一元二次方程根與系數關系 (5).doc

22.2.4 根與系數的關系（課案：教師用）一、教學目標:1.知識與技能:掌握一元二次方程的根與系數之間的關系以及根的判別式的綜合運用。2.過程與方法:經歷由公式法推導一元二次方程根與系數的過程，理解一元二次方程的根與系數之間的關系，并利用此關系解題。3.情感、態(tài)度與價值觀：在由公式法推導一元二次方程根與系數的關系的過程中，發(fā)展觀察、分析、發(fā)現問題的能力。二、學情分析：三、教學重點：根與系數的關系的應用難點：根與系數的關系和根的判別式的綜合應用突破難點的關鍵：鼓勵學生動手操作，主動探索和討論交流。突破方法：通過活動一中的復習引入得出一元二次方程的根與系數的關系，通過例1運用根與系數的關系解題突出本課的重點。通過例2運用根據系數的關系求待定系數的值，突破本課的難點，通過跟蹤訓練加強根與系數的應用的理解。四、教學方法：采用“探究發(fā)現應用”的教學過程，鼓勵學生動腦、動口、動手參與教學活動，感悟知識的形成過程，充分調動學生學習的積極性、主動性。學習方法：合作交流性學習，探究性學習，概括性學習等方法五、教師的準備：制作活動一、活動二、活動三中問題的幻燈片學生的準備：復習一元二次方程的求根公式，及一元二次方程的解法。六、教學過程【課前預習】課本P40P41【課內探究】復習引入：方程的求根公式。問題：解方程求出兩個解、，并計算兩個解的和與積，填入下表方程.關于x的方程（、為常數，且）（2）觀察表格中方程兩個解的和、兩個解的積與原方程的系數之間的關系有什么規(guī)律?寫出你的結論.分析：這是一道探究一元二次方程根與系數關系的問題，探究性問題為學生提供了廣闊的思維空間，有利于調動學生的創(chuàng)新意識和探究興趣，成為近幾年中考的熱點題型之一。首先要根據題意求出已知方程的解，再根據得出的規(guī)律，【解】（1） ， ， 0， ； ， 0， ， 0； 2， 1， 3， 2； ， . （2）已知：和是方程的兩個根，那么， . 【點評】探究型問題是指命題中缺少一定的條件或無明確的結論，需要經過推斷、補充并加以證明的題型，探究性問題一般分為三類：1、條件探究型題；2、結論探究型題；3、探究存在型題。條件探究型題是指所給問題中結論明確，需要完備條件的題目；結論探究型題是指題目中結論不確定，不唯一，或題目結論需要類比、引申推廣，或題目給出條件，要通過歸納總結出一般結論，探究存在型題目是指在一定的前提下，需探究發(fā)現某種數學關系是否存在的題目。這類問題具有較強的綜合性，涉及的數學基礎知識較為廣泛，既能考查學生對基礎知識掌握的熟練程度，又能考查學生的觀察、分析、概括能力，能從具體、特殊的事實中探究其存在的規(guī)律，把潛在藏在表面現象中的一般規(guī)律挖掘出來。 注：牢記利用一元二次方程的根與系數關系的前提條件必須滿足，用根與系數的關系求出一元二次方程中待定的常數的值后，一定要把待定的常數的值代入，使的值保留，使的值舍去?！净顒佣坷?.根據一元二次方程的根與系數的關系，求下列方程兩根的和與積。（1）； （2）（3） （4）（5） （6）分析：不是一般形式的先化成一般形式，再運用根與系數的關系，即公式：， 代入進行計算。例2：已知關于x的方程。（1）求證：此方程一定有兩個不相等的實數根。（2）若是方程的兩個實數根，且，求k的值。分析：（1）要證方程有兩個不相等的實數根，即證0.只需將方程中二次項、一次項的系數代入進行化簡、驗證即可。（2）要求k的值，必須先將化簡，變形可得：，再將，代入上式，可得2k-1+2(4k+1)+4=2k-3，求出此一元一次方程的解即可。跟蹤訓練：1.課本P42練習，P43習題22.2第7題。2.已知關于x的一元二次方程（1）求證：方程有兩個不相等的實數根。（2）設方程的兩根分別為，且滿足，求k的值?！净顒尤克季S拓展：例3：已知是關于x的一元二次方程的兩個實數根，且。（1）求k的值；（2）求的值。分析：本題很多同學拿到題目首先就運用根與系數的關系和式子求出k的值。再將k的值代入原方程，根據根與系數的關系解決第（2）問。事實上，本題有一個隱含條件，即方程有兩個實數根，根據這個條件，首先應該求出k的取值范圍，然后根據求出k的值，取符合k取值范圍的k的值，再解決其他問題。八、課堂作業(yè)：1.設是方程的兩個根，利用根與系數的關系，求下列各式的值。（1）；（2）2.已知是方程的兩個實數根，則=_.3.設是關于x的一元二次方程的兩個實數根，且，0,則（ ）A. B. C. D.【課后延伸】已知是方程的兩個根，求的值。九、教學反思：通過這節(jié)課的學習，可以發(fā)現：合作探究性的學習是有利于我學習好數學知識的，其實數學學習是一個由淺入深、由簡到繁、環(huán)環(huán)相扣，不斷深入性的過程。通過啟發(fā)學生思考，歸納總結所學知識，讓學生更加明確本節(jié)課的知識點。同時也培養(yǎng)和鍛煉學生的語言表述能力，增強了學生學習數學的信心。十、教后反思：22.2.4一元二次方程的根與系數的關系習題核心知識掃描一元二次方程（a0），當時，方程有實數根，設這兩個實數根分別為，這兩個根與系數的關系：。知識點全面突破知識點：一元二次方程根與系數的關系一元二次方程根與系數的關系是一個定理，是法國數學家韋達研究和推廣的，所以又把這個定理叫做“韋達定理”. 【易錯警示】：一元二次方程根與系數的關系成立的條件：（1）a0；（2）。在解決有關字母的取值范圍的問題時，一定要先考慮這兩個條件。例：已知是關于的一元二次方程的兩個不相等的實數根（1）求的取值范圍；（2）是否存在這樣的實數，使成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由解：（1）由題意知，且,且（2）存在又，解得，（不符合題意，舍去）存在滿足條件的值，即點撥：（1）由于該方程有兩個不相等的實數根，因此該方程根的判別式的值大于零，從而列出一個關于k的一元一次不等式，從而求出k的取值范圍；（2）用含k的代數式表示和的值，然后代入，求出k的值.高效解題提升提升點：根與系數的關系的綜合運用例1. （2008年南通市）設、是關于x的一元二次方程x2xn2mx的兩個實數根，且0，30，則（ ）A B C D答案：C點撥：m1，n20，30，00，m1，n2m10，n20分層實戰(zhàn)1.已知一元二次方程x22x7=0的兩個根為x1、x2，則x1x2的值是（ ）（知識點） A2 B2 C7 D72. 若是方程的兩個實數根，則的值為（ ）（知識點）A2005 B2003 C2005 D40103. 若、是一元二次方程的兩根，則的值是（ ）（知識點）A B C D4.（2010年包頭市）關于的一元二次方程的兩個實數根分別是，且，則的值是（ ）（提升點）A1 B12 C13 D255.（2010江蘇南通）設x1、x2 是一元二次方程x2+4x3=0的兩個