【志鴻全優(yōu)設計】高中數(shù)學 第一章1.6.1 垂直關系的判定目標導學 北師大版必修2 .doc

6.1垂直關系的判定學習目標s重點難點1通過實例，掌握直線和直線垂直、直線和平面垂直、平面和平面垂直的定義2掌握直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定定理，并會利用定理證明垂直關系3正確理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”的概念，會求簡單的二面角的平面角重點：直線與平面垂直、平面與平面垂直的定義、判定定理及推論難點：直線與平面垂直，平面與平面垂直的判定定理在證明題中的應用疑點：二面角的平面角的作法.1直線與平面垂直(1)直線與平面垂直的定義如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個平面垂直(2)直線和平面垂直的判定定理文字敘述：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直符號表示：若a，b，aba，la，lb，則l.圖形表示：作用：線線垂直線面垂直預習交流1能夠證明直線l與平面垂直的條件是()l與內(nèi)兩條平行直線垂直；l與內(nèi)兩條相交直線垂直；l與內(nèi)無數(shù)條直線垂直；l與內(nèi)任意兩條直線垂直；lm，m；直線m，n確定平面，lm，ln.a b c d提示：c2二面角及其平面角(1)半平面的定義：一個平面內(nèi)的一條直線把這個平面分成兩部分，其中的每一部分都叫作半平面(2)二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形，叫作二面角，這條直線叫作二面角的棱，這兩個半平面叫作二面角的面(3)二面角的記法：以直線ab為棱，半平面，為面的二面角，記作二面角ab.(4)二面角的平面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角(5)直二面角：平面角是直角的二面角叫作直二面角預習交流2以下命題正確的個數(shù)是()一個二面角的平面角只有一個；二面角的棱必垂直于這個二面角的平面角所在的平面；分別在二面角的兩個半平面內(nèi)，且垂直于棱的直線所成的角等于二面角的大小a0b1c2d3提示：b3平面與平面垂直的判定(1)兩個平面互相垂直的定義：兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直(2)平面和平面垂直的判定定理文字敘述：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直符號表示：.圖形表示：作用：線面垂直面面垂直預習交流3如何理解平面和平面垂直的判定定理？提示：(1)本質(zhì)：證面面垂直證線面垂直(2)關鍵：尋找其中一個平面的垂線(3)找平面垂線的方法：先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若不存在則可通過作輔助線來解決，而作輔助線則應有理論依據(jù)，并有助于證明，不能隨意添加1線面垂直的判定如圖，在abc中，abc90，d是ac的中點，s是abc所在平面外一點，且sasbsc.(1)求證：sd平面abc；(2)若abbc，求證：bd平面sac.思路分析：題設條件中的三棱錐的三條側(cè)棱相等，abbc，d是ac的中點，要證(1)需在平面abc內(nèi)找兩條相交直線與sd垂直，故等腰三角形底邊的中線是可以利用的垂直關系，要證(2)，需設法在平面sac內(nèi)找兩條相交直線與bd垂直，而(1)的結(jié)論可利用證明：(1)因為sasc，d是ac的中點，所以sdac.在rtabc中，adbd，由已知sasb，所以adsbds，所以sdbd.又acbdd，所以sd平面abc.(2)因為abbc，d為ac的中點，所以bdac.由(1)知sdbd，因為sdacd，所以bd平面sac.1已知四棱錐pabcd的底面是菱形，且abc60，papc2，pbpd.若o是ac與bd的交點，求證：po平面abcd.證明：papc，pdpb，且o是ac和bd的中點，poac，pobd.又acbdo，po平面abcd.2如圖，ab是圓o的直徑，c是圓周上異于a，b的任意一點，pa平面abc.(1)圖中共有多少個直角三角形？(2)若ahpc，且ah與pc交于h，求證：ah平面pbc.(1)解：由pa平面abc，可得paac，paab，pabc，又由題設知bcac.由bcac，bcpa，paaca得bc平面pac，pc平面pac，bcpc.故圖中有4個直角三角形：pac，pab，abc，pcb.(2)證明：由(1)知bc平面pac，ah平面pac，bcah.又ahpc，bcpcc，ah平面pbc.1.利用直線和平面垂直的判定定理判定直線與平面垂直的步驟：(1)在這個平面內(nèi)找兩條直線，使它和這條直線垂直；(2)確定這個平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線；(3)根據(jù)判定定理得出結(jié)論2利用直線和平面垂直的判定定理判定直線與平面垂直的技巧：證明線面垂直時要注意分析幾何圖形，尋找隱含的和題目中推導出的線線垂直關系，進而證明線面垂直三角形全等、等腰三角形、梯形底邊的中線、高、菱形、正方形的對角線、三角形中的勾股定理等都是找線線垂直的方法2面面垂直的判定如圖，pa垂直于矩形abcd所在的平面，adpa2，cd2，e，f分別是ab，pd的中點(1)求證：af平面pce；(2)求證：平面pce平面pcd.思路分析：(1)要證af平面pce，只需證明af平行于平面pce內(nèi)的一條直線即可，取pc的中點g，則該直線為ge.