模糊數(shù)學(xué)精品講義-模糊關(guān)系與聚類分析1

1 3.6 模糊關(guān)系與聚類分析 3.6.1 經(jīng)典關(guān)系 “ 關(guān)系 ” 是一個普遍使用的 ， 又是很重要的概念 。例如父子關(guān)系 、 兄弟關(guān)系 、 朋友關(guān)系 、 大小關(guān)系 、從屬關(guān)系 、 買賣關(guān)系 、 供求關(guān)系 、 合作關(guān)系等等 ，他表示了事務(wù)之間的某種聯(lián)系 。 在數(shù)學(xué)上 ， 關(guān)系有嚴格的定義 。 2 定義 3.6.1 設(shè) X、 Y 為兩個非空集合， XY 為 X 與 Y 的笛氏積，即 XY= (x, y) | x X， y Y 。 若有 R XY （ 即 RP ( XY )， 則稱 R 為 X 到 Y 的二元關(guān)系 ，簡稱 關(guān)系 。對于任何一個 (x, y) X Y， 若 (x, y)R， 則稱 x 與 y 具有關(guān)系 R， 記作 xRy； 若 (x, y)R， 則稱 x 與 y 不具有關(guān)系 R， 記作 。 若 X = Y， R 是從 X 到 Y 的關(guān)系，則可稱 R 是 X 上的關(guān)系 。 yRx3 例 3.6.1 設(shè) X、 Y 是實數(shù)集， R 是 X 上的“大于”關(guān)系，即 xRy x y 或 R = (x， y) x， y 為實數(shù)，且 x y ， 亦即 R 是坐標平面上直線 y = x 下方 （ 不含直線上的點 ） 那部分平面的點集（圖 3.34） 4 圖 3.34 關(guān)系 x y x y 0 R 5 從 X 到 Y 的關(guān)系 R 是論域 X Y 的經(jīng)典子集 。 所以經(jīng)典集的并 、 交 、 補運算及其性質(zhì) ， 以及經(jīng)典集的特征函數(shù)表示法 ，對 R 當然適用 。 6 若 X 與 Y 之間有一規(guī)則 R， 使得 xX， 按規(guī)則 R 唯一地與 yY 對應(yīng) ， 則 R 決定了從 X 到 Y 的映射 R: XY x | R(x) = y， (x, y)R 由此可見， 映射中的規(guī)則 R，就是 X 到 Y 的關(guān)系 R。 7 例 3.6.2 設(shè)有四個學(xué)生甲 、 乙 、 丙 、 丁 ， 用優(yōu) 、 良 、 差來衡量他們的學(xué)習(xí)成績 。 若作出兩個集合 X =甲 ， 乙 ， 丙 ， 丁 ， Y =優(yōu) ， 良 ， 差 ， 再作其直積 （ 笛氏積 ） X Y = (甲，優(yōu) )， (甲，良 )， (甲，差 )， (乙，優(yōu) )， (乙，良 )， (乙，差 )， (丙，優(yōu) )， (丙，良 )， (丙，差 )， (丁，優(yōu) )， (丁，良 )， (丁，差 ) 8 如果已知甲的成績是優(yōu) ， 乙和丙的成績是良 ，丁的成 績是差 ， 則 R = (甲，優(yōu) )， (乙，良 )， (丙，良 )， (丁，差 ) 就是 X 與 Y 之間的一個關(guān)系，即 R XY， 它表示了甲、乙、丙、丁四個學(xué)生與其成績的對應(yīng)關(guān)系，所以這個關(guān)系也是一個映射。如圖 3.35 所示 9 甲 乙 丙 丁 優(yōu) 良 差 圖 3.35 關(guān)系也是映射 10 關(guān)系也可以用表格表示 ，如表 3.8 y R x 優(yōu) 良 差 甲 乙 丙 丁 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 表 3.8 學(xué)習(xí)成績關(guān)系表 11 表中 “ 1” 表示 (x, y)R， “ 0” 表示 (x, y)R。 如(甲，優(yōu) ) R， 則在相應(yīng)的位置上寫上 “ 1”； 又 如(甲，良 ) R， 則在相應(yīng)的位置上寫上 “ 0”。 表 3.8 的形式 可以 更簡潔地 用矩陣形式表示 ： .100010010001R12 稱為 關(guān)系矩陣 。