高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試題(1).doc

高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試題(1)一試一、選擇題（本大題36分，每小題6分）1在復平面上，非零復數(shù)，在以i對應的點為圓心，1為半徑的圓上，的實部為零，arg6，則（）2（32）i2（32）32（2）32（2）2已知函數(shù)（）（12）在1，2上恒正，則實數(shù)的取值范圍是（）（12，58） （32，）（12，（58）（32，）（12，）3已知雙曲線過點（2，4）、（4，4），它的一個焦點為（1，0），則另一個焦點的軌跡方程是（）（1）25（4）161（0）或1（0）（1）16（4）251（0）或1（0）（4）25（1）161（0）或1（0）（4）16（1）251（0）或1（0）4已知正實數(shù)、滿足1，則的整數(shù)部分是（）1 2 3 45一條筆直的大街寬是40米，一條人行道穿過這條大街，并與大街成某一角度，人行道的寬度是15米，長度是50米，則人行道間的距離是（）9米 10米 12米 15米6一條鐵路原有個車站，為適應客運需要新增加個車站（1），則客運車票增加了58種（注：從甲站到乙站和從乙站到甲站需要兩種不同的車票），那么原有車站的個數(shù)是（）12 13 14 15二、填空題（本大題54分，每小題9分）1長方形的長是寬的2倍，把它折成無底的正三棱柱，使與重合，折痕線、H分別交原對角線于、，則折后截面與底面H所成的角是_2在中，、是角、的對邊，且滿足2，則角的最大值是_3從盛滿升（1）純酒精的容器里倒出1升，然后填滿水，再倒出1升混合溶液后又用水填滿，如此繼續(xù)下去則第次操作后溶液的濃度是_4已知函數(shù)（）與（）的定義域均為非負實數(shù)集，對任意的0，規(guī)定（）（）（），（）若（）3，（），則（）（）的最大值為_5從1到100的自然數(shù)中，每次取出不同的兩個數(shù)，使它們的和大于100，則可有_種不同的取法6若實數(shù)0，則滿足532的值屬于區(qū)間：（0，）；（，）；（，）；（0，）其中正確的是_三、（本大題20分）求證：經(jīng)過正方體中心的任一截面的面積不小于正方體一個側(cè)面的面積四、（本大題20分）直線0（0）與橢圓相交于P和Q兩點，O為坐標原點，且OP，求證：（）（）五、（本大題20分）某新建商場設有百貨部、服裝部和家電部三個經(jīng)營部，共有190名售貨員，計劃全商場日營業(yè)額（指每日賣出商品所收到的總金額）為60萬元，根據(jù)經(jīng)驗，各部商品每1萬元營業(yè)額所需售貨員人數(shù)如表1，每1萬元營業(yè)額所得利潤情況如表2商場將計劃日營業(yè)額分配給三個經(jīng)營部，同時適當安排各部的營業(yè)員人數(shù)，若商場預計每日的總利潤為（萬元）且滿足19197，又已知商場分配給經(jīng)營部的日營業(yè)額均為正整數(shù)萬元，問這個商場怎樣分配日營業(yè)額給三個部?各部分別安排多少名售貨員?表1各部每1萬元營業(yè)額所需人數(shù)表 部門人數(shù)百貨部5服裝部4家電部2表2各部每1萬元營業(yè)額所得利潤表部門利潤百貨部03萬元服裝部05萬元家電部02萬元加試一、（本大題50分）矩形的邊，以為直徑在矩形之外作半圓，在半圓上任取不同于、的一點P，連P，交于、，若，試求正實數(shù)的值二、（本大題50分）若（1，2，），且2，求證：三、（本大題50分）無窮數(shù)列可由如下法則定義：1112，而01（1）證明：僅當是有理數(shù)時，數(shù)列自某一項開始成為周期數(shù)列（2）存在多少個不同的值，使得數(shù)列自某項之后以T為周期（對于每個2，3，）？參考答案一試一、選擇題1選如圖1所示，設復數(shù)對應的點為，則圖12（6）1，（2）（12）再設（，），由1，得（1）1（2（12）（）的實部為零，0聯(lián)立與，解出0，（舍去）2，032故2（32）2選設（）12首先由120，得（12）（12）1當12時，（12）1）12，從而12在12的前提下，易知函數(shù)（）（12）的對稱軸（12）在區(qū)間1，2的左邊，從而（）在1，2上是遞增函數(shù)當1時，（）在1，2上是增函數(shù)，有（1）（112）0，32當（121時，（）在1，2上是減函數(shù)，有（2）（4212）0，1258綜上，1258或323選易知5，而，