【步步高】（四川專用）高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 正弦定理和余弦定理學(xué)案 理 新人教A版.doc

第五章 解三角形與平面向量正弦定理和余弦定理導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.利用正弦定理、余弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化，進而進行恒等變換解決問題.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題自主梳理1三角形的有關(guān)性質(zhì)(1)在abc中，abc_；(2)ab_c，abbsin a_sin ba_b；(4)三角形面積公式：sabcahabsin cacsin b_；(5)在三角形中有：sin 2asin 2bab或_三角形為等腰或直角三角形；sin(ab)sin c，sin cos .2正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容_2ra2_，b2_，c2_.變形形式a_，b_，c_；sin a_，sin b_，sin c_；abc_；cos a_；cos b_；cos c_.解決的問題已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角已知三邊，求各角；已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角.自我檢測1(2010上海)若abc的三個內(nèi)角滿足sin asin bsin c51113，則abc()a一定是銳角三角形b一定是直角三角形c一定是鈍角三角形d可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形2(2010天津)在abc中，內(nèi)角a，b，c的對邊分別是a，b，c，若a2b2bc，sin c2sin b，則a等于 ()a30b60c120d1503(2011煙臺模擬)在abc中，a60，b1，abc的面積為，則邊a的值為()a2b.c.d34(2010山東)在abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c.若a，b2，sin bcos b，則角a的大小為_5(2010北京)在abc中，若b1，c，c，則a_.探究點一正弦定理的應(yīng)用例1(1)在abc中，a，b，b45，求角a、c和邊c；(2)在abc中，a8，b60，c75，求邊b和c.變式遷移1(1)在abc中，若tan a，c150，bc1，則ab_；(2)在abc中，若a50，b25，a45，則b_.探究點二余弦定理的應(yīng)用例2(2011咸寧月考)已知a、b、c分別是abc中角a、b、c的對邊，且a2c2b2ac.(1)求角b的大?。?2)若c3a，求tan a的值變式遷移2在abc中，a、b、c分別為a、b、c的對邊，b，b，ac4，求a.探究點三正、余弦定理的綜合應(yīng)用例3在abc中，a、b、c分別表示三個內(nèi)角a、b、c的對邊，如果(a2b2)sin(ab)(a2b2)sin(ab)，試判斷該三角形的形狀變式遷移3(2010天津)在abc中，.(1)證明：bc；(2)若cos a，求sin的值1解斜三角形可以看成是三角變換的延續(xù)和應(yīng)用，用到三角變換的基本方法，同時它是對正、余弦定理，三角形面積公式等的綜合應(yīng)用2在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，進而求出其他的邊和角時，有可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，應(yīng)結(jié)合圖形并根據(jù)“三角形中大邊對大角”來判斷解的情況，作出正確取舍3在解三角形中的三角變換問題時，要注意兩點：一是要用到三角形的內(nèi)角和及正、余弦定理，二是要用到三角變換、三角恒等變形的原則和方法“化繁為簡”“化異為同”是解此類問題的突破口 (滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1(2010湖北)在abc中，a15，b10，a60，則cos b等于 ()ab.cd.2.在abc中ab3，ac=2，bc=，則等于 ()abc.d.3在abc中，sin2(a，b，c分別為角a，b，c的對邊)，則abc的形狀為()a正三角形b直角三角形c等腰直角三角形d等腰三角形4(2011聊城模擬)在abc中，若a60，bc4，ac4，則角b的大小為()a30b45c135d45或1355(2010湖南)在abc中，角a，b，c所對的邊長分別為a，b，c，若c120，ca，則 ()aabba(3)(4)bcsin a(5)ab2.b2c22bccos aa2c22accos ba2b22abcos c2rsin a2rsin b2rsin csin asin bsin c自我檢測1c2.a3.c4.5.1課堂活動區(qū)例1解題導(dǎo)引已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，可利用正弦定理求其他的角和邊，但要注意對解的情況進行判斷，這類問題往往有一解、兩解、無解三種情況具體判斷方法如下：在abc中已知a、b和a，求b.若a為銳角，當(dāng)ab時，有一解；當(dāng)absin a時，有一解；當(dāng)bsin aab時，有兩解；當(dāng)ab時，有一解；當(dāng)ab時，無解解(1)由正弦定理得，sin a.ab，ab，a60或a120.當(dāng)a60時，c180456075，c；當(dāng)a120時，c1804512015，c.綜上，a60，c75，c，或a120，c15，c.(2)b60，c75，a45.由正弦定理，得b4，c44.b4，c44.變式遷移1(1)(2)60或120解析(1)在abc中，tan a，c150，a為銳角，sin a.又bc1.根據(jù)正弦定理得ab.(2)由ba，得ba，由，得sin b，0b180b60或b120.例2解(1)a2c2b2ac，cos b.0b，b.(2)方法一將c3a代入a2c2b2ac，得ba.由余弦定理，得cos a.0aa，ba，cos a.tan a.方法三c3a，由正弦定理，得sin c3sin a.b，c(ab)a，sin(a)3sin a，sincos acossin a3sin a，cos asin a3sin a，5sin acos a，tan a.變式遷移2解由余弦定理得，b2a2c22accos ba2c22accosa2c2ac(ac)2ac.又ac4，b，ac3，聯(lián)立，解得a1，c3，或a3，c1.a等于1或3.例3解題導(dǎo)引利用正弦定理或余弦定理進行邊角互化，轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系或角角關(guān)系解方法一(a2b2)sin(ab)(a2b2)sin(ab)a2sin(ab)sin(ab)b2sin(ab)sin(ab)，2a2cos asin b2b2cos bsin a，由正弦定理，得sin2acos asin bsin2bcos bsin a，sin asin b(sin acos asin bcos b)0，sin 2asin 2b，由02a2，02b2，得2a2b或2a2b，即abc是等腰三角形或直角三角形方法二同方法一可得2a2cos asin b2b2cos bsin a，由正、余弦定理，即得a2bb2a，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，即(a2b2)(c2a2b2)0，ab或c2a2b2，三角形為等腰三角形或直角三角形變式遷移3解題導(dǎo)引在正弦定理2r中，2r是指什么？a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c的作用是什么？(1)證明在abc中，由正弦定理及已知得.于是sin bcos ccos bsin c0，即sin(bc)0.因為bc，從而bc0.所以bc.(2)解由abc和(1)得a2b，故cos 2bcos(2b)cos a.又02b，于是sin 2b.從而sin 4b2sin 2bcos 2b，cos 4bcos22bsin22b.所以sinsin 4bcos cos 4bsin .課后練習(xí)區(qū)1d2.d3.b4.b5.a6等邊三角形解析b2a2c22accos b，aca2c2ac，(ac)20，ac，又b60，abc為等邊三角形71解析由ac2b及abc180知，b60.由正弦定理知，即sin a.由ab知，ab，a30，c180ab180306090，sin csin 901.8.解析設(shè)bad，dac，則tan ，tan ，tanbactan()1.bac為銳角，bac的大小為.9解(1)因為cos，所以cos a2cos21，sin a.(4分)又由3得bccos a3，所以bc5，因此sabcbcsin a2.(8分)(2)由(1)知，bc5，又bc6，由余弦定理，得a2b2c22bccos a(bc)2bc20，所以a2.(12分)10解在