它的一般形式為 1.6.3.212221121121mnijnmnnmmrrrrrrrrrrR其中 rij= 0 或 1， i =1， 2， ， n， j =1， 2， ， m。 13 經(jīng)典關(guān)系可以用特征函數(shù)來表示。 定義 3.6.2 若 RP (XY) , 則其特征函數(shù)表示如下 當 X =x1, x2, , xn， Y = y1, y2, , ym， 則二元關(guān)系 R 的特征函數(shù)組成一個 布爾矩陣 （ 矩陣中的元素或者為 0， 或者為 1） ，如 （ 3.6.1） 式所示。但 .,0,1,RyxRyxyxR14 其中的元素 rij 如下選?。?定義 3.6.3 設(shè) R 是 X 到 Y 的關(guān)系 ， 令 R-1= (y， x)Y X | (x， y)R , (3.6.2) 則 R-1 是 Y 到 X 的關(guān)系 ， 稱 R-1 為 R 的 逆關(guān)系 。 .,0,1RyxRyxrjijiij15 定義 3.6.4 設(shè) R 是 X 到 Y 的關(guān)系 ， Q 是 Y 到 Z 的關(guān)系 ， 令 （ 3.6.3） 則 RQ 是 X 到 Z 的關(guān)系，稱為 R 與 Q 的合成 （或復(fù)合）關(guān)系（參見圖 3.36）。 ),(),(),( QzyRyxYyZXzxQR 且使16 若用特征函數(shù)來表示合成運算，則有 因而有 .1),(),(1),)( zyQyxRYyzxQR 使 4.6.3.),(),(),)( zyQyxRzxQR Yy 17 例 3.6.3 圖 3.36 所示之例，用特征矩陣寫出有 4321321100010001010xxxxRyyy32121101001yyyQzzX Y Z x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 z1 z2 圖 3.36 合成關(guān)系 QR18 從圖 3.36 直接可以看出 由 (3.6.4) 式也可以計算出 (RQ) (x, z)。 這里和普通矩陣的乘法運算類似，只要用 “ ” 代替 “ ”， 用 “ ” 代替 “ +” 便可 。 易知，計算的結(jié)果與直接觀察的結(jié)果是相同的。 43212110100110),)(xxxxzxQRzz19 定義 3.6.5 設(shè) R 是 X 上的經(jīng)典關(guān)系，則有如下定義： 稱 R 是自反的 xX， (x, x) R。 稱 R 是對稱的 若 (x, y) R， 則 (y, x) R 。 稱 R 是傳遞的 若 (x, y) R， (y, z) R 則 (x, z) R。 稱 R 是 X 上的 等價關(guān)系 R 是 X 上的一個自反、對 稱 和傳遞的關(guān)系。 20 若 R 是 X 上的一個等價關(guān)系， xX， 稱 Rx = y X | (x， y) R (3.6.5) 為以 x 為代表的 R 的 等價類 。 顯然，等價類滿足： (1) X = xX Rx； (2) 若 RxRy， 則 RxRy = 。 21 我們將全體等價類的集合 X / R = Rx | xX (3.6.6) 稱為 X 的關(guān)于 R 的 商集 。顯然， X / R 是集合的集合。 22 例 3.6.4 設(shè) X 為整數(shù)集，令 R = (x， y) X X | (x y) 可被 3 整除 , 則 R 是 X 上的等價關(guān)系，且 xX， R0 = R3 = R3x = , -6, -3, 0, 3, 6, , R1 = R3x+1 = , -5, -2, 1, 4, 7, , R2 = R3x+2 = , -4, -1, 2, 5, 8, , 即 X 的（模） R 的等價類只有三個： 23 一個是所有 3 的倍數(shù)的整數(shù)集； 一個是所有形如 3 的倍數(shù) +1 的整數(shù)組成的集； 再一個就是所有形如 3 的倍數(shù) +2 的整數(shù)組成的集。因此， X 的（ 模） R 的商集只有三個元素： X / R = R0， R1， R2 。 