【創(chuàng)新設(shè)計】高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第四篇 三角函數(shù)、解三角形教案 理 蘇教版(1).doc

第四篇三角函數(shù)、解三角形第1講弧度制及任意角的三角函數(shù)知 識 梳 理1角的概念(1)任意角：定義：角可以看做平面內(nèi)的一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形；分類；角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角(2)與角終邊相同的角的集合|k360，kz(3)象限角：使角的頂點為坐標(biāo)原點，角的始邊為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，那么，角的終邊(除端點外)在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么這個角不屬于任何一個象限2弧度制的定義和公式(1)定義：把長度等于半徑的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角弧度記作rad.(2)公式：角的弧度數(shù)公式|(弧長用l表示)角度與弧度的換算1rad1 rad弧長公式弧長l|r扇形面積公式slr|r23.任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點p(x，y)，那么y叫做的正弦，記作sin x叫做的余弦，記作cos 叫做的正切，記作tan 各象限符號口訣全正，正弦，正切，余弦三角函數(shù)線有向線段mp為正弦線有向線段om為余弦線有向線段at為正切線辨 析 感 悟1對角的概念的認(rèn)識(1)小于90的角是銳角()(2)銳角是第一象限角，反之亦然()(3)將表的分針撥快5分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角度是30.()(4)相等的角終邊一定相同，終邊相同的角也一定相等()2任意角的三角函數(shù)定義的理解(5)(教材練習(xí)改編)已知角的終邊經(jīng)過點p(1,2)，則sin .()(6)(2014濟南模擬改編)點p(tan ，cos )在第三象限，則角的終邊在第二象限()(7)(2011新課標(biāo)全國卷改編)已知角的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y2x上，則cos .()感悟提升1一個區(qū)別“小于90的角”、“銳角”、“第一象限的角”的區(qū)別如下：小于90的角的范圍：，銳角的范圍：，第一象限角的范圍：(kz)所以說小于90的角不一定是銳角，銳角是第一象限角，反之不成立如(1)、(2)2三個防范一是注意角的正負(fù)，特別是表的指針?biāo)傻慕?，?3)；二是防止角度制與弧度制在同一式子中出現(xiàn)；三是如果角的終邊落在直線上時，所求三角函數(shù)值有可能有兩解，如(7)學(xué)生用書第46頁考點一象限角與三角函數(shù)值的符號判斷【例1】 (1)若sin tan 0，且0，則角是_ (2)sin 2cos 3tan 4的值_0.解析(1)由sin tan 0可知sin ，tan 異號，從而為第二或第三象限的角，由0，可知cos ，tan 異號從而為第三或第四象限角綜上，為第三象限角(2)sin 20，cos 30，tan 40，sin 2cos 3tan 40.答案(1)三(2)規(guī)律方法 熟記各個三角函數(shù)在每個象限內(nèi)的符號是判斷的關(guān)鍵，對于已知三角函數(shù)式符號判斷角所在象限，可先根據(jù)三角函數(shù)式的符號確定各三角函數(shù)值的符號，再判斷角所在象限【訓(xùn)練1】 設(shè)是第三象限角，且cos ，則是第_象限角解析由是第三象限角，知為第二或第四象限角，cos ，cos 0，知為第二象限角答案二考點二三角函數(shù)定義的應(yīng)用【例2】 已知角的終邊經(jīng)過點p(，m)(m0)且sin m，試判斷角所在的象限，并求cos 和tan 的值解由題意得，r，sin m.m0，m.故角是第二或第三象限角當(dāng)m時，r2，點p的坐標(biāo)為(，)，角是第二象限角，cos ，tan .當(dāng)m時，r2，點p的坐標(biāo)為(，)，角是第三象限角cos ，tan .綜上可知，cos ，tan 或cos ，tan .規(guī)律方法 利用三角函數(shù)的定義求一個角的三角函數(shù)值，需確定三個量：角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y、該點到原點的距離r.