么至少 xf ba ba bfaf 使 使 ba 0 f 拉格朗日定理拉格朗日定理拉格朗日定理拉格朗日定理 設(shè)在連續(xù) 在可導(dǎo) 那么至少存在一個(gè) 設(shè)在連續(xù) 在可導(dǎo) 那么至少存在一個(gè) xf ba ba 使 使 ba f ab afbf 柯西定理 柯西定理 柯西定理 柯西定理 設(shè)在上連續(xù) 在內(nèi)可導(dǎo) 且 那么設(shè)在上連續(xù) 在內(nèi)可導(dǎo) 且 那么 xgxf ba ba0 xg 至少存在一個(gè) 使 至少存在一個(gè) 使 ba g f agbg afbf 泰勒定理泰勒定理泰勒定理泰勒定理 拉格朗日余項(xiàng) 設(shè)在區(qū)間 I 上階可導(dǎo) 那么 至少存在一個(gè)使 拉格朗日余項(xiàng) 設(shè)在區(qū)間 I 上階可導(dǎo) 那么 至少存在一個(gè)使 xf 1 nIx 0 Ix 2 0 0 2 0 0 000 xRxx n xf xx xf xxxfxfxf n n n 其中 在與之間 其中 在與之間 1 0 1 1 n n n xx n f xR 0 xx 考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 45 2 2 2 2 極值與最值極值與最值極值與最值極值與最值 1 極值的必要條件 1 極值的必要條件 0 0 xf 極值點(diǎn)駐點(diǎn) 2 極值的充分條件 1 若 在兩側(cè)變號(hào) 則在處取得極值 極值點(diǎn)駐點(diǎn) 2 極值的充分條件 1 若 在兩側(cè)變號(hào) 則在處取得極值 0 0 xf xf 0 x xf 0 x 若 在兩側(cè)不變號(hào) 則在處無極值 若 在兩側(cè)不變號(hào) 則在處無極值 0 0 xf xf 0 x xf 0 x 2 若 則在處取得極值 當(dāng)時(shí) 2 若 則在處取得極值 當(dāng)時(shí)0 0 xf 0 0 xf xf 0 x0 0 xf 極小 當(dāng)時(shí)極大 極小 當(dāng)時(shí)極大 0 0 xf n 0 0 xf 0 x xf x 0 x 即 從而單調(diào)增 又 則在的左 即 從而單調(diào)增 又 則在的左0 x xf 0 xf xf 0 0 f0 x 半鄰域 而在的右半鄰域內(nèi) 故在處取極半鄰域 而在的右半鄰域內(nèi) 故在處取極0 xf xf0 x 小值 故選 B 小值 故選 B 例例例例 2 242 242 242 24 設(shè)二階導(dǎo)數(shù)連續(xù) 且 設(shè)二階導(dǎo)數(shù)連續(xù) 且 xf x exfxxfx 1 1 1 2 1 試問 1 若是極值點(diǎn)時(shí) 是極小值點(diǎn)還時(shí)極大值點(diǎn) 試問 1 若是極值點(diǎn)時(shí) 是極小值點(diǎn)還時(shí)極大值點(diǎn) 1 aax 2 若是極值點(diǎn)時(shí) 是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn) 2 若是極值點(diǎn)時(shí) 是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn) 1 x 解解解解1 由于為極值點(diǎn) 則 在等式1 由于為極值點(diǎn) 則 在等式ax 0 af x exfxxfx 1 1 1 2 1 中令得中令得ax a eafaafa 1 1 1 2 1 考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 47 a eafa 1 1 1 0 0 1 1 1 a a e af a 則在取極小值 則在取極小值 xfax 2 由知2 由知 x exfxxfx 1 1 1 2 1 x e xfxf x 1 1 2 1 1 1 1 lim lim2 lim 1 111 x e xfxf x xxx 則又則又 01 1 f0 1 f 故為的極小值點(diǎn) 故為的極小值點(diǎn) 1 x xf 例例例例 2 252 252 252 25 設(shè)函數(shù)滿足關(guān)系式 且 則設(shè)函數(shù)滿足關(guān)系式 且 則 xfxxfxfsin 2 0 0 f A 是的極大值 B 是的極小值 A 是的極大值 B 是的極小值 0 f xf 0 f xf C 