《利用向量法求空間角》教案.doc

3 2 3 3 2 3 立體幾何中的向量方法立體幾何中的向量方法 利用空間向量求空間角利用空間向量求空間角 教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo) 1 使學(xué)生學(xué)會求異面直線所成的角 直線與平面所成的角 二面角的向量方法 2 使學(xué)生能夠應(yīng)用向量方法解決一些簡單的立體幾何問題 3 使學(xué)生的分析與推理能力和空間想象能力得到提高 教學(xué)重點教學(xué)重點 求解二面角的向量方法 教學(xué)難點教學(xué)難點 二面角的大小與兩平面法向量夾角的大小的關(guān)系 教學(xué)過程教學(xué)過程 一 復(fù)習(xí)引入 1 用空間向量解決立體幾何問題的 三步曲 1 建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系 用空間向量表示問題中涉及的點 直線 平面 把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題 化為向量問題化為向量問題 2 通過向量運算 研究點 直線 平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等 問題 進行向量運算 3 把向量的運算結(jié)果 翻譯 成相應(yīng)的幾何意義 回到圖形 2 向量的有關(guān)知識 1 兩向量數(shù)量積的定義 bababa cos 2 兩向量夾角公式 cos ba ba ba 3 平面的法向量 與平面垂直的向量 二 知識講解與典例分析 知識點知識點1 1 面直線所成的角 面直線所成的角 范圍 2 0 1 定義 過空間任意一點 o 分別作異面直線 a 與 b 的平行線 a 與 b 那么直線 a 與 b 所成的銳角或直角 叫做異面直線 a 與 b 所成的角 2 用向量法求異面直線所成角 設(shè)兩異面直線 a b 的方向向量分別為和 ab 問題問題 1 1 當(dāng)與的夾角不大于 90 時 異面直線 a b 所成ab 的角與 和 的夾角的關(guān)系 ab 問題問題 2 2 與的夾角大于 90 時 異面直線 a b 所成的角ab 與 和的夾角的關(guān)系 ab a b O O b a O b a ba ba 結(jié)論 異面直線 a b 所成的角的余弦值為 cos cos nm nm nm 思考 思考 在正方體中 若與分別為 1111 DCBAABCD 1 E 1 F 11B A 的四等分點 求異面直線與的夾角余弦值 11D C 1 DF 1 BE 1 方法總結(jié) 幾何法 向量法 2 與相等嗎 11 cosBEDF BEDF 11 cos 3 空間向量的夾角與異面直線的夾角有什么區(qū)別 例例 1 1 如圖 正三棱柱的底面邊長為 側(cè)棱長為 求和所成的 111 CBAABC aa2 1 AC 1 CB 角 解法步驟 解法步驟 1 寫出異面直線的方向向量的坐標(biāo) 2 利用空間兩個向量的夾角公式求出夾角 解 如圖建立空間直角坐標(biāo)系 則xyzA 2 0 0 2 1 2 3 2 2 1 2 3 0 0 0 11 aaBaaCaaaCA 2 2 1 2 3 1 aaaAC 2 2 1 2 3 1 aaaCB 即 2 1 3 2 3 cos 2 2 11 11 11 a a CBAC CBAC CBAC 和所成的角為 1 AC 1 CB 3 練習(xí) 1 在 Rt AOB 中 AOB 90 現(xiàn)將 AOB 沿著平面 AOB 的法向量方向平移到 A1O1B1的位置 已知 OA OB OO1 取 A1B1 A1O1的中點 D1 F1 求異面直線 BD1與 AF1所成的角的余弦值 解 以點 O 為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系 并設(shè) OA 1 則 A 1 0 0 B 0 1 0 F1 0 1 D1 1 2 1 2 1 2 1 1 0 2 1 1 AF 1 2 1 2 1 1 BD 10 30 2 3 4 5 10 4 1 cos 11 11 11 BDAF BDAF BDAF 所以 異面直線 BD1 與 AF1 所成的角的余弦值為 A x D C B 1 A z y 1 D 1 C 1 B 1 E 1 F A y x C B 1 A D 1 B 