定積分的計(jì)算與應(yīng)用 (1).doc

哈爾濱師范大學(xué)學(xué)年論文 題 目 定積分的計(jì)算與應(yīng)用 學(xué) 生 劉 影 指導(dǎo)教師 皮曉明 年 級(jí) 2010級(jí)6班 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 系 別 數(shù)學(xué)系 學(xué) 院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院哈爾濱師范大學(xué)2012年12月 電話：1800450569定積分的計(jì)算與應(yīng)用劉影摘 要：定積分計(jì)算的方法和技巧是非常豐富的，除用定積分性質(zhì)、基本公式，換元法與分部積分法外，簡(jiǎn)單的還有定積分的幾何意義，函數(shù)奇偶性及查積分表等。本文主要列舉了一些定積分計(jì)算的方法與技巧以及定積分的一些基本應(yīng)用。 關(guān)鍵詞：牛頓萊布尼茲公式 積分 定積分恩格斯增經(jīng)指出微積分是變量數(shù)學(xué)的重要組成部分,微積分是數(shù)學(xué)一個(gè)分支,學(xué)技術(shù)以及自然科學(xué)的各個(gè)分支中被廣泛應(yīng)用的最重要的數(shù)學(xué)工具，定積分在幾何學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)等應(yīng)用領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用。如復(fù)雜圖形的研究，化學(xué)反應(yīng)過(guò)程的分析，求數(shù)列極限等等。一、定積分的計(jì)算方法1、 按照定義計(jì)算定積分定積分的定義其實(shí)已經(jīng)給出了計(jì)算定積分的方法，即求面積和的極限： 例1 求由拋物線，及所圍平面圖形的面積。解 根據(jù)定積分的幾何意義，就是要計(jì)算定積分 .顯然，這個(gè)定積分是存在的。取分割T為等份，并取，則所求面積為： 2、用牛頓-萊布尼茲公式計(jì)算定積分若函數(shù)在上連續(xù)，且存在原函數(shù)，即，xa,b,則在上可積，且 ， 這稱為牛頓萊布尼茲公式，它也常寫成 有了牛頓萊布尼茲公式后，計(jì)算定積分關(guān)鍵就是找的一個(gè)原函數(shù)。這就轉(zhuǎn)化為不定積分的問(wèn)題了。例2 求解 已知3、 利用分部積分法計(jì)算定積分設(shè)函數(shù)、在區(qū)間a，b上連續(xù)可微，則有定積分分部積分公式：例3 求解 4、 利用換元積分法計(jì)算定積分若函數(shù)在上連續(xù)，在上連續(xù)可微，且滿足，則有定積分的換元積分公式 。應(yīng)用定積分的換元積分公式計(jì)算定積分時(shí)，要注意積分上、下限的變化。例4 計(jì)算解 先用變量代換方法：令，則，于是。再用分部積分法計(jì)算上式右端的積分。 設(shè)，則，。于是從而原式。二、定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用1、求平面曲線的弧長(zhǎng)1.1、在平面直角坐標(biāo)系下，求曲線上一段的弧長(zhǎng)需修改（如圖1）.圖1在區(qū)間上的任意點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處，作曲線的切線，取其對(duì)應(yīng)自變量增量為的一段作為曲線弧的近似值（“直代曲”），即修改。稱為弧長(zhǎng)微元，對(duì)其積分，則得所求弧長(zhǎng)。例 5 求曲線上一段的弧長(zhǎng)。解 .1.2、用參數(shù)方程表示的函數(shù)的弧長(zhǎng)計(jì)算，如曲線上一段的弧，這時(shí)即，則曲線的弧長(zhǎng).2、 計(jì)算平面圖形的面積例 6 計(jì)算一塊材料（如右圖）的面積。 圖2分析：如圖2中陰影部分面積即為材料面積，它是由拋物線方程為 、坐標(biāo)軸和直線方程圍成的區(qū)域。解 由于曲線與直線在點(diǎn)(1,2)相交,所以, 其中 從而 =+ = 3、求立體圖形的體積一個(gè)木塊的體積，我們們可以將此木塊作分割T:劃分成許多基本的小塊,每一塊的厚度為,假設(shè)每一個(gè)基本的小塊橫切面積為,為上連續(xù)函數(shù)，則此小的體積大約是,將所有的小塊加起來(lái),令0,可以得到 。 下面來(lái)看以下例題: 例 7 一塊由直線和直線及弧,所共圍成的區(qū)域，以x軸為軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的體積是多少？分析：如圖3，陰影區(qū)域即為題意所指的區(qū)域, 其旋轉(zhuǎn)體積求法，可將區(qū)域APQB 的旋轉(zhuǎn)體積減去區(qū)域APCB的旋轉(zhuǎn)體積，即為所求。 解 首先來(lái)求區(qū)域APQB的旋轉(zhuǎn)體積：而區(qū)域APCB的旋轉(zhuǎn)體積為一個(gè)圓柱體的體積其半徑為，高為2，故其體積為。所以區(qū)域PCQ的旋轉(zhuǎn)體積為。 4、定積分在力學(xué)中的應(yīng)用 圖3舉一個(gè)最簡(jiǎn)單的例子:有一個(gè)方向恒定的變力對(duì)一個(gè)物體做功,若這個(gè)變力對(duì)物體的作用距離為S， 為S的函數(shù),則有變力所做的功為 (其中a,b為變力的起始與末尾值)；下面列舉實(shí)際應(yīng)用中例子 。 