【創(chuàng)新設計】高考數學一輪總復習 第四篇 三角函數、解三角形教案 理 蘇教版(1).doc

第四篇三角函數、解三角形第1講弧度制及任意角的三角函數知 識 梳 理1角的概念(1)任意角：定義：角可以看做平面內的一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形；分類；角按旋轉方向分為正角、負角和零角(2)與角終邊相同的角的集合|k360，kz(3)象限角：使角的頂點為坐標原點，角的始邊為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，那么，角的終邊(除端點外)在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，那么這個角不屬于任何一個象限2弧度制的定義和公式(1)定義：把長度等于半徑的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角弧度記作rad.(2)公式：角的弧度數公式|(弧長用l表示)角度與弧度的換算1rad1 rad弧長公式弧長l|r扇形面積公式slr|r23.任意角的三角函數三角函數正弦余弦正切定義設是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點p(x，y)，那么y叫做的正弦，記作sin x叫做的余弦，記作cos 叫做的正切，記作tan 各象限符號口訣全正，正弦，正切，余弦三角函數線有向線段mp為正弦線有向線段om為余弦線有向線段at為正切線辨 析 感 悟1對角的概念的認識(1)小于90的角是銳角()(2)銳角是第一象限角，反之亦然()(3)將表的分針撥快5分鐘，則分針轉過的角度是30.()(4)相等的角終邊一定相同，終邊相同的角也一定相等()2任意角的三角函數定義的理解(5)(教材練習改編)已知角的終邊經過點p(1,2)，則sin .()(6)(2014濟南模擬改編)點p(tan ，cos )在第三象限，則角的終邊在第二象限()(7)(2011新課標全國卷改編)已知角的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y2x上，則cos .()感悟提升1一個區(qū)別“小于90的角”、“銳角”、“第一象限的角”的區(qū)別如下：小于90的角的范圍：，銳角的范圍：，第一象限角的范圍：(kz)所以說小于90的角不一定是銳角，銳角是第一象限角，反之不成立如(1)、(2)2三個防范一是注意角的正負，特別是表的指針所成的角，如(3)；二是防止角度制與弧度制在同一式子中出現；三是如果角的終邊落在直線上時，所求三角函數值有可能有兩解，如(7)學生用書第46頁考點一象限角與三角函數值的符號判斷【例1】 (1)若sin tan 0，且0，則角是_ (2)sin 2cos 3tan 4的值_0.解析(1)由sin tan 0可知sin ，tan 異號，從而為第二或第三象限的角，由0，可知cos ，tan 異號從而為第三或第四象限角綜上，為第三象限角(2)sin 20，cos 30，tan 40，sin 2cos 3tan 40.答案(1)三(2)規(guī)律方法 熟記各個三角函數在每個象限內的符號是判斷的關鍵，對于已知三角函數式符號判斷角所在象限，可先根據三角函數式的符號確定各三角函數值的符號，再判斷角所在象限【訓練1】 設是第三象限角，且cos ，則是第_象限角解析由是第三象限角，知為第二或第四象限角，cos ，cos 0，知為第二象限角答案二考點二三角函數定義的應用【例2】 已知角的終邊經過點p(，m)(m0)且sin m，試判斷角所在的象限，并求cos 和tan 的值解由題意得，r，sin m.m0，m.故角是第二或第三象限角當m時，r2，點p的坐標為(，)，角是第二象限角，cos ，tan .當m時，r2，點p的坐標為(，)，角是第三象限角cos ，tan .綜上可知，cos ，tan 或cos ，tan .規(guī)律方法 利用三角函數的定義求一個角的三角函數值，需確定三個量：角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標x、縱坐標y、該點到原點的距離r.