24 定義 3.6.6 設(shè) A = At | tT 是 X 上的一個子集族 ，若它滿足以下三個條件 ， 則稱 At | tT 為 X 的一個 劃分 (分類 )： (1) At A ， At ， 即每類不空； (2) 若 At， As A , At As 則 At As = ， 即不同類不相交； (3) ， 即 X 的每一元素必屬于一類而且只屬于一類 。 XA tTt25 命題 3.6.1 設(shè) R 是 X 上的等價關(guān)系 ， 則 X / R 構(gòu)成 X 的一個劃分 ， 并稱為由等價關(guān)系 R 誘導(dǎo)的劃分 。 證明 (1) 先證每類不空 。 因 R 具有自反性 ， 故有 xRx， 從 而 xR x = At， 即 At 。 (2) 次證不同類不相交。設(shè) At = R x， As = R y , 且 At As， 若 At As ， 取 zAt As， 則 xRz 且 yRz則由傳遞性可知，有 xRy。 由于 x、 y 是任意 的，于是有 R x = R y ， 與假設(shè)矛盾，故 At As = 。 26 (3) 最后證 。一方面， xX, xRx ，即 另一方面，顯然有 因此有 綜上所述， X / R 構(gòu)成 X 的一個劃分。 命題 3.6.2 設(shè) A = At | tT 為 X 上的一個劃分，則 A 決定了 X 上的一個等價關(guān)系 R ，并且 X / R = A 。 XA tTt tTtA .tTX R x U ,tTR x XU tt T t TX R x AUU27 證明 在 X 上規(guī)定一個關(guān)系 R ： xRy tT, x, y At , 可證 R 是 X 上的一個等價關(guān)系。 (1)xX, 因 A 是劃分，故 tT， 使 xAt ， 故 xRx。 (2) x， yX， 若 xRy， 則 tT， 使 x， y At， 即 y, x At， 從而 yRx。 (3) 若 xRy、 yRz， 則 t, sT， 使 x， y At， y， z As，因此 yAt As， 故 At As 。 由定義 3.6.6 可知 At = As， 這意味著 x， z At， 即 xRz。 28 例 設(shè) X=某校全體學(xué)生 ， R1 是同年級關(guān)系， R2 是同性別關(guān)系。顯然， R1， R2 都是 X 上的等價關(guān)系。 R1 把 X 劃分為各個不同的年級： X = X1， X2， X3， X4 ， 其中 Xi 表示 i 年級 （ i = 1， 2， 3， 4）。 R2 把 X 劃分成男生集合與女生集合： X = 男生集合 ， 女生集合 。 29 定義 設(shè) R 是 X 上的一個經(jīng)典關(guān)系，如果 R 是自反的和對 稱 的，則稱 R 是 X 上的 相似關(guān)系 。 例如，合作關(guān)系、朋友關(guān)系都是相似關(guān)系。 若 R 是 X 上的一個相似關(guān)系， xX， 稱 Rx = y X | (x， y)R 為以 x 為代表的 R 的 相似類 。 30 顯然，相似類滿足： X = xX Rx。 但是，當 RxRy 時， 可能有 RxRy 。 這是因為相似關(guān)系可能不滿足傳遞性。 31 例 設(shè) X =1244， 157， 287， 456， 690。 定義在 X 上的關(guān)系 R = (x， y) X X | x 與 y 有相同的數(shù)字 ,則 R 是 X 上的相似關(guān)系 ，其對應(yīng)的 相似矩陣為 .1100011011001110111101111R32 R1244 = 1244， 157， 287， 456， R157 = 1244， 157， 287， 456， R287 = 1244， 157， 287， R456 = 1244， 157， 456， 690， R690 = 456， 690。 可以看出，雖然 R287R456，但是 R287R456 = 1244， 157 。 33 3.6.2 模糊關(guān)系的基本概念 經(jīng)典關(guān)系只能說明元素之間關(guān)系的有無?