2018版高中數(shù)學平面向量2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義二導學案新人教A版.docx

2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義(二)學習目標1.掌握平面向量數(shù)量積的運算律及常用的公式.2.會利用向量數(shù)量積的有關運算律進行計算或證明.知識點一平面向量數(shù)量積的運算律類比實數(shù)的運算律，判斷下表中的平面向量數(shù)量積的運算律是否正確.運算律實數(shù)乘法向量數(shù)量積判斷正誤交換律abbaabba正確結合律(ab)ca(bc)(ab)ca(bc)錯誤分配律(ab)cacbc(ab)cacbc正確消去律abbc(b0)acabbc(b0)ac錯誤知識點二平面向量數(shù)量積的運算性質類比多項式乘法的乘法公式，寫出下表中的平面向量數(shù)量積的運算性質.多項式乘法向量數(shù)量積(ab)2a22abb2(ab)2a22abb2(ab)2a22abb2(ab)2a22abb2(ab)(ab)a2b2(ab)(ab)a2b2(abc)2a2b2c22ab2bc2ca(abc)2a2b2c22ab2bc2ca類型一向量數(shù)量積的運算性質例1給出下列結論：若a0，ab0，則b0；若abbc，則ac；(ab)ca(bc)；ab(ac)c(ab)0，其中正確結論的序號是_.答案解析因為兩個非零向量a、b垂直時，ab0，故不正確；當a0，bc時，abbc0，但不能得出ac，故不正確；向量(ab)c與c共線，a(bc)與a共線，故不正確；ab(ac)c(ab)(ab)(ac)(ac)(ab)0，故正確.反思與感悟向量的數(shù)量積ab與實數(shù)a、b的乘積ab有聯(lián)系，同時有許多不同之處.例如，由ab0并不能得出a0或b0.特別是向量的數(shù)量積不滿足結合律.跟蹤訓練1設a，b，c是任意的非零向量，且互不平行，給出以下說法：(ab)c(ca)b0；(bc)a(ca)b不與c垂直；(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2.其中正確的是_.(填序號)答案解析(ab)c表示與向量c共線的向量，(ca)b表示與向量b共線的向量，而b，c不共線，所以錯誤；由(bc)a(ca)bc0知，(bc)a(ca)b與c垂直，故錯誤；向量的乘法運算符合多項式乘法法則，所以正確.類型二平面向量數(shù)量積有關的參數(shù)問題命題角度1已知向量垂直求參數(shù)值例2已知兩個單位向量a，b的夾角為60，cta(1t)b，且bc，則t_.答案2解析由題意，將bcta(1t)bb整理，得tab(1t)0，又ab，所以t2.反思與感悟由兩向量垂直求參數(shù)一般是利用性質：abab0.跟蹤訓練2已知向量a(k，3)，b(1，4)，c(2，1)，且(2a3b)c，則實數(shù)k等于()A. B.0 C.3 D.答案C解析因為a(k，3)，b(1，4)，所以2a3b2(k，3)3(1，4)(2k3，6).因為(2a3b)c，所以(2a3b)c(2k3，6)(2，1)2(2k3)60，解得k3.故選C.命題角度2由兩向量夾角的取值范圍求參數(shù)的取值范圍例3已知e1與e2是兩個互相垂直的單位向量，若向量e1ke2與ke1e2的夾角為銳角， 則k的取值范圍為_.答案(0，1)(1，)解析e1ke2與ke1e2的夾角為銳角，(e1ke2)(ke1e2)keke(k21)e1e22k0，k0.但當k1時，e1ke2ke1e2，它們的夾角為0，不符合題意，舍去.綜上，k的取值范圍為k0且k1.反思與感悟由兩向量夾角的取值范圍，求參數(shù)的取值范圍，一般利用以下結論：對于非零向量a，b，0，)ab0，(，ab0.跟蹤訓練3設兩個向量e1，e2滿足|e1|2，|e2|1，e1，e2的夾角為60，若向量2te17e2與e1te2的夾角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍.解設向量2te17e2與e1te2的夾角為.根據(jù)題意，得cos 0，(2te17e2)(e1te2)0.化簡，得2t215t70，解得7t.當時，也有(2te17e2)(e1te2)0，但此時夾角不是鈍角.設2te17e2(e1te2)，0，則實數(shù)t的取值范圍是(7，)(，).1.下面給出的關系式中正確的個數(shù)是()0a0；abba；a2|a|2；|ab|ab；(ab)2a2b2.A.1 B.2 C.3 D.4答案C解析正確，錯誤，錯誤，(ab)2(|a|b|cos )2a2b2cos2 ，故選C.2.已知|a|1，|b|，且(ab)與a垂直，則a與b的夾角是()A.60 B.30 C.135 D.45答案C解析(ab)aa2ab0，aba21，cosa，b.a，b135.3.已知平面向量a，b滿足|a|3，|b|2，a與b的夾角為60，若(amb)a，則實數(shù)m的值為()A.1 B.0 C.2 D.3答案D解析由題意得(amb)a0，a2mab，m3，故選D.4.