【志鴻優(yōu)化設(shè)計(jì)】（湖南專用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章解析幾何9.9曲線與方程教學(xué)案 理.doc

9.9曲線與方程了解方程的曲線與曲線的方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系1一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線c上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)0的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系：(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的_；(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是_那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線曲線可以看作是符合某條件的點(diǎn)的集合，也可看作是滿足某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡，因此，此類問題也叫軌跡問題2求曲線方程的基本步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)表示曲線上任意一點(diǎn)m的坐標(biāo)；(2)寫出適合條件p的點(diǎn)m的集合pm|p(m)；(3)用坐標(biāo)表示條件p(m)，列出方程f(x，y)0；(4)化方程f(x，y)0為最簡(jiǎn)形式；(5)說(shuō)明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上1方程y表示的曲線是()a拋物線的一部分 b雙曲線的一部分c圓 d半圓2若m，n為兩個(gè)定點(diǎn)，且|mn|6，動(dòng)點(diǎn)p滿足0，則p點(diǎn)的軌跡是()a圓 b橢圓 c雙曲線 d拋物線3方程(2x3y1)(1)0表示的曲線是()a兩條直線b兩條射線c兩條線段d一條直線和一條射線4已知點(diǎn)a(2,0)，b(3,0)，動(dòng)點(diǎn)p(x，y)滿足x26，則p點(diǎn)的軌跡方程是_5過圓x2y24上任一點(diǎn)p作x軸的垂線pn，n為垂足，則線段pn中點(diǎn)m的軌跡方程為_一、直接法求軌跡方程【例11】已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)q(2,0)和圓o：x2y21，動(dòng)點(diǎn)m到圓o的切線長(zhǎng)與|mq|的比等于常數(shù)(0)，求動(dòng)點(diǎn)m的軌跡方程，并說(shuō)明它表示什么曲線【例12】已知點(diǎn)m(4,0)，n(1,0)，若動(dòng)點(diǎn)p滿足6|.(1)求動(dòng)點(diǎn)p的軌跡c的方程；(2)設(shè)q是曲線c上任意一點(diǎn)，求q到直線l：x2y120的距離的最小值方法提煉建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)出曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，找出動(dòng)點(diǎn)滿足的等量關(guān)系，化簡(jiǎn)即得所求曲線方程請(qǐng)做演練鞏固提升1二、用定義法求軌跡方程【例2】已知點(diǎn)a，點(diǎn)b是圓f：2y24(f為圓心)上一動(dòng)點(diǎn)，線段ab的垂直平分線交bf于點(diǎn)p，求動(dòng)點(diǎn)p的軌跡方程方法提煉若由題意能判斷出動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡能滿足某種曲線的定義，則只需設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程并確定出方程中的基本量即可，這也是求軌跡方程的首選方法請(qǐng)做演練鞏固提升2三、代入法求點(diǎn)的軌跡方程【例3】 已知abc的兩個(gè)頂點(diǎn)為a(2,0)，b(0，2)，第三個(gè)頂點(diǎn)c在曲線y3x21上移動(dòng)，求abc重心的軌跡方程方法提煉若a點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與b點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)相關(guān)，且b點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)有規(guī)律，則找出兩點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，用a點(diǎn)坐標(biāo)表示出b點(diǎn)坐標(biāo)，代入b點(diǎn)所滿足的方程，整理即得a點(diǎn)的軌跡方程請(qǐng)做演練鞏固提升4曲線軌跡方程的求解【典例】 (14分)(2012湖北高考)設(shè)a是單位圓x2y21上的任意一點(diǎn)，l是過點(diǎn)a與x軸垂直的直線，d是直線l與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)m在直線l上，且滿足|dm|m|da|(m0，且m1)當(dāng)點(diǎn)a在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)m的軌跡為曲線c.(1)求曲線c的方程，判斷曲線c為何種圓錐曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)過原點(diǎn)且斜率為k的直線交曲線c于p，q兩點(diǎn)，其中p在第一象限，它在y軸上的射影為點(diǎn)n，直線qn交曲線c于另一點(diǎn)h.是否存在m，使得對(duì)任意的k0，都有pqph？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由規(guī)范解答：(1)如圖1，設(shè)m(x，y)，a(x0，y0)，則由|dm|m|da|(m0，且m1)，可得xx0，|y|m|y0|，所以x0x，|y0|y|.因?yàn)閍點(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，所以xy1.