高三數(shù)學(xué)培優(yōu)補(bǔ)差輔導(dǎo)專題講座-正弦定理、余弦定理及其.doc

正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用考試要求：掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形正、余弦定理的五大命題熱點(diǎn)正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形類型的重要工具，其主要作用是將已知條件中的邊、角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系或邊的關(guān)系。在近年高考中主要有以下五大命題熱點(diǎn)：一、求解斜三角形中的基本元素是指已知兩邊一角(或二角一邊或三邊)，求其它三個元素問題，進(jìn)而求出三角形的三線(高線、角平分線、中線)及周長等基本問題例1 中，BC3，則的周長為（ ）A BC D分析：由正弦定理，求出b及c，或整體求出bc，則周長為3bc而得到結(jié)果 解：由正弦定理得：， 得bcsinBsin(B)故三角形的周長為：3bc，故選(D)評注：由于本題是選擇題也可取ABC為直角三角形時，即B，周長應(yīng)為33，故排除(A)、(B)、(C)而選(D)例2(2005年全國高考湖北卷) 在ABC中，已知，AC邊上的中線BD=，求sinA的值分析：本題關(guān)鍵是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA解：設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接DE，則DE/AB，且，設(shè)BEx在BDE中利用余弦定理可得：，解得，（舍去）故BC=2，從而，即又，故，二、判斷三角形的形狀：給出三角形中的三角關(guān)系式，判斷此三角形的形狀例3 在中，已知，那么一定是（ ）A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形解法1：由sin(AB)sinAcosBcosAsinB，即sinAcosBcosAsinB0，得sin(AB)0，得AB故選(B)解法2：由題意，得cosB，再由余弦定理，得cosB ，即a2b2，得ab，故選(B)評注：判斷三角形形狀，通常用兩種典型方法：統(tǒng)一化為角，再判斷(如解法1)，統(tǒng)一化為邊，再判斷(如解法2)三、 解決與面積有關(guān)問題主要是利用正、余弦定理，并結(jié)合三角形的面積公式來解題例4 在中，若，則的面積S_分析：本題只需由余弦定理，求出邊AC，再運(yùn)用面積公式SABACsinA即可解決解：由余弦定理，得cosA，解得AC3 SABACsinA ABACsinAACh，得hAB sinA，故選(A)四、求值問題例5 在中，所對的邊長分別為，設(shè)滿足條件和，求和的值分析：本題給出一些條件式的求值問題，關(guān)鍵還是運(yùn)用正、余弦定理解：由余弦定理，因此， 在ABC中，C=180AB=120B.由已知條件，應(yīng)用正弦定理解得從而五、正余弦定理解三角形的實(shí)際應(yīng)用利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識，例析如下：（一.）測量問題圖1ABCD例1 如圖1所示，為了測河的寬度，在一岸邊選定A、B兩點(diǎn)，望對岸標(biāo)記物C，測得CAB=30，CBA=75，AB=120cm，求河的寬度。分析：求河的寬度，就是求ABC在AB邊上的高，而在河的一邊，已測出AB長、CAB、CBA，這個三角形可確定。解析：由正弦定理得，AC=AB=120m，又，解得CD=60m。點(diǎn)評：雖然此題計(jì)算簡單，但是意義重大，屬于“不過河求河寬問題”。（二.）遇險問題例2某艦艇測得燈塔在它的東15北的方向，此艦艇以30海里/小時的速度向正東前進(jìn)，30分鐘后又測得燈塔在它的東30北。若此燈塔周圍10海里內(nèi)有暗礁，問此艦艇繼續(xù)向東航行有無觸礁的危險？西北南東ABC3015圖2解析：如圖艦艇在A點(diǎn)處觀測到燈塔S在東15北的方向上；艦艇航行半小時后到達(dá)B點(diǎn)，測得S在東30北的方向上。 在ABC中，可知AB=300.5=15，ABS=150，ASB=15，由正弦定理得BS=AB=15，過點(diǎn)S作SC直線AB，垂足為C，則SC=15sin30=7.5。這表明航線離燈塔的距離為7.5海里，而燈塔周圍10海里內(nèi)有暗礁，故繼續(xù)航行有觸礁的危險。