點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn) C 點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn) 0 0 f xfy D 不是的極值 點(diǎn)也不是曲線的拐點(diǎn) D 不是的極值 點(diǎn)也不是曲線的拐點(diǎn) 0 f xf 0 0 f xfy 解解解解 選 C 選 C 例例例例 2 262 262 262 26 設(shè)二階可導(dǎo) 且 試討論設(shè)二階可導(dǎo) 且 試討論 xf0 lim 2 000 0 a h xfxfhxf h 在點(diǎn)的極值 在點(diǎn)的極值 xf 0 x 解解解解 由知 即為駐點(diǎn) 且 由知 即為駐點(diǎn) 且0 lim 2 000 0 a h xfxfhxf h 0 0 xf 0 x 原式原式 h hxf h xfhxf hh 2 lim 0 lim 0 0 2 00 0 h xfhxf h 2 lim 00 0 時(shí) 為極小值點(diǎn) 時(shí) 為極大值點(diǎn) 時(shí) 為極小值點(diǎn) 時(shí) 為極大值點(diǎn) axf 2 1 0 0 a 0 x0 xf xf 當(dāng)時(shí) 單調(diào)減當(dāng)時(shí) 單調(diào)減 ex0 ef lim 0 xf x limxf x 則在和內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn) 故原方程有兩個(gè)實(shí)根 則在和內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn) 故原方程有兩個(gè)實(shí)根 xf 0 e e 例例例例 2 292 292 292 29 試證方程有且僅有三個(gè)實(shí)根 試證方程有且僅有三個(gè)實(shí)根 12 2 x x 證證證證令令12 2 xxf x 考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 49 0 0 f0 1 f 則在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn) 則在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn) 01 2 f xf 5 2 則原方程至少有三個(gè)實(shí)根 又 則原方程至少有三個(gè)實(shí)根 又 xxf x 22ln2 22ln2 2 x xf02ln2 3 x xf 從而原方程最多三個(gè)實(shí)根 原題得證從而原方程最多三個(gè)實(shí)根 原題得證 例例例例 2 302 302 302 30試確定方程實(shí)根個(gè)數(shù)試確定方程實(shí)根個(gè)數(shù) 0 aaex x 解解解解將原方程變形得將原方程變形得0 axe x 令令 0 xaxexf x xxx exxeexf 1 令 得令 得 0 xf1 x 當(dāng)時(shí) 單調(diào)增當(dāng)時(shí) 單調(diào)增 1 0 x0 xf xf 當(dāng)時(shí) 單調(diào)減當(dāng)時(shí) 單調(diào)減 1 x0 xf xf 0 lim 0 axf x 0 lim lim aa e x xf x xx 則則a e f 1 1 1 1 1 1 當(dāng)時(shí) 原方程有兩個(gè)實(shí)根當(dāng)時(shí) 原方程有兩個(gè)實(shí)根 e a 1 例例例例 2 312 312 312 31 設(shè)當(dāng)時(shí) 方程有且僅有一個(gè)解 試求的取值范圍 設(shè)當(dāng)時(shí) 方程有且僅有一個(gè)解 試求的取值范圍 0 x1 1 2 x kxk 解解解解將原方程變形得將原方程變形得 0 11 3 x xx k 令令 0 11 3 x xx xf 4 2 42 331 x x xx xf 令得令得0 xf3 x 考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 50 當(dāng)時(shí) 單調(diào)增當(dāng)時(shí) 單調(diào)增 3 0 x0 xf xf 當(dāng)時(shí) 單調(diào)減當(dāng)時(shí) 單調(diào)減 3 x0 xf xf 3 9 2 3 f 3 2 00 1 lim lim