【志鴻全優(yōu)設(shè)計(jì)】高中數(shù)學(xué) 3.3.1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)目標(biāo)導(dǎo)學(xué) 新人教A版選修11.doc

1 3 3 13 3 1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) 問題導(dǎo)學(xué)問題導(dǎo)學(xué) 一 利用導(dǎo)數(shù)研究簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性及求單調(diào)區(qū)間 活動(dòng)與探究 1 1 函數(shù)y xcos x sin x在下面哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù) a b 2 2 3 2 c d 2 3 3 2 5 2 2 求函數(shù)f x x2 ln x的單調(diào)區(qū)間 遷移與應(yīng)用 1 證明函數(shù)f x 在區(qū)間 0 2 上是單調(diào)遞增函數(shù) ln x x 2 求函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間 ex x 2 1 求函數(shù)f x 單調(diào)區(qū)間的步驟是 先確定定義域 再求出f x 最后通過解不等 式f x 0 和f x 0 求出單調(diào)區(qū)間 正確運(yùn)用求導(dǎo)公式對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo) 準(zhǔn)確熟練 地解出不等式是求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本功 2 當(dāng)函數(shù)的增減區(qū)間有多個(gè)時(shí) 區(qū)間之間不能用并集符號(hào)合并 也不能用 或 應(yīng) 該用 隔開或用 和 3 如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f x 0 則f x 是常數(shù)函數(shù) 如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)只有有 限個(gè)點(diǎn)使f x 0 其余點(diǎn)恒有f x 0 則f x 仍為增函數(shù) 減函數(shù)的情形與增函數(shù) 的情形類似 二 原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系 活動(dòng)與探究 2 函數(shù)y f x 在定義域內(nèi)可導(dǎo) 其圖象如圖所示 記y f x 的導(dǎo)函數(shù)為 3 2 3 y f x 則不等式f x 0 的解集是 a 2 3 1 3 1 b 1 1 2 4 3 8 3 c 1 2 3 2 1 2 d 3 2 1 1 2 4 3 8 3 3 遷移與應(yīng)用 已知導(dǎo)函數(shù)f x 的下列信息 當(dāng) 1 x 3 時(shí) f x 0 當(dāng)x 3 和x 1 時(shí) f x 0 當(dāng)x 1 和x 3 時(shí) f x 0 試畫出函數(shù)f x 圖象的大致形狀 2 注意圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)化及應(yīng)用 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)影響著原 函數(shù)的單調(diào)性 即在某個(gè)區(qū)間內(nèi)f x 0 或f x 0 也就是f x 的圖象在x軸的 上方 或下方 則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是增函數(shù) 或減函數(shù) 三 求含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 活動(dòng)與探究 3 1 已知a b為常數(shù) 且a 0 函數(shù)f x ax b axln x f e 2 e 2 718 28 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù) 求實(shí)數(shù)b的值 求函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間 2 已知函數(shù)f x 2x3 tx2 3t2x t 0 求f x 的單調(diào)區(qū)間 3 2 t 1 2 遷移與應(yīng)用 已知函數(shù)f x ax2 ln x a r r 求f x 的單調(diào)區(qū)間 1 2 討論含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性 通常歸結(jié)為求含參不等式的解集的問題 而對(duì)含有參 數(shù)的不等式要針對(duì)具體情況進(jìn)行討論 但始終注意定義域?qū)握{(diào)性的影響以及分類討論的 標(biāo)準(zhǔn) 四 已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍 活動(dòng)與探究 4 已知函數(shù)f x x2 x 0 常數(shù)a r r 若函數(shù)f x 在x 2 上是單調(diào)遞增 a x 的 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 遷移與應(yīng)用 1 已知函數(shù)f