點(diǎn)評：有關(guān)斜三角形的實(shí)際問題，其解題的一般步驟是：（1）準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語；（2）畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出；（3）分析與所研究問題有關(guān)的一個或幾個三角形，通過合理運(yùn)用正弦定理和余弦定理求解。（三.）追擊問題圖3ABC北4515例3 如圖3，甲船在A處，乙船在A處的南偏東45方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南偏西15方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航行，應(yīng)沿什么方向，用多少h能盡快追上乙船？ 解析：設(shè)用t h，甲船能追上乙船，且在C處相遇。在ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，設(shè)ABC=，BAC=。=1804515=120。根據(jù)余弦定理，（4t3）（32t+9）=0，解得t=，t=（舍）AC=28=21 n mile，BC=20=15 n mile。根據(jù)正弦定理，得，又=120，為銳角，=arcsin，又，arcsin，甲船沿南偏東arcsin的方向用h可以追上乙船。點(diǎn)評：航海問題常涉及到解三角形的知識，本題中的 ABC、AB邊已知，另兩邊未知，但他們都是航行的距離，由于兩船的航行速度已知，所以，這兩邊均與時間t有關(guān)。這樣根據(jù)余弦定理，可列出關(guān)于t的一元二次方程，解出t的值。五、交匯問題是指正余弦定理與其它知識的交匯，如與不等式、數(shù)列、立體幾何(特別是求角與距離)、解析幾何、實(shí)際問題等知識交匯例6ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a，b，c成等比數(shù)列， （）求cotA+cotC的值； （）設(shè)，求ac的值.分析：本題是正、余弦定理與向量、等比數(shù)列等知識的交匯，關(guān)鍵是用好正弦定理、余弦定理等解：（）由由b2=ac及正弦定理得 則 （）由，得cacosB，由B，可得ac2，即b22 由余弦定理b2=a2+c22ac+cosB，得a2+c2=b2+2accosB=5. 易錯題解析例題1在不等邊ABC中，a為最大邊，如果，求A的取值范圍。錯解：。則，由于cosA在（0，180）上為減函數(shù)且又A為ABC的內(nèi)角，0A90。辨析：錯因是審題不細(xì)，已知條件弱用。題設(shè)是為最大邊，而錯解中只把a(bǔ)看做是三角形的普通一條邊，造成解題錯誤。正解：由上面的解法，可得A90。又a為最大邊，A60。因此得A的取值范圍是（60，90）。例題2在ABC中，若，試判斷ABC的形狀。錯解：由正弦定理，得即。2A2B，即AB。故ABC是等腰三角形。辨析：由，得2A2B。這是三角變換中常見的錯誤，原因是不熟悉三角函數(shù)的性質(zhì)，三角變換生疏。正解：同上得，2A或。或。故ABC為等腰三角形或直角三角形。例題3在ABC中，A60，b1，求的值。錯解：A60，b1，又，解得c4。由余弦定理，得又由正弦定理，得。辨析：如此復(fù)雜的算式，計(jì)算困難。其原因是公式不熟、方法不當(dāng)造成的。正解：由已知可得。由正弦定理，得。例題4在ABC中，C30，求ab的最大值。錯解：C30，AB150，B150A。由正弦定理，得，又。故的最大值為。辨析：錯因是未弄清A與150A之間的關(guān)系。這里A與150A是相互制約的，不是相互獨(dú)立的兩個量，sinA與sin(150A)不能同時取最大值1，因此所得的結(jié)果也是錯誤的。正解：C30，AB150，B150A。由正弦定理，得因此ab的最大值為。例題5在ABC中，已知a2，b，C15，求A。錯解：由余弦定理，得。又由正弦定理，得而。辨析：由題意，。因此A150是不可能的。錯因是沒有認(rèn)真審題，未利用隱含條件。在解題時，要善于應(yīng)用題中的條件，特別是隱含條件，全面細(xì)致地分析問題，避免錯誤發(fā)生。正解：同上，。例題6在ABC中，判斷ABC的形狀。錯解：在ABC中，由正弦定理得AB且AB90故ABC為等腰直角三角形。辨析：對三角公式不熟，不理解邏輯連結(jié)詞“或”、“且”的意義，導(dǎo)致結(jié)論錯誤。正解：在ABC中，由正弦定理，得。2A2B或2A2B180，AB或AB90。故ABC為等腰三角形或直角三角形。例題7若a，b，c是三角形的三邊長，證明長為的三條線段能構(gòu)成銳角三角形。錯解：不妨設(shè)，只要考慮最大邊的對角為銳角即可。