x x xf xx 0 lim xf x 從而若原方程有具僅有一個(gè)實(shí)根 則 或 從而若原方程有具僅有一個(gè)實(shí)根 則 或 3 9 2 k0 k 例例例例 2 322 322 322 32 設(shè)在 0 1 上可微 且當(dāng)時(shí) 試證設(shè)在 0 1 上可微 且當(dāng)時(shí) 試證 xf10 x1 1 0 fF01 1 1 fF 由零點(diǎn)定理知方程在內(nèi)至少有一實(shí)根 又 由零點(diǎn)定理知方程在內(nèi)至少有一實(shí)根 又 0 xF 1 0 01 xfxF 則最多一個(gè)實(shí)根 原題得證 則最多一個(gè)實(shí)根 原題得證 0 xF 例例例例 2 332 332 332 33 設(shè)求證 在有且僅有設(shè)求證 在有且僅有3 1 2 1 0 ffxf0 xf 1 一根 一根 證法證法證法證法 1 1 1 1由知在上單調(diào)減 又 則當(dāng)由知在上單調(diào)減 又 則當(dāng)0 xf xf 1 03 1 f 時(shí) 從而在上單調(diào)減 方程在時(shí) 從而在上單調(diào)減 方程在 1 x0 xf xf 1 0 xf 上最多一個(gè)實(shí)根上最多一個(gè)實(shí)根 1 由泰勒公式知當(dāng)時(shí)由泰勒公式知當(dāng)時(shí) 1 x 2 1 2 1 1 1 x f xffxf 2 1 2 1 32 x f x xx35 1 32 令 則令 則2 x0165 2 f0 xf 1 證法證法證法證法 2 2 2 2 21 12 1 2 ccfff 考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 51 12 1 遞減xff 即即0132 12 1 1 2 f 由零點(diǎn)定理知方程在內(nèi)至少有一實(shí)根由零點(diǎn)定理知方程在內(nèi)至少有一實(shí)根 0 xf 1 題型三題型三題型三題型三不等式證明不等式證明不等式證明不等式證明 證明不等式常用的五種方法證明不等式常用的五種方法證明不等式常用的五種方法證明不等式常用的五種方法 1 單調(diào)性 2 最大最小值 3 拉格朗日中值定理 4 泰勒公式 5 凹凸性 1 單調(diào)性 2 最大最小值 3 拉格朗日中值定理 4 泰勒公式 5 凹凸性 例例例例 2 342 342 342 34 求證 求證 0 2 lnba ab ab a b 證 證 證 證 只要證只要證 2 ln ln ababab 令令 b 2 ln ln axaxaxaxxf 0 1 2 ln ln 22 x ax x a x xf x ax axxf 單調(diào)增 且單調(diào)增且單調(diào)增 且單調(diào)增且 xf 0 0 xfxfaf 0 0 xfaf 即 即 ab ab a b 2 ln 例例例例 2 352 352 352 35 求證 求證 2 0 sin2 x x x 證法證法證法證法 1 1 1 1令 令 xxfxxxfcos 2 sin 2 則 令 分為及 在上令 分為及 在上0cos 2 0 x 2 0 0 0 x 2 0 x 0 0 x 且 在上 且 在上 為 xf xf0 0 0 xff 2 0 x 為 xf xf 且 故在上則且 故在上則0 0 2 xff 2 0 sin 2 xx sin2 x x 證法證法證法證法 2 2 2 2 令 則令 則 x x xf sin 0 tan cossincos 22 x xxx x xxx xf 在上單調(diào)減 在上單調(diào)減 xf 2 0 2 2 f 例例例例 2 362 362 362 36 比較的大小 比較的大小 e e 與 考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 52 解 解 解 解 取對(duì)數(shù) 等價(jià)于比較與的大小 也等價(jià)于比較與的取對(duì)數(shù) 等價(jià)于比較與的大小 也等價(jià)于比較與的eln lne e eln ln 大小 只要考察在上的單調(diào)性 大小 只要考察在上的單調(diào)性 x x xf ln e 0 ln1 2 例例例例 2 372 372 372 37 設(shè) 且 證明 設(shè) 且 證明 1 lim 0 x xf x 0 xfxxf 證法證法證法證法 1 1 1 1由知 由泰勒公式知由知 由泰勒公式知1 lim 0 x xf x 0 0 f1 0 f 2 