，F(xiàn)實世界的關(guān)系不是簡單的有無，而是有不同程度的相關(guān)性質(zhì)。例如家庭成員之間相貌相似的關(guān)系，就不是簡單的相似或不相似，而是有不同的相似程度。反映這種性質(zhì)的關(guān)系就是模糊關(guān)系。 34 定義 3.6.7 設(shè) X、 Y 為兩個論域。 X Y 中的任何一個模糊集 RF ( XY ) 都稱為 X 與 Y 之間的模糊關(guān)系 ，即 R: X Y 0， 1 , (x， y) | R (x， y) , 其中 R (x， y) 稱為 x 與 y 關(guān)于 R 的 關(guān)系強 (程 )度 。 當 X = Y 時，稱 R 為 X 上的模糊關(guān)系 。 35 例 3.6.5 醫(yī)學(xué)上常用 體重 (kg) = 身高 (cm) 100 描述標準體重。這實際上給出了身高 (論域 X ) 與體重 (論域 Y ) 的普通關(guān)系。若 X = 140, 150, 160, 170, 180 ， Y = 40， 50， 60， 70， 80 ， 則普通關(guān)系由表 3.9 給出。它的關(guān)系矩陣是個布爾矩陣 36 yi R(xi, yj) x 40 50 60 70 80 140 150 160 170 180 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 表 3.9 體重與身高的普通關(guān)系 1000001000001000001000001R37 人有胖瘦不同，所以大部分人并非嚴格是標準情況，而是與標準情況有不同的接近程度，顯然這更能完整、全面地描述身高與體重的關(guān)系，如表 3.10 所示 yi R(xi, yj) x 40 50 60 70 80 140 150 160 170 180 1 0.8 0.2 0.1 0 0.8 1 0.8 0.2 0.1 0.2 0.8 1 0.8 0.2 0.1 0.2 0.8 1 0.8 0 0.1 0.2 0.8 1 表 3.10 體重與身高的模糊關(guān)系 38 當 (x， y) = (170， 60) 時， R(x， y) = 0.8； 當 (x， y) = (180， 50) 時， R(x， y) = 0.1。 這說明身高 1.7 m 與體重 60 kg 的人與標準情況接近的程度為 0.8，或其關(guān)系強度為 0.8； 身高 1.8 m 與體重 50 kg 的人與標準情況接近的程度為 0.1 或其關(guān)系強度為 0.1。 39 這個模糊關(guān)系的矩陣形式如下： 18.02.01.008.018.02.01.02.08.018.02.01.02.08.018.001.02.08.01R40 一般地，對于有限論域 X = x1, x2, , xn，Y = y1, y2, , ym 之間的模糊關(guān)系 R 可用 n 行 m 列 （ 簡稱 nm 階 ） 的 模糊矩陣來表示 ： R = ( rij )nm , 其中 rij = R(xi, yj)， 0 rij 1， 或 nmnnnmmmrrrrrrrrrrrrrrrrR32133332312232221113121141 例 3.6.6 設(shè)有一組學(xué)生 X = 甲、乙、丙 ， 他們可以選學(xué) Y = 英、法、德、日 中任意幾門外語，他們的結(jié)業(yè)成績見表 3.11。 學(xué)生 語種 成績 甲 甲 乙 丙 丙 英 法 德 日 英 86 84 96 66 78 表 3.11 外語成績表 42 若把他們的分數(shù)除以 100， 則得 X 與 Y 之間的一個模糊關(guān)系 R， 見表 3.12. 它的矩陣形式為 R(x, y) 英 法 德 日 甲 乙 丙 0.86 0 0.78 0.84 0 0 0 0.96 0 0 0 0.66 表 3.12 模糊關(guān)系表 66.00078.0096.0000084.086.0R43 有限論域上的模糊關(guān)系除了可以用矩陣表示外 ， 還可以用模糊關(guān)系圖來表示 ， 如圖 3.37 所示 甲 乙 丙 英 法 德 日 0.86 0.84 0.78 0.96 0.66 圖 3.37 模糊關(guān)系圖 44 由于模糊關(guān)系是一種特殊的模糊集，即 X Y 上的模糊集，故其運算與模糊集的運算完全一致，即包含關(guān)系，恒等關(guān)系，并、交、補的運算都有相同的定義。