由于a，b，c是三角形的三邊長，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，有，即。長為的三條線段能構(gòu)成銳角三角形。辨析：三條線段構(gòu)成銳角三角形，要滿足兩個條件：三條邊滿足三角形邊長關(guān)系；最長線段的對角是銳角。顯然錯解只驗(yàn)證了第二個條件，而缺少第一個條件。正解：由錯解可得又即長為的三條線段能構(gòu)成銳角三角形。高考試題展示1、（06湖北卷）若的內(nèi)角滿足，則A. B C D解：由sin2A2sinAcosA0，可知A這銳角，所以sinAcosA0，又，故選A2、（06安徽卷）如果的三個內(nèi)角的余弦值分別等于的三個內(nèi)角的正弦值，則A和都是銳角三角形B和都是鈍角三角形C是鈍角三角形，是銳角三角形D是銳角三角形，是鈍角三角形解：的三個內(nèi)角的余弦值均大于0，則是銳角三角形，若是銳角三角形，由，得，那么，所以是鈍角三角形。故選D。3、（06遼寧卷）的三內(nèi)角所對邊的長分別為設(shè)向量,若,則角的大小為(A) (B) (C) (D) 【解析】，利用余弦定理可得，即，故選擇答案B。【點(diǎn)評】本題考查了兩向量平行的坐標(biāo)形式的重要條件及余弦定理和三角函數(shù)，同時著重考查了同學(xué)們的運(yùn)算能力。4、（06遼寧卷）已知等腰的腰為底的2倍，則頂角的正切值是（） 解：依題意，結(jié)合圖形可得，故，選D5、（06全國卷I）的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a、b、c成等比數(shù)列，且，則A B C D解：中，a、b、c成等比數(shù)列，且，則b=a，=，選B.6、06山東卷）在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,A=,a=,b=1，則c=(A) 1 （B）2 （C）1 （D）解：由正弦定理得sinB，又ab，所以AB，故B30，所以C90，故c2，選B7、（06四川卷）設(shè)分別是的三個內(nèi)角所對的邊，則是的（A）充要條件 （B）充分而不必要條件（C）必要而充分條件 （D）既不充分又不必要條件解析：設(shè)分別是的三個內(nèi)角所對的邊，若，則，則， ，又， ， ，若ABC中，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到，所以是的充要條件，選A. 8、（06北京卷）在中，若，則的大小是_.解： a:b:c5:7:8設(shè)a5k，b7k，c8k，由余弦定理可解得的大小為.9、（06湖北卷）在ABC中，已知，b4，A30，則sinB .解：由正弦定理易得結(jié)論sinB。10、（06江蘇卷）在ABC中，已知BC12，A60，B45，則AC【思路點(diǎn)撥】本題主要考查解三角形的基本知識【正確解答】由正弦定理得，解得【解后反思】解三角形：已知兩角及任一邊運(yùn)用正弦定理，已知兩邊及其夾角運(yùn)用余弦定理11、（06全國II）已知ABC的三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，且AB1，BC4，則邊BC上的中線AD的長為 解析: 由的三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列可得A+C=2B而A+B+C=可得AD為邊BC上的中線可知BD=2,由余弦定理定理可得。本題主要考察等差中項(xiàng)和余弦定理,涉及三角形的內(nèi)角和定理,難度中等。12、（06上海春）在中，已知，三角形面積為12，則 .解：由三角形面積公式，得，即于是從而應(yīng)填BDCA圖313、（06湖南卷）如圖3,D是直角ABC斜邊BC上一點(diǎn),AB=AD,記CAD=,ABC=.（1）證明 ;（2）若AC=DC,求的值.解：(1)如圖3， 即（2）在中，由正弦定理得由(1)得，即14、（06江西卷）在銳角中，角所對的邊分別為，已知，（1）求的值；（2）若，求的值解：（1）因?yàn)殇J角ABC中，ABCp，所以cosA，則（2），則bc3。將a2，cosA，c代入余弦定理：中得解得b 15、（06江西卷）如圖，已知ABC是邊長為1的正三角形，M、N分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，線段MN經(jīng)過ABC的中心G，設(shè)MGAa（）（1） 試將AGM、AGN的面積（分別記為S1與S2）表示為a的函數(shù)（2）求y的最大值與最小值解：（1）因?yàn)镚是邊長為1的正三角形ABC的中心，所以 AG，MAG，由正弦定理得則S1GMGAsina，同理可求得S2（2） y72（3cot2a），因?yàn)?