即55當552，即時，點的軌跡是線段N的中垂線，其方程為1（0）當5（5），即10時，點的軌跡是以、為焦點，長軸長為10的橢圓，其方程為（1）25（4）161（0）4選一方面2，另一方面112（）3，即有235選如圖2，人行橫道的面積S1540600，圖250600，解得126選新增的個車站之間需要種車票，新增的個車站與原來的個車站之間需要2種車票，從而258，即（12）58、是非負數(shù)（1），且58只能分解為158，和229，2，或29，解出2，122912214二、填空題1填6折疊后，仍有（或H，折疊后點和點重合），且它們的長度沒有改變，仍等于折疊前的長度，但對角線由直線段變成了折線段，N三點由原來共線（如圖3（1）變成現(xiàn)在，N三點構(gòu)成三角形（如圖3（2）圖3設，則2圖3（1）為折前長方形，有，3，23，3，23設平面N與平面H的夾角為（如圖3（2），由1223236023在中，43取N的中點P，在中，2432232，62填3因為2，所以（）2（）2）2（）4，所以40即（）（4）（）10（因為0）因為是正實數(shù)，所以（4）40，14，400故12，所以3因此角的最大值是33填（1（1）開始的濃度為1，操作一次后溶液的濃度是1（1）設操作次后溶液的濃度為，則操作1次后溶液的濃度為1（1（1）是首項和公比均為1（1）的等比數(shù)列，1（1（1），4填210，令3，解得042（）（），042，3，423在R上單調(diào)遞減，故當42時，（）（）（42）（42）3（42）21當0x42時，單調(diào)遞增，故當x0，42時，f（x）g（x）21綜上知，f（x）g（x）的最大值為215填2500以1為被加數(shù)，則1100101100，有1種取法以2為被加數(shù)，則2100102100，299101100，有2種取法依次可得，被加數(shù)為（，50）時，有種取法但51為被加數(shù)時，則扣除前面已取過的，只能取52，53，100，有49種取法，同理52為被加數(shù)時，有48種取法，依次可得當被加數(shù)（，51100）時，有100種取法所以不同的取法有（12350）（49481）25006填1（1）（1）（1）（）2（1），（0）0，且1，14，3，即又2，2（1）（1）2，2，即，綜合知應填三、顯然，所作截面是一個中心對稱的凸多邊形，它是一個四邊形或一個六邊形如果截面是一個四邊形，那么它一定沒有截到立方體的某一組對面，故截面的面積不小于正方體一個側(cè)面的面積圖4如果截面是一個六邊形，那么它一定截到立方體的六個面將立方體展開在一個平面上（如圖4）設截面的周長為，正方體的棱長為，則3由于正方體的中心是其內(nèi)切球的球心，所以截面內(nèi)含有半徑為2的圓從而有截面（12）（2）（34）四、將0，變形為1（）代入橢圓方程，得（），整理得（）2（）0，（1）當0時，顯然成立；（2）當0時，同除以2得（）（）2（）（）0，則方程的兩根為、OQ的斜率因為，所以1（）（），即（）（）五、設商場分配給百貨、服裝、家電營業(yè)額分別為，（萬元）（，是正整數(shù)），則60，542190，030502，19197由，得35（32），25（2），0305（35（32）02（25（2）225035代入得810，必為正整數(shù)，8，或10，540，或550，23，20，492，480，2930258260加試一、解法1（三角法）：如圖5，過P作，垂足為不失一般性，設2，則2再設P，則圖522，22（2）（2）2，2（2），又（2）（2），（2）（22）（22），88（）4（）4即（）22（）10，、代入得（42）（2）（4）（2）10（12）0，0，120，即2解法2（代數(shù)法）：如圖5，不失一般性，設2，則2，并令，因為，于是有，即2所以，（）2同理，（）2，得（）（）2，即（2）（）（2（2）（）由、得（）2（2（2）（12）（2）（），（）2（2）（）2（），同理2（）又2，綜合，得42（2）（）4（），化簡得2（2），又，（2）（2）4，即44（）0，44（）（）2將代入得44（）（）2（2）即（2）2（2）xy2，21解得2二、由柯西不等式，得故原不等式得證三、易知題中的遞推關(guān)系式即為2，若0（12），22，若（12）1（1）若為有理數(shù)，即，其中（，）1時，對一切，均有（，其中0，1，故有，使得12從而12于是，由式可知自第項之后呈周期變化假設數(shù)列自第項開始成為周期為T的，我們記12，即用二進制表示c1，其中0或1，并記1，由此并結(jié)合歸納