八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)幾何添輔助線專題.doc

學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考全等三角形問題中常見的輔助線的作法(有答案)總論：全等三角形問題最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間的相等，構(gòu)造二個(gè)角之間的相等【三角形輔助線做法】圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。 也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。 角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。 要證線段倍與半，延長縮短可試驗(yàn)。 三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。 三角形中有中線，延長中線等中線。1.等腰三角形“三線合一”法：遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題2.倍長中線：倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形3.角平分線在三種添輔助線4.垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端5.用“截長法”或“補(bǔ)短法”： 遇到有二條線段長之和等于第三條線段的長，6.圖形補(bǔ)全法：有一個(gè)角為60度或120度的把該角添線后構(gòu)成等邊三角形7.角度數(shù)為30、60度的作垂線法：遇到三角形中的一個(gè)角為30度或60度，可以從角一邊上一點(diǎn)向角的另一邊作垂線，目的是構(gòu)成30-60-90的特殊直角三角形，然后計(jì)算邊的長度與角的度數(shù)，這樣可以得到在數(shù)值上相等的二條邊或二個(gè)角。從而為證明全等三角形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件。8.計(jì)算數(shù)值法：遇到等腰直角三角形，正方形時(shí)，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常計(jì)算邊的長度與角的度數(shù)，這樣可以得到在數(shù)值上相等的二條邊或二個(gè)角，從而為證明全等三角形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件。常見輔助線的作法有以下幾種：最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間的相等，二個(gè)角之間的相等。1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”法構(gòu)造全等三角形2) 遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)” 法構(gòu)造全等三角形3) 遇到角平分線在三種添輔助線的方法，（1）可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理（2）可以在角平分線上的一點(diǎn)作該角平分線的垂線與角的兩邊相交，形成一對(duì)全等三角形。（3）可以在該角的兩邊上，距離角的頂點(diǎn)相等長度的位置上截取二點(diǎn)，然后從這兩點(diǎn)再向角平分線上的某點(diǎn)作邊線，構(gòu)造一對(duì)全等三角形。4) 過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5) 截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目6) 已知某線段的垂直平分線，那么可以在垂直平分線上的某點(diǎn)向該線段的兩個(gè)端點(diǎn)作連線，出一對(duì)全等三角形。特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來，利用三角形面積的知識(shí)解答一、倍長中線（線段）造全等例1、（“希望杯”試題）已知，如圖ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_.解：延長AD至E使AE2AD，連BE，由三角形性質(zhì)知AB-BE 2ADAB+BE 故AD的取值范圍是1AD4例2、如圖，ABC中，E、F分別在AB、AC上，DEDF，D是中點(diǎn)，試比較BE+CF與EF的大小.解：(倍長中線,等腰三角形“三線合一”法)延長FD至G使FG2EF，連BG，EG,顯然BGFC，在EFG中，注意到DEDF，由等腰三角形的三線合一知EGEF在BEG中，由三角形性質(zhì)知EGBG+BE 故：EFBE+FC例3、如圖，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分BAE. 解：延長AE至G使AG2AE，連BG，DG,顯然DGAC， GDC=ACD由于DC=AC，故 ADC=DAC在ADB與ADG中， BDAC=DG，ADAD，ADB=ADC+ACD=ADC+GDCADG故ADBADG，故有BAD=DAG，即AD平分BAE二、截長補(bǔ)短1、如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CDAC解：（截長法）在AB上取中點(diǎn)F，連FDADB是等腰三角形，F(xiàn)是底AB中點(diǎn)，由三線合一知DFAB，故AFD90ADFADC（SAS）ACDAFD90即：CDAC2、如圖，ADBC，EA,EB分別平分DAB,CBA，CD過點(diǎn)E，求證;ABAD+BC解：（截長法）在AB上取點(diǎn)F，使AFAD，連FEADEAFE（SAS）ADEAFE，ADE+BCE180AFE+BFE180故ECBEFBFBECBE（AAS）故有BFBC從而;ABAD+BC3、如圖，已知在ABC內(nèi)，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP解：（補(bǔ)短法, 計(jì)算數(shù)值法）延長AB至D，使BDBP，連DP在等腰BPD中，可得BDP40從而BDP40ACPADPACP（ASA）故ADAC又QBC40QCB 故 BQQCBDBP從而BQ+AQ=AB+BP4、如圖，在四邊形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分，求證： 解：（補(bǔ)短法）延長BA至F，使BFBC，連FDBDFBDC（SAS）故DFBDCB ，F(xiàn)DDC又ADCD故在等腰BFD中DFBDAF故有BAD+BCD1805、如圖在ABC中，ABAC，12，P為AD上任意一點(diǎn)，求證;AB-ACPB-PC解：（補(bǔ)短法）延長AC至F，使AFAB，連PDABPAFP（SAS）故BPPF由三角形性質(zhì)知PBPCPFPC BF=BA+AF=BA+AC從而PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+AC+BC=PA例2 如圖，在ABC的邊上取兩點(diǎn)D、E，且BD=CE，求證：AB+ACAD+AE.