若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時注意在終邊上任取一點有兩種情況(點所在象限不同)【訓(xùn)練2】 已知角的終邊在直線3x4y0上，求sin ，cos ，tan 的值解角的終邊在直線3x4y0上，在角的終邊上任取一點p(4t，3t)(t0)，則x4t，y3t，r5|t|，當(dāng)t0時，r5t，sin ，cos ，tan ；當(dāng)t0時，r5t，sin ，cos ，tan .綜上可知，sin ，cos ，tan 或sin ，cos ，tan .考點三扇形弧長、面積公式的應(yīng)用【例3】 已知一扇形的圓心角為(0)，所在圓的半徑為r.(1)若60，r10 cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積；(2)若扇形的周長是一定值c(c0)，當(dāng)為多少弧度時，該扇形有最大面積？審題路線(1)角度化為弧度求扇形的弧長s弓s扇s分別求s扇lr，sr2sin 計算得s弓(2)由周長c與半徑r的關(guān)系確定r與的關(guān)系式代入扇形面積公式確定s扇與的關(guān)系式求解最值解(1)設(shè)弧長為l，弓形面積為s弓，則60，r10，l10(cm)，s弓s扇s10102sin 50(cm2)(2)法一扇形周長c2rl2rr，r，s扇r22.當(dāng)且僅當(dāng)24，即2 rad時，扇形面積有最大值.法二由已知，得l2rc，s扇lr(c2r)r(2r2rc)2.故當(dāng)r(l2r，2 rad)時，這個扇形的面積最大，最大值為.規(guī)律方法 (1)在弧度制下，計算扇形的面積和弧長比在角度制下更方便、簡捷(2)求扇形面積的最值應(yīng)從扇形面積出發(fā)，在弧度制下使問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式或利用二次函數(shù)求最值的方法確定相應(yīng)最值.學(xué)生用書第47頁【訓(xùn)練3】 (1)一個半徑為r的扇形，若它的周長等于弧所在的半圓的弧長，那么扇形的圓心角是多少弧度？扇形的面積是多少？(2)一扇形的周長為20 cm；當(dāng)扇形的圓心角等于多少弧度時，這個扇形的面積最大？解(1)設(shè)扇形的圓心角為 rad，則扇形的周長是2rr.依題意：2rrr，(2)rad.扇形的面積sr2(2)r2.(2)設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，則l2r20，即l202r(0r10)扇形的面積slr(202r)rr210r(r5)225.當(dāng)r5 cm時，s有最大值25 cm2，此時l10 cm，2 rad.因此，當(dāng)2 rad時，扇形的面積取最大值1在利用三角函數(shù)定義時，點p可取終邊上任一點，如有可能則取終邊與單位圓的交點|op|r一定是正值2三角函數(shù)符號是重點，也是難點， 在理解的基礎(chǔ)上可借助口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦3在解簡單的三角不等式時，利用單位圓及三角函數(shù)線是一個小技巧 創(chuàng)新突破4以任意角為背景的應(yīng)用問題【典例】 (2012山東卷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0,1)，此時圓上一點p的位置在(0,0)，圓在x軸上沿正向滾動，當(dāng)圓滾動到圓心位于(2,1)時，的坐標(biāo)為_突破1：理解點p轉(zhuǎn)動的弧長是解題的關(guān)鍵，在單位圓中可尋找直角三角形突破2：在直角三角形中利用三角函數(shù)定義求邊長突破3：由幾何圖形建立p點坐標(biāo)與邊長的關(guān)系解析如圖，作cqx軸，pqcq, q為垂足根據(jù)題意得劣弧2，故dcp2，則在pcq中，pcq2，|cq|cos sin 2，|pq|sincos 2，所以p點的橫坐標(biāo)為2|cq|2sin 2，p點的縱坐標(biāo)為1|pq|1cos 2，所以p點的坐標(biāo)為(2sin 2,1cos 2)，故(2sin 2,1cos 2)答案(2sin 2,1cos 2)反思感悟 (1)解決此類問題時應(yīng)抓住在旋轉(zhuǎn)過程中角的變化，結(jié)合弧長公式、解三角形等知識來解決(2)常見實際應(yīng)用問題有：表針的旋轉(zhuǎn)問題、兒童游樂場的摩天輪的旋轉(zhuǎn)問題等【自主體驗】已知圓o：x2y24與y軸正半軸的交點為m，點m沿圓o順時針運動弧長到達(dá)點n，以on為終邊的角記為，則tan _.