模糊關(guān)系的運算符合冪等、交換、結(jié)合、吸收、分配、兩極、復(fù)原、對偶等規(guī)律，但不符合排中律。 R 的 截集 R 是 X 與 Y 之間的普通關(guān)系 ，前述的截集的性質(zhì)也完全適用于截關(guān)系。 45 000000000O1 0 0 1 1 10 1 0 1 1 1,0 0 1 1 1 1IE LLM M M M M MLL它們分別稱為 零矩陣 、 單位矩陣 和 全矩陣 。 記 46 R 的截關(guān)系 R 稱為 截矩陣 ，記為 其中 類似地 ， 也有 強截矩陣 的概念 。 8.6.3,212222111211nmnnmmrrrrrrrrrR 1 , ,3 . 6 . 90 , .ijijijrrr 47 正如普通關(guān)系的合成運算一樣 ， 模糊關(guān)系也有合成運算 。 定義 3.6.8 設(shè) X、 Y、 Z 是三個論域， QF ( XY ) , RF ( YZ )， 由 Q 與 R 作出一個新的模糊關(guān)系 Q R F ( XZ )， 稱為 Q 與 R 的 合成模糊關(guān)系 ，它的隸屬函 數(shù)規(guī)定為 )10.6.3(.),(),(),( zyRyxQzxRQ Yy 48 若 R 是 X 上的模糊關(guān)系 ， 則 R 與 R 也可以合成為 RR ， 記作 R2， 即 R2 = RR 。 顯然 R2 還是 X 上的模糊關(guān)系 。 R2 與 R 還可合成 R2R ， 記作 R3 ， R3 = R2R， ， 一般地 ， 有 Rn =Rn-1R, n = 2, 3, 。 49 當 X、 Y、 Z 為有限論域時 ， 即 X = x1, x2, , xn, Y = y1, y2, , ym ， Z = z1, z2, , zl ， 則 Q、 R、 S （ = Q R） 均可表示為矩陣形式： Q = (qij)nm , R = (rjk)ml , S = (sik)nl 其中 S 稱為 模糊矩陣 Q 與 R 的乘積 。 1. 3 . 6 1 1mi k i j j kjs q r 50 注： 若將 “ ” 換為 “ +”，將 “ ” 換為 “ ”，則模糊 矩陣的乘積與普通矩陣的乘積完全相同。 51 例 3.6.7 設(shè) 則 0 . 1 0 . 3 0 . 70 . 4 0 . 91 0 0 . 3, 0 . 8 0 . 1 ,0 . 2 0 10 . 3 0 . 70 . 6 0 . 4 0 . 8QR.7.04.07.03.09.04.07.03.0 RQS 52 命題 3.6.3 模糊關(guān)系的合成運算具有下列性質(zhì)： (1) 合成運算滿足結(jié)合律 ( Q R ) S = Q ( R S ) ， (3.6.12) 特別地 Rm Rn = Rm+n 。 (3.6.13) (2) 合成運算關(guān)于并 “ ” 滿足分配律 ( Q R ) S = ( Q S ) ( R S ) , (3.6.14) S ( Q R ) = ( S Q ) ( S R )。 (3.6.15) 53 證明 只證 (3.6.14)。設(shè) Q， RF (XY), SF (YZ), 故有 ( Q R ) S = ( Q S ) ( R S )。 zxSRSQzxSRzxSQzySyxRzySyxQzySyxRzySyxQzySyxRyxQzySyxRQzxSRQYyYyYyYyYy,54 第二式證明相似。 應(yīng)注意的是， 1) 合成運算不滿足交換律 ，即 Q R R Q。 如設(shè) 則 因此， Q R R Q。 ,0110,1001 RQ,1100,0011 QRRQ 55 2) 合成運算對交 “ ”不滿足分配律 ，即有下列二式： ( Q R ) S ( Q S ) ( R S ) , S ( Q R ) ( S Q ) ( S R )。 