高代 下 復(fù)習(xí).doc

代數(shù)與幾何(下)復(fù)習(xí)一、選擇題71下列集合中是的子空間的為（ ），其中.; ; .; .72下列集合有（ ）個(gè)是的子空間. ； ； ； . 1 個(gè); . 2 個(gè); . 3 個(gè); . 4個(gè).75（1）線性變換的特征向量之和仍為的特征向量；（2）屬于線性變換的同一特征值的特征向量的任一線性組合仍是的特征向量；（3）相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式；（4）的非零解向量都是的屬于的特征向量.以上說法正確的有（ ）個(gè)。 . 1 個(gè)； . 2 個(gè) ； 3 個(gè) ； . 4個(gè)。75. 階方陣具有個(gè)不同的特征值是與對(duì)角陣相似的（ ）。. 充要條件；.充分而非必要條件；. 必要而非充分條件；. 既非充分也非必要條件.76. 對(duì)于階實(shí)對(duì)稱矩陣，以下結(jié)論正確的是（ ）。. 一定有個(gè)不同的特征根；. 存在正交矩陣，使成對(duì)角形；. 它的特征根一定是整數(shù)；. 屬于不同特征根的特征向量必線性無關(guān)，但不一定正交.77. 設(shè)都是三維向量空間的基，且，則矩陣是由基到（ ）的過渡矩陣。. . . 73設(shè)是相互正交的維實(shí)向量，則下列各式中錯(cuò)誤的是（ ）. ； . ；. ； . .74. 是階實(shí)方陣，則是正交矩陣的充要條件是（ ）. ； . ； . ； . .二、填空題95. 二次型的矩陣是_.96. 是正定陣，則滿足條件_。97 . 當(dāng)滿足條件 ，使二次型是正定的。98. 設(shè)階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值中有個(gè)為正值，有為負(fù)值，則的正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù)是 。103. 設(shè)為3階方陣，其特征值為3，1，2，則 。104.滿足，則有特征值_。111. 已知4階矩陣相似于，且的特征值為，則_.112. 已知3階矩陣的三個(gè)特征值為，則矩陣的特征值為_;_.105. 設(shè)階矩陣的元素全為，則的個(gè)特征值是 。106. 設(shè)矩陣是階零矩陣，則的個(gè)特征值是 。107. 如果A的特征值為，則的特征值為 。114. 復(fù)數(shù)域作為實(shí)數(shù)域上的向量空間，則_，它的一個(gè)基為_。115. 復(fù)數(shù)域作為復(fù)數(shù)域上的向量空間，則_，它的一個(gè)基為_。1. 在中,設(shè),則由該向量組生成的子空間的維數(shù)為 ,一組基為 .3. 設(shè)，;,則與 的和的維數(shù)為_,一組基為_.123. 令是數(shù)域上一切滿足條件的階矩陣所成的向量空間，則= 。122. 任一個(gè)有限維的向量空間的基是_的，但任兩個(gè)基所含向量個(gè)數(shù)是_。120. 設(shè)與都是上的兩個(gè)有限維向量空間，則 。121. 數(shù)域F上任一維向量空間都與 。（不同構(gòu)，同構(gòu)）118. 設(shè)是向量空間的一個(gè)基，由該基到 的過渡矩陣為_。119. 設(shè)是向量空間的一個(gè)基，由該基到 的過渡矩陣為_。5. 在中定義線性變換,則在基下的矩陣為 .6. 在中定義線性變換,則在基下的矩陣為 .110. 若線性變換關(guān)于基的矩陣為，那么線性變換關(guān)于基的矩陣為 。117. 設(shè)是數(shù)域上的3維向量空間，是的一個(gè)線性變換，是的一個(gè)基，關(guān)于該基的矩陣是，則關(guān)于的坐標(biāo)是_。129. 設(shè)，則在= 。125. 在 。126. 在歐氏空間里的長(zhǎng)度為_ _ _。127. 在歐氏空間里的長(zhǎng)度為_。8. 的一組基的度量矩陣 (內(nèi)積接通常定義) 為 .10. 設(shè)歐氏空間的內(nèi)積為,則基的度量矩陣為_.113. 實(shí)對(duì)稱矩陣的屬于不同特征根的特征向量是彼此 。124. 設(shè)為變換，為歐氏空間，若都有，則為 變換。（復(fù)習(xí)對(duì)稱變換與正交變換）128. 設(shè)是歐氏空間，則是正交變換 。112. 實(shí)數(shù)域R上的n階矩陣Q滿足 ，則稱Q為正交矩陣。99. 相似于單位矩陣，則 = _。7. 同一線性變換在兩組基下的矩陣是 關(guān)系;同一歐氏空間的兩組基的度量矩陣是 關(guān)系.三、計(jì)算題129. 判斷實(shí)二次型10是否正定的。132. 取何值時(shí)，二次型正定。133. 取何值時(shí)，二次型正定。135. 求一正交線性替換(正交變換)化為標(biāo)準(zhǔn)形。136. 求一個(gè)可逆變換把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。137. 將二次型化為規(guī)范形，并指出所用的線性變換。138. 化簡(jiǎn)二次方程，并判斷其曲面類型。139. 