解析圓的半徑為2，的弧長對應(yīng)的圓心角為，故以on為終邊的角為，故tan 1.答案1基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、填空題1若sin 0且tan 0，則是第_象限角解析sin 0，則的終邊落在第三、四象限或y軸的負(fù)半軸；又tan 0，在第一象限或第三象限，故在第三象限答案三2若1弧度的圓心角所對的弦長等于2，則這個圓心角所對的弧長等于_解析設(shè)圓的半徑為r，由題意知rsin 1，r，弧長lr.答案3(2014蘇中聯(lián)考)若角與角終邊相同，則在0,2內(nèi)終邊與角終邊相同的角是_解析由題意，得2k(kz)，(kz)又0,2，所以k0,1,2,3，.答案，4已知點p落在角的終邊上，且0,2)，則的值為_解析由sin 0，cos 0知角是第四象限的角，tan 1，0,2)，.答案5有下列命題：終邊相同的角的同名三角函數(shù)的值相等；終邊不同的角的同名三角函數(shù)的值不等；若sin 0，則是第一、二象限的角；若是第二象限的角，且p(x，y)是其終邊上一點，則cos .其中正確的命題是_解析正確，不正確，sin sin ，而與角的終邊不相同不正確sin 0，的終邊也可能在y軸的正半軸上不正確在三角函數(shù)的定義中，cos ，不論角在平面直角坐標(biāo)系的任何位置，結(jié)論都成立答案6已知角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊為x軸的非負(fù)半軸，若p(4，y)是角終邊上一點，且sin ，則y_.解析因為sin ，所以y0，且y264，所以y8.答案87.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，角的終邊與單位圓交于點a，點a的縱坐標(biāo)為，則cos _.解析因為a點縱坐標(biāo)ya，且a點在第二象限，又因為圓o為單位圓，所以a點橫坐標(biāo)xa，由三角函數(shù)的定義可得cos .答案8函數(shù)y的定義域為_解析2cos x10，cos x.由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊的范圍(如圖陰影所示)x(kz)答案(kz)二、解答題9(1)寫出與下列各角終邊相同的角的集合s，并把s中適合不等式360720的元素寫出來：60；21.(2)試寫出終邊在直線yx上的角的集合s，并把s中適合不等式180180的元素寫出來解(1)s|60k360，kz，其中適合不等式360720的元素為300，60，420；s|21k360，kz，其中適合不等式360720的元素為21，339，699.(2)終邊在yx上的角的集合是s|k360120，kz|k360300，kz|k180120，kz，其中適合不等式180180的元素為60，120.10(1)已知扇形周長為10，面積是4，求扇形的圓心角；(2)一個扇形oab的面積是1 cm2，它的周長是4 cm，求圓心角的弧度數(shù)和弦長ab.解(1)設(shè)圓心角是，半徑是r，則解得或(舍去)扇形的圓心角為.(2)設(shè)圓的半徑為r cm，弧長為l cm，則解得圓心角2.如圖，過o作ohab于h，則aoh1弧度ah1sin 1sin 1 (cm)，ab2sin 1 (cm)能力提升題組(建議用時：25分鐘)一、填空題1(2014杭州模擬)已知角的終邊經(jīng)過點(3a9，a2)，且cos 0，sin 0，則實數(shù)a的取值范圍是_解析由cos 0，sin 0可知，角的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上，所以有解得2a3.答案(2,32給出下列命題：第二象限角大于第一象限角；三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角；不論用角度制還是用弧度制度量一個角，它們與扇形所在半徑的大小無關(guān)；若sin sin ，則與的終邊相同；若cos 0，則是第二或第三象限的角其中正確命題是_解析由于第一象限角370不小于第二象限角100，故錯；當(dāng)三角形的內(nèi)角為90時，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故錯；正確；由于sin sin ，但與的終邊不相同，故錯；當(dāng)，cos 10時，才能把x看作一個整體，代入ysin t的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間求解2三個防范一是函數(shù)ysin x與ycos x的對稱軸分別是經(jīng)過其圖象的最高點或最低點且平行于y軸的直線，如ycos x的對稱軸為xk，而不是x2k(kz) 二是對于ytan x不能認(rèn)為其在定義域上為增函數(shù)，應(yīng)在每個區(qū)間(kz)內(nèi)為增函數(shù)，如(6) 三是函數(shù)ysin x與ycos x的最大值為1，最小值為1，不存在一個值使sin x，如(7).