，所以?dāng)a或a時，y取得最大值ymax240當(dāng)a時，y取得最小值ymin21616、（06全國卷I）的三個內(nèi)角為，求當(dāng)A為何值時，取得最大值，并求出這個最大值。.解: 由A+B+C=, 得 = , 所以有cos =sin .cosA+2cos =cosA+2sin =12sin2 + 2sin =2(sin )2+ 當(dāng)sin = , 即A=時, cosA+2cos取得最大值為17、（06全國II）在,求（1）(2)若點(diǎn)解：（1）由由正弦定理知（2）， 由余弦定理知18、（06四川卷）已知是三角形三內(nèi)角，向量，且（）求角；（）若，求解：本小題主要考察三角函數(shù)概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)的公式以及倍角公式，考察應(yīng)用、分析和計(jì)算能力。（） 即, （）由題知，整理得 或而使，舍去 19、（06天津卷）如圖，在中，（1）求的值；（2）求的值. 本小題考查同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識，考察基本運(yùn)算能力及分析解決問題的能力.滿分12分.（）解： 由余弦定理， 那么，（）解：由，且得由正弦定理，解得。所以，。由倍角公式，且，故. 20、（07重慶理5）在中，則BC =（ ）A. B. C.2 D.【答案】：A【分析】：由正弦定理得： 21、（07北京文12理11）在中，若，則解析：在中，若， A 為銳角，則根據(jù)正弦定理=。22、（07湖南理12）在中，角所對的邊分別為，若，b=，則 【答案】【解析】由正弦定理得，所以23、（07湖南文12） 在中，角A、B、C所對的邊分別為，若，則A=.【解析】由正弦定理得，所以A=24、（07重慶文13）在ABC中，AB=1,BC=2,B=60，則AC?！敬鸢浮浚骸痉治觥浚河捎嘞叶ɡ淼茫?4、（07北京文理13）2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會，會標(biāo)是我國以古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖）如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為，那么的值等于解析：圖中小正方形的面積為1，大正方形的面積為25， 每一個直角三角形的面積是6，設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為a, b，則， 兩條直角邊的長分別為3，4，設(shè)直角三角形中較小的銳角為，cos=，cos2=2cos21=。25、（07福建理17）在中，（）求角的大??；（）若最大邊的邊長為，求最小邊的邊長本小題主要考查兩角和差公式，用同角三角函數(shù)關(guān)系等解斜三角形的基本知識以及推理和運(yùn)算能力，滿分12分解：（），又，（），邊最大，即又，角最小，邊為最小邊由且，得由得：所以，最小邊26、（07廣東理16）已知頂點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為，（1）若，求的值；（2）若是鈍角，求的取值范圍解析： （1），若c=5， 則，sinA；2）若A為鈍角，則解得，c的取值范圍是；27、（07海南寧夏理17）如圖，測量河對岸的塔高時，可以選與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測點(diǎn)與現(xiàn)測得，并在點(diǎn)測得塔頂?shù)难鼋菫?，求塔高解：在中，由正弦定理得所以在中?8、（07湖北理16）已知的面積為，且滿足，設(shè)和的夾角為（I）求的取值范圍；（II）求函數(shù)的最大值與最小值本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算、解三角形、三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)等基本知識，考查推理和運(yùn)算能力解：（）設(shè)中角的對邊分別為，則由，可得，（），即當(dāng)時，；當(dāng)時，29、（07全國卷1理17）設(shè)銳角三角形的內(nèi)角的對邊分別為，（）求的大?。唬ǎ┣蟮娜≈捣秶猓海ǎ┯?，根據(jù)正弦定理得，所以，由為銳角三角形得（）由為銳角三角形知，所以由此有，所以，的取值范圍為30、（07全國卷2理17）在中，已知內(nèi)角，邊設(shè)內(nèi)角，周長為（1）求函數(shù)的解析式和定義域；（2）求的最大值解