求一正交變換,將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型,并指出表示何種二次曲面.140. 設(shè)是實(shí)對(duì)稱矩陣，證明:當(dāng)實(shí)數(shù)充分大之后，是正定矩陣。141. 設(shè)是一個(gè)實(shí)二次型，若有維向量使得，。證明：必存在實(shí)非零維向量使。144. 設(shè)，求一個(gè)正交矩陣為對(duì)角形矩陣。147.設(shè)，用初等變換求一可逆矩陣是對(duì)角形式。148.設(shè),求可逆矩陣, 使是對(duì)角形矩陣。150. 設(shè)矩陣與相似，求。151. 驗(yàn)證中的子集（1）；（2）是否為子空間。139. 已知向量組=(1,1,0,-1), =(1,2,3,4)，=(1,2,1,1)，=(2,4,2,2)，試求它們的生成子空間(, , , )的維數(shù)和一個(gè)基。156. 考慮中以下兩組向量；，證明和都是的基。并求出由基到的過渡矩陣。151. ,，求關(guān)于基的坐標(biāo)。153. 設(shè)中的兩個(gè)基分別為,，（1）求由基的過渡矩陣。（2）已知向量在基下的坐標(biāo)為，求在基下的坐標(biāo)。158. 中的兩向量組 ， （1）證明它們都是的基，（2）并求第一個(gè)基到第二個(gè)基的過渡矩陣，（3）如果在基下的坐標(biāo)為（3，1，2），求在基下的坐標(biāo)。159. 在中，求由下列齊次線性方程組確定的解空間的基與維數(shù)。 157. 設(shè)上三維向量空間的相性變換關(guān)于基的矩陣是,求關(guān)于基 的矩陣。11. 已知3維線性空間的兩組基和,且,又的線性變換在基下的矩陣為,求在基下的矩陣.12. 已知的線性變換在基下的矩陣為,求在基下的矩陣.13. 設(shè)是3維實(shí)線性空間的一個(gè)線性變換,為的一組基,已知(1) 寫出在基下的矩陣;(2) 問能否找到一組基,使在這組基下的矩陣為對(duì)角矩陣,若能,寫出這樣的基及相應(yīng)的對(duì)角矩陣.14. 已知的線性變換求的一組基, 使在該基下的矩陣為對(duì)角矩陣.15. 已知的線性變換為問能否找到一組基,使得在這組基下的矩陣為對(duì)角矩陣,若能,寫出這樣的基及相應(yīng)的對(duì)角矩陣.22. 設(shè)是一個(gè)歐氏空間,是的一組基.已知基 的度量矩陣為,求基的度量矩陣.23. 設(shè)是2維歐氏空間的一組基,已知該基的度量矩陣為,試求的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.34. 設(shè)是3維歐氏空間的一組基,已知這組基的度量矩陣為,求的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.25. 設(shè)是3維歐氏空間的一組基,已知這組基的度量矩陣為,求的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.26. 設(shè)是3維歐氏空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,證明: 也是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.160. 在中定義內(nèi)積為，求的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基（由基出發(fā)作正交化）。159設(shè)在標(biāo)準(zhǔn)歐幾里得空間中有向量組， , ，求的維數(shù)與一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。159.求下列齊次線性方程組的解空間（作為的子空間）的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。 三、證明題32. 證明：設(shè)是正定矩陣，證明也是正定的。33. 證明：正定對(duì)稱矩陣的主對(duì)角線上的元素都是正的。34. 設(shè)是一個(gè)正交矩陣，證明：(1) 的行列式等于或；（2）的實(shí)特征根只能是或。35. 設(shè)是一個(gè)正交矩陣，證明：若，則有特征根等于.36. 設(shè)矩陣滿足，為階單位陣，證明是對(duì)稱陣，且。51. 設(shè)是向量空間的兩個(gè)子空間，那么它們的交也是的一個(gè)子空間。52. 設(shè)是向量空間的兩個(gè)子空間，那么它們的交也是的一個(gè)子空間。56設(shè)是線性變換的兩個(gè)不同特征值，x1，x2是分別屬于的特征向量，都是非零常數(shù)，證明：向量不是的特征向量。57設(shè)的特征值為，如果可逆，證明：的特征值為。59. 令是數(shù)域上向量空間的一個(gè)線性變換，如果分別是的屬于互不相同的特征值的特征向量，那么線性無關(guān)。21. 證明:設(shè)是線性變換的屬于特征值的特征向量,是一組不全為零的數(shù),則也是的屬于特征值的特征向量.27. 設(shè),證明:是的子空間. 31. 設(shè)與分別是齊次線性方程組與的解空間,證