x x3 ax在 1 上是單調(diào)減函數(shù) 則a的最大值為 a 1 b 2 c 3 d 4 2 若函數(shù)f x x3 mx2 2m2 5 的單調(diào)減區(qū)間是 9 0 則m 1 由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍時(shí)的注意事項(xiàng) 函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì) 也是高中階段研究的重點(diǎn) 若函數(shù)f x 可導(dǎo) 其導(dǎo) 數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系如下 以增函數(shù)為例來說明 f x 0 能推出f x 為增函數(shù) 但反之不一定 即f x 0 是f x 為增函數(shù)的充分不必要條件 f x 0 時(shí) f x 0 是f x 為增函數(shù)的充分必要條件 f x 為增函數(shù) 一定可以推出f x 0 但反之不一定 即f x 0 是f x 為 增函數(shù)的必要不充分條件 2 m f x 恒成立 m f x max m f x 恒成立 m f x min 答案 答案 課前課前 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 預(yù)習(xí)導(dǎo)引 1 f x 0 f x 0 f x 0 預(yù)習(xí)交流預(yù)習(xí)交流 1 提示 提示 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)f x 0 f x 0 是函數(shù)f x 在此區(qū)間內(nèi)為增 減 函數(shù)的充分不必要條件 如果出現(xiàn)個(gè)別點(diǎn)使f x 0 不會(huì)影響函數(shù)f x 在包含這 些特殊點(diǎn)的某個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性 例如函數(shù)f x x3在定義域 上是增函數(shù) 但由f x 3x2知 f 0 0 即并不是在定義域內(nèi)的任意一點(diǎn)處都滿足f x 0 從而可導(dǎo)函數(shù)f x 在 a b 上遞增 遞減 的充要條件是f x 0 f x 0 在 a b 上恒成立 且f x 在 a b 的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于零 2 1 定義域 2 f x 0 4 符號(hào) 預(yù)習(xí)交流預(yù)習(xí)交流 2 提示 提示 1 和 1 1 1 3 1 導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大 2 大于 銳角 遞增 小于 鈍角 遞減 3 預(yù)習(xí)交流預(yù)習(xí)交流 3 提示 提示 0 0 課堂課堂 合作探究合作探究 問題導(dǎo)學(xué) 活動(dòng)與探究活動(dòng)與探究 1 1 思路分析 思路分析 只需判斷在哪個(gè)區(qū)間上導(dǎo)函數(shù)的值大于零即可 b 解析 解析 y cos x xsin x cos x xsin x 若y f x 在某區(qū)間內(nèi)是增函數(shù) 只需在此區(qū)間內(nèi)y 恒大于零即可 只有選項(xiàng) b 符合題意 當(dāng)x 2 時(shí) y 0 恒成立 2 思路分析 思路分析 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 即求定義域上滿足f x 0 或f x 0 的區(qū) 間 解 解 函數(shù)f x 的定義域?yàn)?0 f x 2x 1 x 2x 1 2x 1 x x 0 x 1 0 2 令f x 0 得x 2 2 f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為 2 2 由f x 0 得x 2 2 又 x 0 f x 的單調(diào)遞減區(qū)間是 0 2 2 遷移與應(yīng)用遷移與應(yīng)用 1 證明 證明 f x ln x x f x ln x x ln x x x2 1 x x ln x x2 1 ln x x2 又 x 0 2 ln x ln 2 1 故f x 0 1 ln x x2 即函數(shù)在區(qū)間 0 2 上是單調(diào)遞增函數(shù) 2 解 解 函數(shù)f x 的定義域?yàn)?2 2 f x ex x 2 ex x 2 2 ex x 3 x 2 2 因?yàn)閤 2 2 所以 ex 0 x 2 2 0 由f x 0 得x 3 所以函數(shù)f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為 3 由f x 0 得x 3 又函數(shù)f x 的定義域?yàn)?2 2 所以函數(shù)f x 的單調(diào)遞減區(qū)間為 2 和 2 3 活動(dòng)與探究活動(dòng)與探究 2 思路分析 思路分析 當(dāng)f x 0 時(shí) f x 遞減 從而由圖象找出遞減區(qū)間即 可 a 解析 解析 求f x 0 的解集 即求函數(shù)f x 在上的單調(diào)減區(qū)間 3 2 3 由圖象可知y f x 的單調(diào)減區(qū)間為 2 3 1 3 1 遷移與應(yīng)用遷移與應(yīng)用 解 解 當(dāng) 1 x 3時(shí) f x 0 可知f x 在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減 4 當(dāng)x 3 和x 1 時(shí) f x 0 可知f x 在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增 當(dāng)x 1 和x 3 時(shí) f x 0 這兩點(diǎn)比較特殊 我們稱它們?yōu)?