(2)要證明平面pce平面pcd，只需證明ge平面pcd，而由(1)知geaf，故只需證明af平面pcd即可證明：(1)取pc的中點g，連接fg，eg，f為pd的中點，e為ab的中點，fgcd，且fgcd，aecd，且aecd，fgae，且fgae，四邊形aegf為平行四邊形，afge.ge平面pec，af平面pce，af平面pce.(2)paad2，afpd.pa平面abcd，cd平面abcd，pacd.又adcd，paada，cd平面pad.af平面pad，afcd.pdcdd，af平面pcd，ge平面pcd.ge平面pec，平面pce平面pcd.1如圖，在底面為直角梯形的四棱錐pabcd中，adbc，abc90，pa平面abcd，acbde，ad2，ab2，bc6.求證：平面pbd平面pac.證明：pa平面abcd，bd平面abcd，bdpa.又tanabd，tanbac，abd30，bac60，aeb90，即bdac.又paaca，bd平面pac.bd平面pbd，平面pbd平面pac.2如圖，棱柱abca1b1c1的側(cè)面bcc1b1是菱形，b1ca1b，求證：平面ab1c平面a1bc1.證明：因為側(cè)面bcc1b1是菱形，所以b1cbc1.又b1ca1b，且a1bbc1b，所以b1c平面a1bc1.又b1c平面ab1c，所以平面ab1c平面a1bc1.利用面面垂直的判定定理證明面面垂直，關鍵是先證線面垂直，再證線在另一個平面內(nèi)，最終得到面面垂直具體方法是：線線垂直線面垂直面面垂直3綜合問題如圖，四棱錐sabcd的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍，p為側(cè)棱sd上的點(1)求證：acsd；(2)若sd平面pac，求二面角pacd的大小；(3)在(2)的條件下，側(cè)棱sc上是否存在一點e，使得be平面pac？若存在，求seec的值；若不存在，試說明理由思路分析：(1)要證acsd，可先證明ac平面sbd.(2)要求二面角pacd的大小，可先找出二面角的平面角，再進行計算(3)是一探索性問題，可先假設存在點e，再根據(jù)線面、面面的平行關系進行推理論證(1)證明：連接bd，設ac交bd于o，連接so.由題意知soac.在正方形abcd中，acbd，所以ac平面sbd，得acsd.(2)解：設正方形邊長為a，則sd=a，又od=a，所以sdo=60.連接op，由(1)知ac平面sbd，所以acop，且acod，所以pod是二面角pacd的平面角由sd平面pac，知sdop，所以pod=30，即二面角pacd的大小為30.(3)解：在棱sc上存在一點e，使be平面pac.由(2)可得pd=a，故可在sp上取一點n，使pn=pd.過n作pc的平行線與sc的交點即為e.連接bn，在bdn中，知bnpo.又由于nepc，故平面ben平面pac，這得be平面pac.由于snnp21，故seec21.如圖，在六面體abcdefg中，平面abc平面defg，ad平面defg，abac，ed dg，efdg，且abaddedg2，acef1.(1)求證：bf平面acgd；(2)求二面角aegd的正切值(1)證明：設dg的中點為m，連接am，fm，則由已知條件易證四邊形defm是平行四邊形，mfde，且mfde.平面abc平面defg，平面abed分別交平面abc，平面defg于ab，de，abde，又abde，mfab，且mfab，四邊形abfm是平行四邊形，即bfam.又bf平面acgd，am平面acgd，故bf平面acgd.(2)解：連接ae，ag，eg，ad平面defg，addg，adde.adeddg，aeag.取eg的中點h，連接ah，dh，有aheg，dheg，則ahd是二面角aegd的平面角在rtadh中，由addedg2，得dh.tanahd，故二面角aegd的正切值為.1.二面角的平面角的作法(1)垂面法：是指根據(jù)平面角的定義，作垂直于棱的平面，通過這個平面和二面角兩個面的交線得出平面角；(2)垂線法：是指在二面角的棱上取一特殊點，過此點在二面角的兩個半平面內(nèi)作兩條射線垂直于棱，則此兩條射線所成的角即為二面角的平面角；2根據(jù)線線、線面、面面之間的垂直關系探討點的位置，解題的思路是從特殊位置入手，一般是中點或線段的端點處另外，對于解答題，在解答后面小題時可注意應用前面小題的結(jié)論1給出下列四個命題：若直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線與平面垂直；若直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則這條直線與平面垂直；若直線垂直于梯形的兩腰所在的直線，則這條直線垂直于兩底邊所在的直線；若直線垂直于梯形的兩底邊所在的直線，則這條直線垂直于兩腰所在的直線其中正確的命題共有()a1個 b2個c3個 d4個解析：中兩條直線若不相交，則直線與平面不一定垂直；錯誤；由線面垂直的定義知正確；由于梯形的兩腰所在直線是相交的，故正確；若直線垂直于梯形的兩底邊所在的直線，則該直線與梯形所在平面不一定垂直，從而不一定垂直于兩腰所在直線，錯誤答案：b2經(jīng)過平面外兩點作與此平面垂直的平面，則這樣的平面()a只能作一個 b只能作兩個c可以作無數(shù)個 d可作一個或無數(shù)個解析：當兩點所在直線垂直于平面時，可作無數(shù)個；否則，有且僅有1個答案：d3如圖，已知pa垂直于abc所在平面，且abc90，連接pb，pc，則圖形中互相垂直的平面有()a一對 b兩對 c三對 d四對解析：平面pab平面abc；平面pac平面abc；平面pab平面pbc.答案：c4如圖，四棱錐pabcd中，pa底面abcd，abad，點e在線段ad