若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時注意在終邊上任取一點有兩種情況(點所在象限不同)【訓練2】 已知角的終邊在直線3x4y0上，求sin ，cos ，tan 的值解角的終邊在直線3x4y0上，在角的終邊上任取一點p(4t，3t)(t0)，則x4t，y3t，r5|t|，當t0時，r5t，sin ，cos ，tan ；當t0時，r5t，sin ，cos ，tan .綜上可知，sin ，cos ，tan 或sin ，cos ，tan .考點三扇形弧長、面積公式的應用【例3】 已知一扇形的圓心角為(0)，所在圓的半徑為r.(1)若60，r10 cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積；(2)若扇形的周長是一定值c(c0)，當為多少弧度時，該扇形有最大面積？審題路線(1)角度化為弧度求扇形的弧長s弓s扇s分別求s扇lr，sr2sin 計算得s弓(2)由周長c與半徑r的關系確定r與的關系式代入扇形面積公式確定s扇與的關系式求解最值解(1)設弧長為l，弓形面積為s弓，則60，r10，l10(cm)，s弓s扇s10102sin 50(cm2)(2)法一扇形周長c2rl2rr，r，s扇r22.當且僅當24，即2 rad時，扇形面積有最大值.法二由已知，得l2rc，s扇lr(c2r)r(2r2rc)2.故當r(l2r，2 rad)時，這個扇形的面積最大，最大值為.規(guī)律方法 (1)在弧度制下，計算扇形的面積和弧長比在角度制下更方便、簡捷(2)求扇形面積的最值應從扇形面積出發(fā)，在弧度制下使問題轉化為關于的不等式或利用二次函數求最值的方法確定相應最值.學生用書第47頁【訓練3】 (1)一個半徑為r的扇形，若它的周長等于弧所在的半圓的弧長，那么扇形的圓心角是多少弧度？扇形的面積是多少？(2)一扇形的周長為20 cm；當扇形的圓心角等于多少弧度時，這個扇形的面積最大？解(1)設扇形的圓心角為 rad，則扇形的周長是2rr.依題意：2rrr，(2)rad.扇形的面積sr2(2)r2.(2)設扇形的半徑為r，弧長為l，則l2r20，即l202r(0r10)扇形的面積slr(202r)rr210r(r5)225.當r5 cm時，s有最大值25 cm2，此時l10 cm，2 rad.因此，當2 rad時，扇形的面積取最大值1在利用三角函數定義時，點p可取終邊上任一點，如有可能則取終邊與單位圓的交點|op|r一定是正值2三角函數符號是重點，也是難點， 在理解的基礎上可借助口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦3在解簡單的三角不等式時，利用單位圓及三角函數線是一個小技巧 創(chuàng)新突破4以任意角為背景的應用問題【典例】 (2012山東卷)如圖，在平面直角坐標系xoy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0,1)，此時圓上一點p的位置在(0,0)，圓在x軸上沿正向滾動，當圓滾動到圓心位于(2,1)時，的坐標為_突破1：理解點p轉動的弧長是解題的關鍵，在單位圓中可尋找直角三角形突破2：在直角三角形中利用三角函數定義求邊長突破3：由幾何圖形建立p點坐標與邊長的關系解析如圖，作cqx軸，pqcq, q為垂足根據題意得劣弧2，故dcp2，則在pcq中，pcq2，|cq|cos sin 2，|pq|sincos 2，所以p點的橫坐標為2|cq|2sin 2，p點的縱坐標為1|pq|1cos 2，所以p點的坐標為(2sin 2,1cos 2)，故(2sin 2,1cos 2)答案(2sin 2,1cos 2)反思感悟 (1)解決此類問題時應抓住在旋轉過程中角的變化，結合弧長公式、解三角形等知識來解決(2)常見實際應用問題有：表針的旋轉問題、兒童游樂場的摩天輪的旋轉問題等【自主體驗】已知圓o：x2y24與y軸正半軸的交點為m，點m沿圓o順時針運動弧長到達點n，以on為終邊的角記為，則tan _.解析圓的半徑為2，的弧長對應的圓心角為，故以on為終邊的角為，故tan 1.答案1基礎鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、填空題1若sin 0且tan 0，則是第_象限角解析sin 0，則的終邊落在第三、四象限或y軸的負半軸；又tan 0，在第一象限或第三象限，故在第三象限答案三2若1弧度的圓心角所對的弦長等于2，則這個圓心角所對的弧長等于_解析設圓的半徑為r，由題意知rsin 1，r，弧長lr.