將式代入式即得所求曲線c的方程為x21(m0，且m1)(4分)因?yàn)閙(0,1)(1，)，所以當(dāng)0m1時(shí)，曲線c是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(，0)，(，0)；(6分)當(dāng)m1時(shí)，曲線c是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0，)，(0，)(8分)(2)方法一：如圖2,3，k0，設(shè)p(x1，kx1)，h(x2，y2)，則q(x1，kx1)，n(0，kx1)，直線qn的方程為y2kxkx1，將其代入橢圓c的方程并整理可得(m24k2)x24k2x1xk2xm20.依題意可知此方程的兩根為x1，x2，于是由韋達(dá)定理可得x1x2，即x2.(10分)因?yàn)辄c(diǎn)h在直線qn上，所以y2kx12kx2.于是(2x1，2kx1)，(x2x1，y2kx1).而pqph等價(jià)于0，(13分)即2m20.又m0，得m，故存在m，使得在其對(duì)應(yīng)的橢圓x21上，對(duì)任意的k0，都有pqph.(14分) 圖1 圖2(0m1) 圖3(m1)方法二：如圖2,3，x1(0,1)，設(shè)p(x1，y1)，h(x2，y2)，則q(x1，y1)，n(0，y1)因?yàn)閜，h兩點(diǎn)在橢圓c上，所以兩式相減可得m2(xx)(yy)0.(10分)依題意，由點(diǎn)p在第一象限可知，點(diǎn)h也在第一象限，且p，h不重合故(x1x2)(x1x2)0，于是由式可得m2.(12分)又q，n，h三點(diǎn)共線，所以kqnkqh，即.于是由式可得kpqkph.而pqph等價(jià)于kpqkph1，即1.又m0，得m.故存在m， 使得在其對(duì)應(yīng)的橢圓x21上，對(duì)任意的k0，都有pqph.(14分)答題指導(dǎo)：解決軌跡的問題時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)(或動(dòng)直線)的位置不確定時(shí)，要注意對(duì)它們所有可能的情形進(jìn)行必要的分類討論，以防以偏概全或遺漏一種或幾種情況；(2)解決直線與曲線的交點(diǎn)問題，不僅僅要考慮方程解的個(gè)數(shù)，還要注意數(shù)形結(jié)合1在平面直角坐標(biāo)系xoy中，若定點(diǎn)a(1,2)與動(dòng)點(diǎn)p(x，y)滿足4，則點(diǎn)p的軌跡方程是_2設(shè)f1，f2是雙曲線x2y24的兩焦點(diǎn)，q是雙曲線上任意一點(diǎn)，從f1引f1qf2平分線的垂線，垂足為p，則p點(diǎn)的軌跡方程是_3如圖，已知點(diǎn)a在x軸上，點(diǎn)b在y軸上，且|ab|2，點(diǎn)m分有向線段的比為，求點(diǎn)m的軌跡方程，并說(shuō)明曲線的類型4已知點(diǎn)m是拋物線y2x上一動(dòng)點(diǎn)，以om為一邊(o為原點(diǎn))作正方形mnpo，求動(dòng)點(diǎn)p的軌跡方程參考答案基礎(chǔ)梳理自測(cè)知識(shí)梳理1(1)解(2)曲線上的點(diǎn)基礎(chǔ)自測(cè)1d解析：由y得x2y29，因?yàn)閤2y29表示一個(gè)圓，所以y表示一個(gè)半圓2a解析：以mn的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，并設(shè)m(3,0)，n(3,0)，p(x，y)，則(3x，y)(3x，y)(x29)y20，即x2y29，故p點(diǎn)的軌跡是圓3d解析：由(2x3y1)(1)0可得2x3y10或1，即2x3y10或x4(x3)4y2x解析：(x2，y)，(x3，y)，(x2)(x3)y2x26，整理得y2x.5.y21解析：設(shè)點(diǎn)m(x，y)，p(x0，y0)，則n(x0,0)，又點(diǎn)p(x0，y0)在圓x2y24上，x02y024.x24y24，即y21.考點(diǎn)探究突破【例11】 解：如圖所示，設(shè)直線mn切圓于n點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)m組成的集合是：pm|mn|mq|(0)因?yàn)閳A的半徑|on|1，所以|mn|2|mo|2|on|2|mo|21.設(shè)點(diǎn)m的坐標(biāo)為(x，y)，則，整理，得(21)(x2y2)42x(142)0，當(dāng)1時(shí)，方程化為x，它表示一條直線；當(dāng)1時(shí)，方程化為2y2，它表示圓心為，半徑為的圓【例12】 解：(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)p(x，y)，則(x4，y)，(3,0)，(1x，y)，由已知得3(x4)6，化簡(jiǎn)得：3x24y212，即1.點(diǎn)p的軌跡c的方程是：1.(2)設(shè)橢圓c的與直線l平行的切線l：x2yd0，將其代入橢圓方程消去x，化簡(jiǎn)得16y212dy3(d24)0.144d2192(d24)0，解得d4.l和l的距離最小值為.點(diǎn)q到直線l的距離的最小值為.【例2】 解：如圖，連接pa，依題意可知|pa|pb|.|pa|pf|pb|pf|bf|21.p點(diǎn)軌跡為以a，f為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為1的橢圓其方程可設(shè)為1.又c，a1，b2a2c2.故p點(diǎn)的軌跡方程為x2y21.【例3】 解：設(shè)abc的重心g(x，y)，c(x0，y0)，則即點(diǎn)c在y3x21上，y03x021.3y23(3x2)21，整理得y9x212x3.abc重心的軌跡方程為y9x212x3.演練鞏固提升1x2y40解析：(x，y)，(1,2)，則x2y4.點(diǎn)p的軌跡方程為x2y40.2x2y24解析：如圖，延長(zhǎng)f1p交qf2于f1點(diǎn)，連接po.則在f1f2f1中，|po|f2f1|(|qf1|qf2|)(|qf1|qf2|)2，即|po|2，p點(diǎn)的軌跡方程為x2y24.3解：設(shè)m點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，a，b兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(a,0)，(0，b)，則a2b24，又當(dāng)0時(shí)，即(1)2x22y24.(1)若1，則x2y21表示以原點(diǎn)為圓心半徑為1的圓；(2)若1或1，則1表示中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；(3)若01或10