例如，設(shè) 則 ,1111,1110,0101 SRQ ,110011110100 SRQ56 因此 ( Q R ) S ( Q S ) ( R S )。 同樣可以舉出反例來說明第二個式子。 (3) R = R = , ( XY ) R = R ( XY ) = R 。 (3.6.16) (4) 若 Q R， 則 Q S R S ， P Q P R , Q n R n (3.6.17) ,111111111111 SRSQ57 定義 3.6.9 設(shè) RF ( XY ) ， 定義 R-1F ( Y X ) 的隸屬函數(shù)為 R-1( y， x) = R( x， y) ( ( y， x)Y X ), 稱 Y 到 X 的模糊關(guān)系 R-1 為 R 的 逆關(guān)系 。 命題 3.6.4 逆關(guān)系有下述性質(zhì)： 設(shè) R， R1， R2 F ( XY )， Rt | tT F ( XY ), S F ( YZ ) ,則 (1) 若 R1 R2 R1-1 R2-1 。 (2) ( R-1 )-1 = R。 58 推論 (1) 設(shè) R F ( X X )， 則 ( Rn )-1 = ( R-1 )n 。 (2) 設(shè) R， QF ( X X ) 且 R Q, 則 R - n Q - n ( n 為 正整數(shù) )。 （ 參 （ 3.6.17） 式 ） 1 1 1 1 11 2 1 21 1 1 1 11 2 1 21 113 , ( ) .4 , ( ) .5.ttt T t Tttt T t TR R R R R RR R R R R RR S S R U U U UI I I Ioo59 3.6.3 模糊等價關(guān)系 定義 3.6.10 設(shè) R F ( X X ) (1) 稱 R 是 自反的 xX， R(x, x) =1 。 (2) 稱 R 是 對稱的 x, y X ， R(x, y)= R(y, x) 。 (3) 若 R 是 X 上的自反、對稱關(guān)系，則稱 R 是 X 上的模糊相似關(guān)系，簡稱 相似關(guān)系 。 60 命題 3.6.5 設(shè) R F ( X X ) ， 則 (1) R 是自反的 I R。 (2) R 是自反的 Rn Rn+1( n 1) 且 Rn 也是自反的。 證明 (1) 顯然。 yxyxyxI,0,1,61 (2) 用歸納法證明包含式 Rn Rn+1。 (x, y) XX, 有 故 R R2。 設(shè) Rn-1 Rn， 由 （ 3.6.17） 式 可得 Rn-1 R Rn R , 即 Rn Rn+1 。 (3.6.18) 因 I R Rn ( n 1)， 由 (1)知 Rn 是自反的。 ,2yxRyxRxxRytRtxRyxRXt62 命題 3.6.6 設(shè) R， R1， R2 F ( X X )， 則有 (1) R 是對稱的 R = R-1 。 (2) 若 R1、 R2 都是對稱的，則 R1 R2 對稱 R1 R2 = R2 R1 ( 即 R1、 R2 是可以交換的 ）。 (3) R 是對稱的 Rn 是對稱的 ( n 1)。 證明 (1) 由對稱關(guān)系的定義可得。 63 (2) 先證 ()： 若 R1 R2 是對稱的，因 R1、 R2 也對稱，故 R1 R2 = (R1 R2)-1 = R2-1 R1-1= R2 R1 。 再證 ()： 若 R1 R2 = R2 R1 ， 則 (R1 R2)-1 = R2-1 R1-1 = R2 R1= R1 R2 由 (1) 知 ， R1 R2 是對稱的。 (3) 若 R 對稱，則由命題 3.6.4 推論 (1) 有 ( Rn )-1 = ( R-1 )n = Rn 。 由 (1) 知 ， Rn 是對稱的。 64 推論 (1) 若 R 是 X 上的相似關(guān)系，則 Rn 也是 X 上的相似關(guān)系。 (2) 設(shè) RF ( XX ) 是任一模糊關(guān)系，則 R R-1 是 X 上的對稱關(guān)系。 