答案3(2014蘇中聯考)若角與角終邊相同，則在0,2內終邊與角終邊相同的角是_解析由題意，得2k(kz)，(kz)又0,2，所以k0,1,2,3，.答案，4已知點p落在角的終邊上，且0,2)，則的值為_解析由sin 0，cos 0知角是第四象限的角，tan 1，0,2)，.答案5有下列命題：終邊相同的角的同名三角函數的值相等；終邊不同的角的同名三角函數的值不等；若sin 0，則是第一、二象限的角；若是第二象限的角，且p(x，y)是其終邊上一點，則cos .其中正確的命題是_解析正確，不正確，sin sin ，而與角的終邊不相同不正確sin 0，的終邊也可能在y軸的正半軸上不正確在三角函數的定義中，cos ，不論角在平面直角坐標系的任何位置，結論都成立答案6已知角的頂點為坐標原點，始邊為x軸的非負半軸，若p(4，y)是角終邊上一點，且sin ，則y_.解析因為sin ，所以y0，且y264，所以y8.答案87.如圖所示，在平面直角坐標系xoy中，角的終邊與單位圓交于點a，點a的縱坐標為，則cos _.解析因為a點縱坐標ya，且a點在第二象限，又因為圓o為單位圓，所以a點橫坐標xa，由三角函數的定義可得cos .答案8函數y的定義域為_解析2cos x10，cos x.由三角函數線畫出x滿足條件的終邊的范圍(如圖陰影所示)x(kz)答案(kz)二、解答題9(1)寫出與下列各角終邊相同的角的集合s，并把s中適合不等式360720的元素寫出來：60；21.(2)試寫出終邊在直線yx上的角的集合s，并把s中適合不等式180180的元素寫出來解(1)s|60k360，kz，其中適合不等式360720的元素為300，60，420；s|21k360，kz，其中適合不等式360720的元素為21，339，699.(2)終邊在yx上的角的集合是s|k360120，kz|k360300，kz|k180120，kz，其中適合不等式180180的元素為60，120.10(1)已知扇形周長為10，面積是4，求扇形的圓心角；(2)一個扇形oab的面積是1 cm2，它的周長是4 cm，求圓心角的弧度數和弦長ab.解(1)設圓心角是，半徑是r，則解得或(舍去)扇形的圓心角為.(2)設圓的半徑為r cm，弧長為l cm，則解得圓心角2.如圖，過o作ohab于h，則aoh1弧度ah1sin 1sin 1 (cm)，ab2sin 1 (cm)能力提升題組(建議用時：25分鐘)一、填空題1(2014杭州模擬)已知角的終邊經過點(3a9，a2)，且cos 0，sin 0，則實數a的取值范圍是_解析由cos 0，sin 0可知，角的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上，所以有解得2a3.答案(2,32給出下列命題：第二象限角大于第一象限角；三角形的內角是第一象限角或第二象限角；不論用角度制還是用弧度制度量一個角，它們與扇形所在半徑的大小無關；若sin sin ，則與的終邊相同；若cos 0，則是第二或第三象限的角其中正確命題是_解析由于第一象限角370不小于第二象限角100，故錯；當三角形的內角為90時，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故錯；正確；由于sin sin ，但與的終邊不相同，故錯；當，cos 10時，才能把x看作一個整體，代入ysin t的相應單調區(qū)間求解2三個防范一是函數ysin x與ycos x的對稱軸分別是經過其圖象的最高點或最低點且平行于y軸的直線，如ycos x的對稱軸為xk，而不是x2k(kz) 二是對于ytan x不能認為其在定義域上為增函數，應在每個區(qū)間(kz)內為增函數，如(6) 三是函數ysin x與ycos x的最大值為1，最小值為1，不存在一個值使sin x，如(7).考點一三角函數的定義域、值域問題【例1】 (2014廣州模擬)已知函數f(x)，求f(x)的定義域和值域解由cos 2x0得2xk，kz，解得x，kz，所以f(x)的定義域為.f(x)3cos2x1cos 2x.所以f(x)的值域為.