臨界點(diǎn) 綜上 函數(shù)f x 圖象的大致形狀如圖所示 活動(dòng)與探究活動(dòng)與探究 3 1 思路分析 思路分析 準(zhǔn)確求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) 并對(duì)參數(shù)a的正負(fù)進(jìn)行討論 進(jìn)而確定f x 0 f x 0 的解集 解 解 由f e 2 得b 2 由 可得f x ax 2 axln x 從而f x aln x 因?yàn)閍 0 故 當(dāng)a 0 時(shí) 由f x 0 得x 1 由f x 0 得 0 x 1 當(dāng)a 0 時(shí) 由f x 0 得 0 x 1 由f x 0 得x 1 綜上 當(dāng)a 0 時(shí) 函數(shù)f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為 1 單調(diào)遞減區(qū)間為 0 1 當(dāng)a 0 時(shí) 函數(shù)f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為 0 1 單調(diào)遞減區(qū)間為 1 2 思路分析 思路分析 正確對(duì)函數(shù)f x 進(jìn)行求導(dǎo) 求出f x 0 的根 對(duì)根的大小進(jìn)行討 論 進(jìn)而求出f x 0 f x 0 的解集 解 解 f x 6x2 3tx 3t2 3 2x t x t 令f x 0 得x t或x t 2 t 0 以下分兩種情況進(jìn)行討論 若t 0 則 t t 2 由f x 0 得x 或x t t 2 由f x 0 得 x t t 2 若t 0 則 t t 2 由f x 0 得x t或x t 2 由f x 0 得 t x t 2 當(dāng)t 0 時(shí) f x 的遞增區(qū)間為 t 遞減區(qū)間為 t 2 t 2 t 當(dāng)t 0 時(shí) f x 的遞增區(qū)間為 t 遞減區(qū)間為 t 2 t t 2 遷移與應(yīng)用遷移與應(yīng)用 解 解 f x 的定義域?yàn)?0 f x ax 1 x ax2 1 x 當(dāng)a 0 時(shí) f x 0 恒成立 則f x 在 0 上單調(diào)遞增 當(dāng)a 0 時(shí) 由f x 0 得 x 1 a 1 a 又 x 0 0 x 1 a 由f x 0 得x 或x 1 a 1 a 5 又 x 0 x 1 a 綜上所述 當(dāng)a 0 時(shí) f x 的遞增區(qū)間為 0 當(dāng)a 0 時(shí) f x 的遞增區(qū)間為 遞減區(qū)間為 0 1 a 1 a 活動(dòng)與探究活動(dòng)與探究 4 思路分析 思路分析 先求出f x 則由題意知f x 0 在區(qū)間 2 上 恒成立 從而轉(zhuǎn)化為恒成立問題 解 解 要使f x 在 2 上是增函數(shù) 則f x 0 在x 2 時(shí)恒成立 即 0 2x3 a 0 2x3 a x2 當(dāng)x 2 時(shí) a 2x3恒成立 a 2x3 min x 2 y 2x3是增函數(shù) 2x3 min 16 a 16 當(dāng)a 16 時(shí) f x 0 且只有f 2 0 2x3 16 x2 實(shí)數(shù)a的取值范圍是a 16 遷移與應(yīng)用遷移與應(yīng)用 1 c 解析 解析 由已知f x 3x2 a 0 在 1 上恒成立 即 a 3x2在x 1 上恒成立 a 3 a的最大值為 3 2 解析 解析 f x 3x2 2mx 令f x 3x2 2mx 0 27 2 則 9 0 是 3x2 2mx 0 的解集 3 9 2 2 9 m 0 m 27 2 當(dāng)堂檢測(cè)當(dāng)堂檢測(cè) 1 y xln x在 0 5 上是 a 單調(diào)增函數(shù) b 單調(diào)減函數(shù) c 在上單調(diào)遞減 在上單調(diào)遞增 1 0 e 1 5 e d 在上單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞減 1 0 e 1 5 e 答案 答案 c 解析 解析 y x ln x 1 ln x 1 x 令y 0 可得 1 e x 令y 0 可得 故選 c 1 0 e x 2 函數(shù)y x2 ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為 1 2 a 1 1 b 0 1 c 1 d 0 答案 答案 b 解析 解析 對(duì)函數(shù)求導(dǎo) 得 x 0 令 2 1 ln 2 yxx 2 11 x y x xx 解得x 0 1 因此函數(shù)y x2 ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為 0 1 故選 b 2 1 0 0 x x x 1 2 6 3 設(shè)函數(shù)f x 在定義域內(nèi)可導(dǎo) y f x 的圖象如圖所示 則導(dǎo)函數(shù)y f x 的圖 象可能為 答案 答案 d 解析 解析 由已知f x 在 0 上遞增 在 0 上 f x 先增后減再 增 f x 在 0 上的函數(shù)值為正 f x 在 0 上的函數(shù)值先正后負(fù)再正 故 d 正確 4 已知f x x 2sin x在 0 上的單調(diào)遞增