證明 因 (R R-1)-1 = ( R-1 )-1 R-1 = R R-1， 由命題 3.6.6 (1) 知 ， R R-1 是對稱的 。 65 定義 3.6.11 設(shè) R F ( X X )， 稱 R 為 傳遞的 0， 1， x， y， z X， 若 R(x, y) ， R(y, z) ，則 R(x, z) 。 命題 3.6.7 設(shè) R， R1， R2 F ( X X )， 則 (1) R 是傳遞的 R2 R。 (2) 若 R 是傳遞的 Rn 是傳遞的 ( n 1)。 (3) R1、 R2 是傳遞的 R1 R2 是傳遞的。 66 證明 (1) 先證 ()： 設(shè) x， yX， tX， 令 t = R(x, t) R(t, y) ， 則 R(x， t) t ， R(t， y) t 。 由于 R 是傳遞的 , 故R(x, y)t (tX)， 于是 yxRytRtxRyxR tXtXt,2 67 由 x， y 的任意性知 R2 R (3.6.19) 再證 ()： 若 R2 R 且 R(x， y) ， R(y， z) 于是 由定義 3.6.11 知 R 是傳遞的。 zyRyxRztRtxRzxRzxRXt, 268 (2) 若 R 是傳遞的，則 由 (1) 有 R2 R ， 進一步由(3.6.17) 右邊一式得 (R2)n Rn 又由 (3.6.13) 有 (Rn)2 = (R2)n ， 聯(lián)合上面兩式，得 (Rn)2 = (R2)n Rn， 最后由 (1) 知 Rn 是傳遞的。 69 (3) 我們可以用 (3.6.17) 式證明 ( Q R ) S ( Q S ) ( R S ) , S ( Q R ) ( S Q ) ( S R )。 應(yīng)用上面兩式，得 (R1 R2 )2 = (R1 R2 ) (R1 R2 ) ( R1 (R1 R2) ) ( R2 (R1 R2) ) (R1 R1) (R1 R2) (R2 R1) (R2 R2) 70 R12 R22 。 因為， R1、 R2 是傳遞的，即 R12 R1、 R22 R2，則有 (R1 R2 )2 R1 R2 ， 所以， R1 R2 是傳遞的。 71 例 3.6.8 給定有限論域上的模糊關(guān)系 R 如下： 則 由于模糊矩陣 R2 的元素不超過 R 對應(yīng)位置上的元素 1.0111.003.01003.06.004.04.012.0R1.03.001.003.06.0003.06.002.04.06.02.02R72 因而模糊關(guān)系 R2 R， 故 R 是傳遞的。 命題 設(shè) R 是 X 上的一個 自反的和 傳遞的模糊關(guān)系，則有 R = R2 。 證明 因為 R 是 自反的，則由 命題 3.6.5 (2) 有，R R2。 又因為 R 是傳遞的，則 由 命題 3.6.7 (1) 有，R2 R， 故有 R = R2 。 73 定義 3.6.12 設(shè) RF ( X X )， 若 R 滿足下列三個條件，則稱 R 是 X 上的一個 模糊等價關(guān)系 ： (1) 自反性： x X， R(x， x) =1 。 (2) 對稱性： x， y X， R(x， y)= R(y， x)。 (3) 傳遞性： R2 R， 即 x， z X X， 有 20.6.3., zxRzyRyxRXy 74 若 X = x1, x2, , xn 為有限論域時， X 上的模糊等價關(guān) 系 R 是一個矩陣 （ 稱為 模糊等價矩陣 ） ，它滿足下述三個條件： (1) 自反性： rii=1, i =1, 2, , n。 (2) 對稱性： rij= rji， i， j =1, 2, , n。 (3) 傳遞性： R R R， 即 21.6.3.,2,1,1njirrr ijkjiknk75 條件 (1) 說明模糊矩陣的對角線元素都是 1 ； 條件 (2) 意味著模糊等價矩陣是對稱矩陣。 76 定理 3.6.1 設(shè) R F ( X X )， 則 R 是模糊等價關(guān)系 0， 1， R 是經(jīng)典等價關(guān)系 ， 這里 R = (x, y) X X | R (x, y) 為 R 的 截關(guān)系。且對于 ， 0， 1， ，有等價類 R x R x ( x X )。