學生用書第52頁規(guī)律方法 (1)求三角函數定義域實際上是構造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數線或三角函數圖象來求解(2)三角函數值域的不同求法利用sin x和cos x的值域直接求把形如yasin xbcos x的三角函數化為yasin(x)的形式求值域利用sin xcos x和sin xcos x的關系轉換成二次函數求值域【訓練1】 (1)函數y的定義域為_(2)當x時，函數y3sin x2cos2x的最小值是_，最大值是_解析(1)法一要使函數有意義，必須使sin xcos x0.利用圖象，在同一坐標系中畫出0,2上ysin x和ycos x的圖象，如圖所示在0,2內，滿足sin xcos x的x為，再結合正弦、余弦函數的周期是2，所以原函數的定義域為.法二利用三角函數線，畫出滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)定義域為.法三sin xcos xsin0，將x視為一個整體，由正弦函數ysin x的圖象和性質可知2kx2k，kz，解得2kx2k，kz.所以定義域為.(2)y3sin x2cos2x3sin x2(1sin2x)2sin2 xsin x1，令sin xt，y2t2t122，t，ymin，ymax2.答案(1)(2)2考點二三角函數的奇偶性、周期性和對稱性【例2】 (1)函數y2cos21的最小正周期是_奇 偶性為_(2)函數y2sin(3x)的一條對稱軸為x，則_.解析(1)y2cos21cossin 2x為奇函數，t.(2)由ysin x的對稱軸為xk(kz)，所以3k(kz)，得k(kz)，又|，k0，故.答案(1)奇函數(2)規(guī)律方法 (1)求最小正周期時可先把所給三角函數式化為yasin(x)或yacos( x)的形式，則最小正周期為t；奇偶性的判斷關鍵是解析式是否為yasin x或yacos xb的形式(2)求f(x)asin(x)(0)的對稱軸，只需令xk(kz)，求x；求f(x)的對稱中心的橫坐標，只需令xk(kz)即可【訓練2】 (1)已知函數f(x)sin(xr)，下面結論正確的是_函數f(x)的最小正周期為函數f(x)是偶函數函數f(x)的圖象關于直線x對稱函數f(x)在區(qū)間上是增函數(2)如果函數y3cos(2x)的圖象關于點中心對稱，那么|的最小值為_解析(1)f(x)sincos 2x，故其最小正周期為，正確；易知函數f(x)是偶函數，正確；由函數f(x)cos 2x的圖象可知，函數f(x)的圖象不關于直線x對稱，錯誤；由函數f(x)的圖象易知，函數f(x)在上是增函數，正確故正確的為.(2)由題意得3cos3cos3cos0，k，kz，k，kz，取k0，得|的最小值為.答案(1)(2)考點三三角函數的單調性【例3】 (2014臨沂月考)設函數f(x)sin(2x)(0)，yf(x)圖象的一條對稱軸是直線x.(1)求；(2)求函數yf(x)的單調區(qū)間審題路線令(2)k，kz解得？又0得出值把f(x)sin(2x)，化為f(x)sin(2x)令g(x)sin(2x)求出g(x)的單調區(qū)間利用f(x)與g(x)的關系求f(x)的單調區(qū)間解(1)令(2)k，kz，k，kz，又0，.(2)由(1)得f(x)sinsin，令g(x)sin，由2k2x2k，kz，得kxk，kz，即g(x)的單調增區(qū)間為，kz；由2k2x2k，kz，得kxk，kz，即g(x)的單調減區(qū)間為(kz)，故f(x)的單調增區(qū)間為(kz)；單調減區(qū)間為(kz)規(guī)律方法 求較為復雜的三角函數的單調區(qū)間時，首先化簡成yasin(x)形式，再求yasin(x)的單調區(qū)間，只需把x看作一個整體代入ysin x的相應單調區(qū)間內即可，注意要先把化為正數【訓練3】 (2012北京卷)已知函數f(x).(1)求f(x)的定義域及最小正周期；(2)求f(x)的單調遞減區(qū)間解(1)由sin x0，得xk(kz)，故f(x)的定義域為x|xr，且xk，kz，因為f(x)2cos x(sin xcos x)sin 2xcos 2x1sin1，所以f(x)的最小正周期t.