2一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì).doc

2一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)教學(xué)目的與要求：掌握一致收斂函數(shù)列的連續(xù)性、可積性、可微性以及函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的連續(xù)性、可積性、可微性等。教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)：一致收斂函數(shù)列的連續(xù)性、可積性、可微性以及函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的連續(xù)性、可積性、可微性等。教學(xué)內(nèi)容：本節(jié)討論由函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)所確定的函數(shù)的連續(xù)性、可積性、可微性.定理13.8 設(shè)函數(shù)列在上一致收斂于，且對，則、均存在且相等，即 。（即在一致收斂的條件下兩種極限可換序）證明: 先證是收斂數(shù)列. 對任意, 由于一致收斂, 故有 當(dāng)和任意正整數(shù), 對一切有 (1) 從而 這樣由柯西準(zhǔn)則可知是收斂數(shù)列.設(shè) . 再證 .由于一致收斂于及收斂于, 因此對任意, 存在正數(shù) 當(dāng)時(shí), 對一切有 和 同時(shí)成立. 特別取 有 和 又, 故存在, 當(dāng)時(shí), 從而, 當(dāng)滿足時(shí), ,即. 這個(gè)定理指出: 在一致收斂的條件下, 中兩個(gè)獨(dú)立變量與, 在分別求極限時(shí)其求極限的順序可以交換, 即 (2) 類似地, 若函數(shù)列在上一致收斂且(或)存在，則可推得(或 ). 由定理13.8可得到以下定理.定理13.9（連續(xù)性）若函數(shù)列在區(qū)間I上一致收斂于，且對，在I上連續(xù)，則其極限函數(shù)在I上也連續(xù). 證明: 設(shè)為上任意一點(diǎn), 由于, 于是由定理13.8知亦存在, 且 因此在連續(xù).注：若各項(xiàng)為連續(xù)函數(shù)的函數(shù)列在區(qū)間I上其極限函數(shù)不連續(xù)，則此函數(shù)列在區(qū)間I上不一致收斂. 例如：函數(shù)列的各項(xiàng)在上都是連續(xù)的, 但其極限函數(shù)在時(shí)不連續(xù)，從而推得在上不一致收斂.定理13.10（可積性）若函數(shù)列在上一致收斂，且每一項(xiàng)都連續(xù)，則 . (3)證明: 設(shè)為函數(shù)列在上的極限函數(shù). 由定理13.9, 在上連續(xù), 從而與在上都可積. 因?yàn)楹瘮?shù)列在上一致收斂于, 故對任意, 存在正數(shù) 當(dāng)時(shí), 對一切, 都有 再根據(jù)定積分的性質(zhì), 當(dāng)時(shí)有 這就證明了等式(3).注1：該定理指出：在一致收斂的條件下，極限運(yùn)算與積分運(yùn)算可以交換順序；注2：一致收斂只是這兩種運(yùn)算換序的充分條件，而并非必要條件。如下面的：例1 設(shè)函數(shù) ，. 顯然是上連續(xù)函數(shù)列, 且對任意, 又因此在上一致收斂于0的充要條件是由于 因此的充要條件是 這樣當(dāng)時(shí), 雖然不一致收斂于, 但定理13.10的結(jié)論仍成立. 但當(dāng)時(shí), 不一致收斂于,且 也不收斂于定理13.11（可微性）設(shè)為定義在上的函數(shù)列，若為的收斂點(diǎn)，的每一項(xiàng)在上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且在上一致收斂，則 . (4)證明: 設(shè) . 我們要證明函數(shù)列在上收斂，且其極限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在且等于.由定理?xiàng)l件, 對任一, 總有 .當(dāng)時(shí), 右邊第一項(xiàng)極限為, 第二項(xiàng)極限為, 所以左邊極限存在, 記為, 則有 , 其中. 由的連續(xù)性及微積分學(xué)基本定理推得 . 這就證明了等式(4).注1：在該定理的條件下可以證明在區(qū)間上一致收斂；注2：該定理指出：在一致收斂的條件下，求導(dǎo)運(yùn)算與極限運(yùn)算可以交換順序；注3：一致收斂只是這兩種運(yùn)算換序的充分條件，而并非必要條件。如：例2 設(shè)函數(shù)列 ，. 在上都收斂于, 由于 , 所以導(dǎo)函數(shù)列在上不一致收斂,但有 現(xiàn)在討論定義在區(qū)間上函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) (5)的連續(xù)性，逐項(xiàng)求積與逐項(xiàng)求導(dǎo)的性質(zhì)，它們都可由函數(shù)列的相應(yīng)性質(zhì)推出.定理13.12（連續(xù)性）若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂，且每一項(xiàng)都連續(xù)，則其和函數(shù)也在區(qū)間上連續(xù)。注：在一致收斂的條件下，求和運(yùn)算與求極限運(yùn)算可以交換順序，即 。定理13.13（逐項(xiàng)求積）若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂，且每一項(xiàng)都連續(xù)，則 .注：即在一致收斂的條件下，求（無限項(xiàng)）和運(yùn)算與積分運(yùn)算可以交換順序.定理13.14（逐項(xiàng)求導(dǎo)）若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上每一項(xiàng)都有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)，且在區(qū)間上一致收斂，則 .注：即在一致收斂的條件下，求（無限項(xiàng)）和運(yùn)算與求導(dǎo)運(yùn)算可以交換順序。 最后，我們指出，本節(jié)中六個(gè)定理的意義不只是檢驗(yàn)函數(shù)列或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是否滿足關(guān)系式（2）-（4），（6）-（8），更重要的是根據(jù)定理的條件，即使沒有求出極限函數(shù)或和函數(shù)，也能由函數(shù)列或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)本身獲得極限函數(shù)或和函數(shù)的解析性質(zhì)。例3 設(shè) ，. 證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂，并討論其和函數(shù)在的連續(xù)性、可積性與可微性.證明： 對每一個(gè)， 易見為上增函數(shù)， 故有 又當(dāng)時(shí)， 有不等式 所以 以收斂級(jí)數(shù)為的優(yōu)級(jí)數(shù)， 推得在上一致收斂.由于每一個(gè)在上連續(xù), 根據(jù)