2 0 0 x f xffxf 2 2 x f x 0 xfx 原式得證原式得證 證法證法證法證法 2 2 2 2由證法由證法 1 1 1 1 知 知 0 0 f1 0 f 又 則單調(diào)增 由拉格朗日中值定理知又 則單調(diào)增 由拉格朗日中值定理知0 xf xf 介于之間 介于之間 xcffxfxf 0 cx與0 由于單調(diào)增 則由于單調(diào)增 則 xf xxfxcfxf 0 原題得證原題得證 證法證法證法證法 3 3 3 3只要證 令只要證 令 0 xxfxxfxF 只要證明只要證明0 xF 由于由于1 xfxF 顯然顯然01 0 0 fF 又 則單調(diào)增 為唯一的零點(diǎn) 即又 則單調(diào)增 為唯一的零點(diǎn) 即0 xfxF xF 0 x xF 0 x 為唯一駐點(diǎn) 又 為唯一駐點(diǎn) 又 xF0 xfxF 則為在上唯一極值點(diǎn) 且在該點(diǎn)取極小值 因此則為在上唯一極值點(diǎn) 且在該點(diǎn)取極小值 因此0 x xF xF 考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 53 在處取得它在上的最小值 在處取得它在上的最小值 0 x 從而從而00 0 0 fFxF 原題得證原題得證 例例例例 2 382 382 382 38 試證 試證 0 0 lnln 2 ln yxyyxx yx yx 證證證證只要證明只要證明 0 0 2 lnln 2 ln 2 yx yyxxyxyx 即只要證函數(shù)的圖形是凹的即只要證函數(shù)的圖形是凹的 0 ln xxxxf 由于由于1ln xxf 0 0 1 x x xf 則函數(shù)的圖形是凹的 原題得證則函數(shù)的圖形是凹的 原題得證 0 ln xxxxf 題型四題型四題型四題型四求漸近線求漸近線求漸近線求漸近線 例例例例 2 392 392 392 39 曲線的斜漸近線方程為 曲線的斜漸近線方程為 x x y 2 3 1 解解解解a x xx x x y xxx 1 1 1lim 1 limlim 2 3 2 3 x x x axy xx 2 3 1 lim lim x xxx x 2 3 1 lim x x x x 1 1 1 lim 2 3 2 3 xxx x x x 1 2 3 1 1 1 1 2 3 lim 2 3 2 3 b 2 3 則斜漸近線方程為則斜漸近線方程為 2 3 xy 考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 54 例例例例 2 402 402 402 40 曲線的漸近線有曲線的漸近線有 2 1 1 arctan 2 1 xx xx ey x x A 1 B 2 C 3 D 4 A 1 B 2 C 3 D 4 解解解解由于由于 0 2 1 1 arctanlim 2 1 xx xx e x x x 則為水平漸近線則為水平漸近線0 y 又又 2 1 1 arctanlim 2 1 0 xx xx e x x x 則為其垂直漸近線則為其垂直漸近線0 x 不存在 不存在 2 1 1 arctanlimlim 2 1 xx xx e x e x y x x xx 則原曲線無斜漸近線 應(yīng)選 則原曲線無斜漸近線 應(yīng)選 B B B B 例例例例 2 412 412 412 41 求曲線的漸近線 求曲線的漸近線 xxyarctan 解解解解 顯然曲無水平漸近線和垂直漸近線 顯然曲無水平漸近線和垂直漸近線 xxyarctan axa x xf xx 2 rctanlim lim 2 rctanlim 2 rctanlim lim xaxxxxaaxxfb xxx b x x x x xx 1 1 1 1 lim 1 2 arctan lim 2 2 是時(shí)的斜漸近線 是時(shí)的斜漸近線 1 2 xbaxy x 同理是時(shí)的斜漸近線 同理是時(shí)的斜漸近線 1 2 xy x 題型五題型五題型五題型五微分中值定理證明題微分中值定理證明題微分中值定理證明題微分中值定理證明題 一一一一 證明存在一個(gè)點(diǎn)證明存在一個(gè)點(diǎn)證明存在一個(gè)點(diǎn)證明存在一個(gè)點(diǎn) ba 例例例例 2 422 422 422 42 設(shè)在上連續(xù) 在內(nèi)可導(dǎo) 與同設(shè)在上連續(xù) 在內(nèi)可導(dǎo) 與同 xf ba baabfbaf ab 號(hào) 求證 使 號(hào) 求證 使 ba f f 