證明：取BC中點(diǎn)M,連AM并延長至N,使MN=AM,連BN,DN. BD=CE,DM=EM,DMNEMA(SAS),DN=AE,同理BN=CA.延長ND交AB于P,則BN+BPPN,DP+PAAD,相加得BN+BP+DP+PAPN+AD,各減去DP,得BN+ABDN+AD,AB+ACAD+AE。四、借助角平分線造全等1、如圖，已知在ABC中，B=60，ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)O，求證：OE=OD，DC+AE =AC證明L(角平分線在三種添輔助線,計(jì)算數(shù)值法)B=60度,則BAC+BCA=120度;AD,CE均為角平分線,則OAC+OCA=60度=AOE=COD;AOC=120度.在AC上截取線段AF=AE,連接OF.又AO=AO;OAE=OAF.則OAEOAF(SAS),OE=OF;AE=AF; AOF=AOE=60度.則COF=AOC-AOF=60度=COD;又CO=CO;OCD=OCF.故OCDOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如圖，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的長.解：(垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端)連接BD，DCDG垂直平分BC，故BDDC由于AD平分BAC， DEAB于E，DFAC于F，故有EDDF故RTDBERTDFC（HL）故有BECF。AB+AC2AEAE（a+b）/2BE=(a-b)/2應(yīng)用：1、如圖，OP是MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；(第23題圖)OPAMNEBCDFACEFBD圖圖圖（2）如圖，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請(qǐng)問，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由。解：（1）FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系為（2）答：（1）中的結(jié)論仍然成立。證法一：如圖1，在AC上截取，連結(jié)FG ，AF為公共邊，F(xiàn)BEACD圖 12143G， ，AD、CE分別是、的平分線及FC為公共邊證法二：如圖2，過點(diǎn)F分別作于點(diǎn)G，于點(diǎn)H FBEACD圖 22143HG，AD、CE分別是、的平分線可得，F(xiàn)是的內(nèi)心，又 可證 有等腰三角形時(shí)常用的輔助線作頂角的平分線，底邊中線，底邊高線例：已知，如圖，AB = AC，BDAC于D，求證：BAC = 2DBC證明：（方法一）作BAC的平分線AE，交BC于E，則1 = 2 = BAC又AB = ACAEBC2ACB = 90oBDACDBCACB = 90o2 = DBCBAC = 2DBC（方法二）過A作AEBC于E（過程略）（方法三）取BC中點(diǎn)E，連結(jié)AE（過程略）有底邊中點(diǎn)時(shí)，常作底邊中線例：已知，如圖，ABC中，AB = AC，D為BC中點(diǎn)，DEAB于E，DFAC于F，求證：DE = DF證明：連結(jié)AD.D為BC中點(diǎn)，BD = CD又AB =ACAD平分BACDEAB，DFACDE = DF將腰延長一倍，構(gòu)造直角三角形解題例：已知，如圖，ABC中，AB = AC，在BA延長線和AC上各取一點(diǎn)E、F，使AE = AF，求證：EFBC證明：延長BE到N，使AN = AB,連結(jié)CN,則AB = AN = ACB = ACB, ACN = ANCBACBACNANC = 180o2BCA2ACN = 180oBCAACN = 90o即BCN = 90oNCBCAE = AFAEF = AFE又BAC = AEF AFEBAC = ACN ANCBAC =2AEF = 2ANCAEF = ANCEFNCEFBC常過一腰上的某一已知點(diǎn)做另一腰的平行線例：已知，如圖，在ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延長線上，且BD = CE，連結(jié)DE交BC于F求證：DF = EF證明：（證法一）過D作DNAE，交BC于N，則DNB = ACB，NDE = E，AB = AC，B = ACBB =DNBBD = DN又BD = CE DN = EC在DNF和ECF中1 = 2NDF =EDN = EC DNFECFDF = EF（證法二）過E作EMAB交BC延長線于M,則EMB =B（過程略）常過一腰上的某一已知點(diǎn)做底的平行線例：已知，如圖，ABC中，AB =AC，E在AC上，D在BA延長線上，且AD = AE，連結(jié)DE求證：DEBC證明：（證法一）過點(diǎn)E作EFBC交AB于F，則AFE =BAEF =CAB = ACB =CAFE =AEFAD = AEAED =ADE又AFEAEFAEDADE = 180o2AEF2AED = 90o 即FED = 90o DEFE又EFBCDEBC（證法二）過點(diǎn)D作DNBC交CA的延長線于N，（過程略）（證法三）過點(diǎn)A作AMBC交DE于M，（過程略）常將等腰三角形轉(zhuǎn)化成特殊的等腰三角形-等邊三角形例：已知，如圖，ABC中，AB = AC，BAC = 80o ,P為形內(nèi)一點(diǎn)，若PBC = 10o PCB = 30o 求PAB的度數(shù).解法一：以AB為一邊作等邊三角形，連結(jié)CE則BAE =ABE = 60oAE = AB = BEAB = ACAE = AC ABC =ACBAEC =ACEEAC =BACBAE = 80o 60o = 20oACE = (180oEAC)= 80ACB= (180oBAC)= 50oBCE =ACEACB = 80o50o = 30oPCB = 30oPCB = BCEABC =ACB = 50o, ABE = 60oEBC =ABEABC = 60o50o =10oPBC = 10oPBC = EBC在PBC和EBC中PBC = EBCBC = BCPCB = BCEPBCEBCBP = BEAB = BEAB = BPBAP =BPAABP =ABCPBC = 50o10o = 40oPAB = (180oABP)= 70o解法二：以AC為一邊作等邊三角形，證法同一。解法三：以BC為一邊作等邊三角形BCE，連結(jié)AE,則EB = EC = BC，BEC =EBC = 60oEB = ECE在BC的中垂線上同理A在BC的中垂線上EA所在的直線是BC的中垂線EABCAEB = BEC = 30o =PCB由解法一知：ABC = 50oABE = EBCABC = 10o =PBCABE =PBC,BE = BC,AEB =PCBABEPBCAB = BP BAP =BPAABP =ABCPBC = 50o10o = 40oPAB = (180oABP) = (180o40o)= 70o 1. 如圖，求ABCDE的度數(shù)。 解：連結(jié)CDECDBDC=BE=180BOE=180CODABACEADBE=AECDBDCACEADB=A（ECDACE）（BDCADB）=AACDADC=180 2. 如圖，已知在ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且