已知正三角形ABC的邊長為1，設c，a，b，那么abbcca的值是()A. B.C. D.答案C解析abc0，(abc)20，即|a|2|b|2|c|22(abbcca)0，32(abbcca)0，abbcca.5.已知|a|2，|b|1，(2a3b)(2ab)9.(1)求a與b之間的夾角；(2)求向量a在ab上的投影.解(1)(2a3b)(2ab)4a24ab3b29，即164ab39，ab1，cos .又0，.(2)|ab|2a22abb27，即|ab|.設a與ab的夾角為，則向量a在ab上的投影為|a|cos |a|.1.數(shù)量積對結合律不一定成立，因為(ab)c|a|b|cosa，bc是一個與c共線的向量，而(ac)b|a|c|cosa，cb是一個與b共線的向量，若b與c不共線，則兩者不相等.2.在實數(shù)中，若ab0，則a0或b0，但是在數(shù)量積中，即使ab0，也不能推出a0或b0，因為其中cos 有可能為0.3.在實數(shù)中，若abbc，b0，則ac，在向量中abbc，b0ac.課時作業(yè)一、選擇題1.已知|a|1，|b|1，|c|，a與b的夾角為90，b與c的夾角為45，則a(bc)的化簡結果是()A.0 B.a C.b D.c答案B解析bc|b|c|cos 451.a(bc)a.2.已知向量a，b滿足ab0，|a|1，|b|2，則|2ab|等于()A.0 B.2 C.4 D.8答案B解析|2ab|2(2ab)24|a|24ab|b|2414048，|2ab|2.3.已知ab，|a|2，|b|3，且3a2b與ab垂直，則等于()A. B.C. D.1答案A解析(3a2b)(ab)3a2(23)ab2b23a22b212180，.4.設單位向量e1，e2的夾角為60，則向量3e14e2與向量e1的夾角的余弦值是()A. B. C. D.答案D解析|3e14e2|29e24e1e216e9241637，|3e14e2|.又(3e14e2)e13e4e1e2345，cos .5.已知非零向量m，n滿足4|m|3|n|，cosm，n.若n(tmn)，則實數(shù)t的值為()A.4 B.4 C. D.答案B解析n(tmn)，n(tmn)0，即tmnn20，t|m|n|cosm，n|n|20，由已知得t|n|2|n|20，解得t4，故選B.6.設向量a與b滿足|a|2，b在a方向上的投影為1.若存在實數(shù)，使得a與ab垂直，則等于()A. B.1 C.2 D.3答案C解析b在a上的投影為1，|a|2，ab212，又a(ab)，a(ab)0，ab|a|2，故24，2，故選C.7.若向量a與b不共線，ab0，且cab，則向量a與c的夾角為()A.0 B. C. D.答案D解析acaaa(ab)aaaa0.ac.故選D.8.如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，BAD60，E為BC的中點，則等于() A.3 B.0 C.1 D.1答案C二、填空題9.已知平面內三個向量a，b，c滿足|a|b|1，|c|，且abc0，則向量a，b夾角的大小是_.答案解析abc，(ab)2c2，即|a|22ab|b|2|c|2，12ab13，ab，則cosa，b，又a，b0，a，b.10.已知向量a，b滿足|a|2，|b|1，且對一切實數(shù)x，|axb|ab|恒成立，則a，b的夾角的大小為_.答案解析由題意可知，|axb|2|ab|2，即a22abxb2x2a22abb2，設a與b的夾角為，則44cos xx244cos 1，即x24cos x14cos 0，因為對一切實數(shù)x，|axb|ab|恒成立，所以(4cos )24(14cos )0，即(2cos 1)20，所以2cos 10，cos .又因為0，所以.11.已知非零向量a，b，滿足ab，且a2b與a2b的夾角為120，則_.答案解析ab，ab0，(a2b)(a2b)a24b2，|a2b| ，|a2b| ，a24b2cos 120，化簡得a22b20，所以.12.設向量a，b，c滿足abc0，(ab)c，ab，若|a|1，則|a|2|b|2|c|2的值是_.答案4解析方法一由abc0，得cab.又(ab)c0，(ab)(ab)0，即a2b2.則c2(ab)2a2b22aba2b22，|a|2|b|2|c|24.方法二如圖，作a. b，則c，ab，ABBC，又ab，(ab)c，CDCA，所以ABC是等腰直角三角形，|a|1，|b|1，|c|，|a|2|b|2|c|24.13.已知向量a，b的夾角為45，且|a|4，(ab)(2a3b)12，則|b|_；b在a方向上的投影等于_.答案1解析(ab)(2a3b)a2ab3b212，即3|b|2|b|40，解得|b|(舍負)，b在a方向上的投影是|b|cos 451.三、解答題14.已知|a|2|b|2，且向量a在向量b方向上的投影為1.(1)求a與b的夾角；(2)求(a2b)b；(3)當為何值時，向量ab與向量a3b互相垂直？解(1)|a|2|b|2，|a|2，|b|1.又向量a在向量b方向上的投影為|a|cos 1，ab|a|b|cos 1.又|a|2，|b|1，cos ，又0，.(2)(