考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 55 證 證 證 證 只要證只要證0 ff 令令 xxfxF 則則 abaafaF abbbfbF 由羅爾定理知 使 即由羅爾定理知 使 即 ba 0 F 0 ff 原題得證原題得證 例例例例 2 432 432 432 43 設(shè)在上連續(xù) 在內(nèi)可導(dǎo)且 設(shè)在上連續(xù) 在內(nèi)可導(dǎo)且 xf 2 1 2 1 2 2 2 1 1 ff 求證 使 求證 使 2 1 2 f f 證 證 證 證 只要證只要證0 2 ff 令令 2 x xf xF 則 則 2 1 1 1 fF 2 1 4 2 2 f F 由羅爾定理知 使由羅爾定理知 使 2 1 即 即0 F0 2 4 2 ff 從而有從而有0 2 ff 原題得證原題得證 例例例例 2 442 442 442 44 設(shè)在上連續(xù) 在內(nèi)可導(dǎo) 且 設(shè)在上連續(xù) 在內(nèi)可導(dǎo) 且 xf ba ba0 bfaf 求證 使 求證 使 ba 0 ff 證 證 證 證 令令 xfexF x 則 由羅爾定理知 使則 由羅爾定理知 使0 bFaF ba 0 F 即即0 ffe 但 則但 則0 e 考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 56 0 ff 故原題得證故原題得證 例例例例 2 452 452 452 45 設(shè)在上連續(xù) 在 0 1 內(nèi)可導(dǎo) 且 設(shè)在上連續(xù) 在 0 1 內(nèi)可導(dǎo) 且 xf 1 0 1 2 1 0 1 0 fff 試證 1 存在 使 試證 1 存在 使 1 2 1 f 2 對(duì)任意實(shí)數(shù) 存在 使 2 對(duì)任意實(shí)數(shù) 存在 使 0 1 ff 證證證證1 1 1 1 令令xxfxF 0 2 1 2 1 2 1 2 1 fF011 1 1 0 x 從而有 取 則 從而有 取 則0 x xf 0 xf 0 a 同理由知 且存在 同理由知 且存在 0 af2 1 lim 1 x xf x 0 1 f0 1 1 bfb 由于在上連續(xù) 且 由零點(diǎn)定理知 由于在上連續(xù) 且 由零點(diǎn)定理知 xf ba0 0 bfaf ba 使使 0 f 考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 57 2 2 2 2 令 由 于 由 羅 爾 定 理 知 令 由 于 由 羅 爾 定 理 知 xfexF x 0 1 0 FFF 使 使 0 1 1 2 且 且0 1 F0 2 F 即 即 0 11 ff0 22 ff 令 則令 則 xfxfex x 0 21 由羅爾定理知 使由羅爾定理知 使 21 0 從而有從而有0 ffff 即即0 ff 例例例例 2 472 472 472 47 設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo) 且 設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo) 且 xgxf ba0 xg 試證 試證0 bgagbfaf 1 在內(nèi) 1 在內(nèi) ba0 xg 2 在內(nèi)至少有一點(diǎn) 使 2 在內(nèi)至少有一點(diǎn) 使 ba g f g f 證證證證 1 1 1 1 由于在上 則方程在內(nèi)最多兩個(gè)根 又由于在上 則方程在內(nèi)最多兩個(gè)根 又 ba0 xg0 xg ba 則當(dāng)時(shí) 則當(dāng)時(shí) 0 bgag bax 0 xg 2 2 2 2 只要證只要證0 gffg 令令 xgxfxfxgxF 則 由羅爾定理知 使 則 由羅爾定理知 使 0 bFaF ba 0 F 即即0 gffg 例例例例 2 482 482 482 48 設(shè)在上連續(xù) 且 設(shè)在上連續(xù) 且 xf 1 0 1 0 0 dxxf 求證 使 求證 使 1 0 0 fdxxf 證證證證只要證明只要證明0 0 fdxxf 考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)考研休閑屋社區(qū)友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更多精品 盡請(qǐng)關(guān)注 友情提供 更