考點一三角函數(shù)的定義域、值域問題【例1】 (2014廣州模擬)已知函數(shù)f(x)，求f(x)的定義域和值域解由cos 2x0得2xk，kz，解得x，kz，所以f(x)的定義域為.f(x)3cos2x1cos 2x.所以f(x)的值域為.學(xué)生用書第52頁規(guī)律方法 (1)求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解(2)三角函數(shù)值域的不同求法利用sin x和cos x的值域直接求把形如yasin xbcos x的三角函數(shù)化為yasin(x)的形式求值域利用sin xcos x和sin xcos x的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域【訓(xùn)練1】 (1)函數(shù)y的定義域為_(2)當(dāng)x時，函數(shù)y3sin x2cos2x的最小值是_，最大值是_解析(1)法一要使函數(shù)有意義，必須使sin xcos x0.利用圖象，在同一坐標(biāo)系中畫出0,2上ysin x和ycos x的圖象，如圖所示在0,2內(nèi)，滿足sin xcos x的x為，再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2，所以原函數(shù)的定義域為.法二利用三角函數(shù)線，畫出滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)定義域為.法三sin xcos xsin0，將x視為一個整體，由正弦函數(shù)ysin x的圖象和性質(zhì)可知2kx2k，kz，解得2kx2k，kz.所以定義域為.(2)y3sin x2cos2x3sin x2(1sin2x)2sin2 xsin x1，令sin xt，y2t2t122，t，ymin，ymax2.答案(1)(2)2考點二三角函數(shù)的奇偶性、周期性和對稱性【例2】 (1)函數(shù)y2cos21的最小正周期是_奇 偶性為_(2)函數(shù)y2sin(3x)的一條對稱軸為x，則_.解析(1)y2cos21cossin 2x為奇函數(shù)，t.(2)由ysin x的對稱軸為xk(kz)，所以3k(kz)，得k(kz)，又|，k0，故.答案(1)奇函數(shù)(2)規(guī)律方法 (1)求最小正周期時可先把所給三角函數(shù)式化為yasin(x)或yacos( x)的形式，則最小正周期為t；奇偶性的判斷關(guān)鍵是解析式是否為yasin x或yacos xb的形式(2)求f(x)asin(x)(0)的對稱軸，只需令xk(kz)，求x；求f(x)的對稱中心的橫坐標(biāo)，只需令xk(kz)即可【訓(xùn)練2】 (1)已知函數(shù)f(x)sin(xr)，下面結(jié)論正確的是_函數(shù)f(x)的最小正周期為函數(shù)f(x)是偶函數(shù)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x對稱函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)(2)如果函數(shù)y3cos(2x)的圖象關(guān)于點中心對稱，那么|的最小值為_解析(1)f(x)sincos 2x，故其最小正周期為，正確；易知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，正確；由函數(shù)f(x)cos 2x的圖象可知，函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于直線x對稱，錯誤；由函數(shù)f(x)的圖象易知，函數(shù)f(x)在上是增函數(shù)，正確故正確的為.(2)由題意得3cos3cos3cos0，k，kz，k，kz，取k0，得|的最小值為.答案(1)(2)考點三三角函數(shù)的單調(diào)性【例3】 (2014臨沂月考)設(shè)函數(shù)f(x)sin(2x)(0)，yf(x)圖象的一條對稱軸是直線x.