(2)將2x看做一個整體，根據ysin x的單調遞減區(qū)間列不等式求解函數ysin x的單調遞減區(qū)間為2k，2k(kz)由2k2x2k，且xk(kz)，得kxk(kz)所以f(x)的單調遞減區(qū)間為(kz)1求三角函數的定義域應注意利用三角函數線或者三角函數圖象2判斷函數奇偶性，應先判定函數定義域的對稱性，注意偶函數的和、差、積、商仍為偶函數；復合函數在復合過程中，對每個函數而言，一偶則偶，同奇則奇3三角函數單調區(qū)間的確定，一般先將函數式化為基本三角函數標準式，然后通過同解變形或利用數形結合方法求解對復合函數單調區(qū)間的確定，應明確是對復合過程中的每一個函數而言，同增同減則為增，一增一減則為減4求三角函數式的最小正周期時，要盡可能地化為只含一個三角函數的式子，否則很容易出現錯誤一般地，經過恒等變形成“yasin(x)，yacos(x)，yatan(x)”的形式，再利用周期公式即可學生用書第53頁答題模板5三角函數的最值(或值域)問題【典例】 (12分)(2013陜西卷)已知向量a，b(sin x，cos 2x)，xr，設函數f(x)ab.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在上的最大值和最小值規(guī)范解答f(x)(sin x，cos 2x)cos xsin xcos 2x，(2分)sin 2xcos 2xsin.(4分)(1)f(x)的最小正周期為t，即函數f(x)的最小正周期為.(6分)(2)0x，2x.(8分)由正弦函數的性質，得當2x，即x時，f(x)取得最大值1.當2x，即x0時，f(0)，當2x，即x時，f，f(x)的最小值為.(11分)因此，f(x)在上最大值是1，最小值是.(12分)反思感悟 求解三角函數的最值(或值域)時一定要注意自變量的取值范圍，由于三角函數的周期性，正弦函數、余弦函數的最大值和最小值可能不在自變量區(qū)間的端點處取得，因此要把這兩個最值點弄清楚如本例中有學生直接把x0和x代入求得最值，這顯然是錯誤的答題模板求函數f(x)asin(x)在區(qū)間a，b上值域的一般步驟：第一步：三角函數式的化簡，一般化成形如yasin(x)k的形式或yacos(x)k的形式第二步：由x的取值范圍確定x的取值范圍，再確定sin(x)(或cos(x)的取值范圍第三步：求出所求函數的值域(或最值)【自主體驗】已知函數f(x)cos2sinsin.(1)求函數f(x)的最小正周期和圖象的對稱軸；(2)求函數f(x)在區(qū)間上的值域解(1)f(x)cos2sinsincos 2xsin 2x(sin xcos x)(sin xcos x)cos 2xsin 2xsin2xcos2xcos 2xsin 2xcos 2xsin.最小正周期t，由2xk(kz)，得x(kz)函數圖象的對稱軸為x(kz)(2)x，2x，sin1.即函數f(x)在區(qū)間上的值域為.基礎鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、填空題1函數ylg(sin x)的定義域為_解析要使函數有意義必須有即解得2kx2k(kz)，函數的定義域為.答案(kz)2函數y(0x)的最小值為_解析令sin xt(0,1，則函數y1，t(0,1又y1在t(0,1上是減函數，所以當t1時，y取得最小值2.答案23函數f(x)2sin xcos x的最小正周期是_，奇偶性為_解析f(x)2sin xcos xsin 2x，即函數為最小正周期為的奇函數答案奇函數4(2014徐州聯考)已知函數f(x)sin 1(0)的最小正周期為，則f(x)的圖象的一條對稱軸方程是_x；x；x；x解析依題意得，|3，又0，因此3，所以3xk，解得x，當k0時，x.因此函數f(x)的圖象的一條對稱軸方程是x.答案5已知函數f(x)sin(x)cos(x)是偶函數，則的值為_解析據已知可得f(x)2sin，若函數為偶函數，則必有k(kz)，又由于，故有，解得，經代入檢驗符合題意答案6(2014濟南調研)已知f(x)sin2 xsin xcos x，則f(x)的最小正周期和單調增區(qū)間分別為_、_.解析由f(x)sin2xsin xcos xsin 2xsin.t.又2k2x2k，kxk(kz)為函數的單調遞增區(qū)間答案k，k(kz)7(2014三明模擬)已知函數f(x)2sin(x)對任意x都有ff，則f等于_解析由ff知，函數圖象關于x對稱，f是函數f(x)的最大值或最小值答案2或28已知函數f(x)3sin(x)(0)和g(x)3cos(2