1 C A y x C B 1 A D 1 B 1 C 知識點知識點 2 2 直線與平面所成的角 直線與平面所成的角 范圍 2 0 思考 設(shè)平面的法向量為 則與的關(guān)系 n BAn 據(jù)圖分析可得 結(jié)論 例例 2 2 如圖 正三棱柱的底面邊長為 側(cè)棱長為 求和 111 CBAABC aa2 1 AC 所成角的正弦值 BBAA 11 面 分析 分析 直線與平面所成的角步驟 1 求出平面的法向量 2 求出直線的方向向量 3 求以上兩個向量的夾角 銳角銳角 其余角為所求角 解 如圖建立空間直角坐標(biāo)系 則xyzA 0 0 2 0 0 1 aABaAA 2 2 1 2 3 1 aaaAC 設(shè)平面的法向量為BBAA 11 zyxn 由 0 0 0 02 0 0 1 z y ay az ABn AAn 取 1 x 0 0 1 n 2 1 3 2 3 cos 2 2 1 1 1 a a NAC nAC nAC 和所成角的正弦值 1 ACBBAA 11 面 2 1 練習(xí) 練習(xí) 正方體的棱長為 1 點 分別為 的中點 求直 1111 DCBAABCD EFCD 1 DD 線與平面所成的角的正弦值 11C BCAB1 A B O BAn 2 A B O n 2 BAn A B O n 圖 1 圖 2 cos sin ABn 1 31 2 22 ACaaa 知識點知識點 3 3 二面角 二面角 范圍 0 方向向量法 方向向量法 將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個面兩個面的方向向量 在二面角的面內(nèi)且垂直于二 面角的棱 的夾角 如圖 設(shè)二面角的大小為 其中 l CDlCDABlAB 結(jié)論 例例 3 3 如圖 甲站在水庫底面上的點 A 處 乙站在水壩斜面上的點 B 處 從 A B 到直線 庫底與水壩的交線 的距離 AC 和 BD 分別為 a 和 b CD 的長為 c AB 的長為 d 求 庫底與水壩所成二面角的余弦值 解 如圖 dABcCDbBDaAC 根據(jù)向量的加法法則 DBCDACAB 2 2 2 DBCDACABd 2 222 DBCDDBACCDACBDCDAC DBACbca 2 222 DBCAbca 2 222 于是 得 2222 2dcbaDBCA 設(shè)向量與 的夾角為 就是庫與水壩所成的二面角 CADB 因此 cos2 2222 dcbaab 所以 2 cos 2222 ab dcba 庫底與水壩所成二面角的余弦值是 2 2222 ab dcba 3 3 31 010 DC B A l coscos CDAB CDAB CDAB B x A D C 1 B z y 1 A 1 D 1 C A B 法向量法法向量法 結(jié)論 或 歸納 歸納 法向量的方向 一進一出 二面角等于法向量夾角 同進同出 二面角等于法向量 夾角的補角 例例 4 4 如圖 是一直角梯形 面 ABCD 90ABC SAABCD 求面與面所成二面角的余弦值 1 BCABSA 2 1 ADSCDSBA 解 如圖建立空間直角坐標(biāo)系 則xyzA 1 0 0 0 2 1 0 0 1 1 0 0 0 SDCA 易知面的法向量為SBA 0 2 1 0 1 ADn 1 2 1 0 0 2 1 1 SDCD 設(shè)面的法向量為 則有SCD 2 zyxn 取 得 0 2 0 2 z y y x 1 z2 1 yx 1 2 1 1 2 n 3 6 cos 21 21 21 nn nn nn 又方向朝面內(nèi) 方向朝面外 屬于 一進一出 的情況 二面角等于法向量夾角 1 n 2 n 即所求二面角的余弦值為 3 6 練習(xí) 練習(xí) 正方體的棱長為 1 點 分別為 的中點 求二 1111 DCBAABCD EFCD 1 DD 面角的余弦值 DAEF 1 n l 2 n 21 n n 21 coscosnn 21 coscosnn 1 n l 2 n 21 n n 21 n n 21 n n A BC D x z y S 解 由題意知 則 0 1 2 1 2 1 1 0 EF 2 1 1 0 AF 0 1 2 1 AE 設(shè)平面的法向量為 則AEF zyxn 取 得 0 2 1 0 2 1 0 0 yx zy AEn AFn 1 y2 zx 2 1 2 n 又平面的法向量為AED 1 0 0 1 AA 3 2 13 2 cos 1 1 1