例8 重量為的擺錘系于繩的下端,繩長(zhǎng)為,上端固定如右圖4所示,一水平變力從零逐漸增大緩慢的作用在擺錘上,使擺錘雖然移動(dòng),但在所有時(shí)間內(nèi)均勻無(wú)限接近力平衡,一直到繩子與豎直直線成角的位置，試計(jì)算變力F所做的功。 圖4解 按題意，在任意位置上（由角位置表示），擺錘無(wú)限的接近于力平衡，所以可由擺錘所受合力極接近于零來(lái)計(jì)算。在水平方向與豎直方向分別有： ， ，式中T是擺錘所受繩的拉力，于是有 ；當(dāng)擺錘在位置上沿圓弧作微小位移時(shí)，力所做的微功為將代入得：，所以在擺錘從初始位置到位置的過(guò)程中，F(xiàn)力對(duì)擺錘所作的總功為： 此外,應(yīng)用定積分對(duì)物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行分析也是十分方便的,例如勻加速運(yùn)動(dòng): 設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿X軸作勻加速直線運(yùn)動(dòng),已知加速度為(為一個(gè)恒定量)和初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(即t=0時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)位置和初速度)要確定質(zhì)點(diǎn)某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),也就是要求其坐標(biāo)和速度隨時(shí)間的函數(shù)表示式和。先將瞬時(shí)加速度的數(shù)學(xué)式改寫成，已知為恒定量,對(duì)上式兩邊去積分,并應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的初始條件得 ，即 （1）式（1）就是確定質(zhì)點(diǎn)在勻加速直線運(yùn)動(dòng)中速度的時(shí)間函數(shù)式。根據(jù)瞬時(shí)速度的數(shù)學(xué)式，把式（1）改寫成或，然后對(duì)兩邊取積分得： 即 或（2）式（2）就是在勻加速直線運(yùn)動(dòng)中確定質(zhì)點(diǎn)位置的時(shí)間函數(shù)式，也就是質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。此外，如果把瞬時(shí)加速度改寫成： 即 ；對(duì)兩邊取積分得即： （3）式（3）就是質(zhì)點(diǎn)坐勻加速運(yùn)動(dòng)是質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)和速度之間的關(guān)系式 。5、 定積分在電學(xué)中的應(yīng)用例 9 設(shè)真空中有一均勻帶電直線，長(zhǎng)為總電量為，線外有一點(diǎn)離直線的垂線距離為，點(diǎn)和直線兩端點(diǎn)的連線之間的夾角分別為和，如圖5所示，求點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。 解 這里產(chǎn)生電場(chǎng)的電荷是連續(xù)分布的，所以首先要把整個(gè)電荷分布劃分為許多電荷元，求出每一電荷元的給定點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，然后根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，按的關(guān)系求總場(chǎng)強(qiáng)，由于場(chǎng)強(qiáng)本身是矢量，所以必須注意選取方位適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，以便求出分量，再經(jīng)積分計(jì)算求得， 我們以點(diǎn)到直線的垂足為原點(diǎn)，取坐標(biāo)軸，如圖，在帶電直線上離原點(diǎn)為處取長(zhǎng)度元,上的電量為，設(shè)直線上每單位長(zhǎng)度所帶電量，（稱為電荷線密度），所以 ；設(shè)到點(diǎn)的距離為可知在點(diǎn)處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的大小為 ，方向如圖5，圖中軸未畫出，顯然。從圖5可知:圖5，。所以 （1）， （2）。 將 式積分 ； ；可注意到,點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)的大小與該點(diǎn)離直線的距離反比,的大小和方向可從，確定。如果這一均勻帶電直線是無(wú)限長(zhǎng)的,即，那么有 。6、在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用近些年來(lái)，定積分還越來(lái)越多的被應(yīng)用到解決初等數(shù)學(xué)的一些問(wèn)題上面來(lái)，下面來(lái)討論一下定積分在證明不等式。運(yùn)用積分來(lái)證明不等式，一般要利用到積分的如下性質(zhì)：設(shè)與都在上可積，且,則特別的當(dāng)時(shí)，有。例10 證明貝努利不等式： 已知-1,且0,且，求證。證明 若,則且時(shí)，。因此即 。若，或1+,且 時(shí)， 。因此由此可得：。 綜合以上可得當(dāng)且,且時(shí)有。從上面的證明過(guò)程中可以看出，去掉條件之后，結(jié)論仍然成立。而且，更一般的我們有，設(shè),則：若時(shí)，有；若或時(shí) ，有且僅當(dāng)= 0時(shí)，兩式中的等號(hào)成立。