(1)求；(2)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間審題路線令(2)k，kz解得？又0得出值把f(x)sin(2x)，化為f(x)sin(2x)令g(x)sin(2x)求出g(x)的單調(diào)區(qū)間利用f(x)與g(x)的關(guān)系求f(x)的單調(diào)區(qū)間解(1)令(2)k，kz，k，kz，又0，.(2)由(1)得f(x)sinsin，令g(x)sin，由2k2x2k，kz，得kxk，kz，即g(x)的單調(diào)增區(qū)間為，kz；由2k2x2k，kz，得kxk，kz，即g(x)的單調(diào)減區(qū)間為(kz)，故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(kz)；單調(diào)減區(qū)間為(kz)規(guī)律方法 求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先化簡成yasin(x)形式，再求yasin(x)的單調(diào)區(qū)間，只需把x看作一個整體代入ysin x的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把化為正數(shù)【訓(xùn)練3】 (2012北京卷)已知函數(shù)f(x).(1)求f(x)的定義域及最小正周期；(2)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間解(1)由sin x0，得xk(kz)，故f(x)的定義域為x|xr，且xk，kz，因為f(x)2cos x(sin xcos x)sin 2xcos 2x1sin1，所以f(x)的最小正周期t.(2)將2x看做一個整體，根據(jù)ysin x的單調(diào)遞減區(qū)間列不等式求解函數(shù)ysin x的單調(diào)遞減區(qū)間為2k，2k(kz)由2k2x2k，且xk(kz)，得kxk(kz)所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(kz)1求三角函數(shù)的定義域應(yīng)注意利用三角函數(shù)線或者三角函數(shù)圖象2判斷函數(shù)奇偶性，應(yīng)先判定函數(shù)定義域的對稱性，注意偶函數(shù)的和、差、積、商仍為偶函數(shù)；復(fù)合函數(shù)在復(fù)合過程中，對每個函數(shù)而言，一偶則偶，同奇則奇3三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定，一般先將函數(shù)式化為基本三角函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)式，然后通過同解變形或利用數(shù)形結(jié)合方法求解對復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定，應(yīng)明確是對復(fù)合過程中的每一個函數(shù)而言，同增同減則為增，一增一減則為減4求三角函數(shù)式的最小正周期時，要盡可能地化為只含一個三角函數(shù)的式子，否則很容易出現(xiàn)錯誤一般地，經(jīng)過恒等變形成“yasin(x)，yacos(x)，yatan(x)”的形式，再利用周期公式即可學(xué)生用書第53頁答題模板5三角函數(shù)的最值(或值域)問題【典例】 (12分)(2013陜西卷)已知向量a，b(sin x，cos 2x)，xr，設(shè)函數(shù)f(x)ab.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在上的最大值和最小值規(guī)范解答f(x)(sin x，cos 2x)cos xsin xcos 2x，(2分)sin 2xcos 2xsin.(4分)(1)f(x)的最小正周期為t，即函數(shù)f(x)的最小正周期為.(6分)(2)0x，2x.(8分)由正弦函數(shù)的性質(zhì)，得當(dāng)2x，即x時，f(x)取得最大值1.當(dāng)2x，即x0時，f(0)，當(dāng)2x，即x時，f，f(x)的最小值為.(11分)因此，f(x)在上最大值是1，最小值是.(12分)反思感悟 求解三角函數(shù)的最值(或值域)時一定要注意自變量的取值范圍，由于三角函數(shù)的周期性，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值和最小值可能不在自變量區(qū)間的端點處取得，因此要把這兩個最值點弄清楚如本例中有學(xué)生直接把x0和x代入求得最值，這顯然是錯誤的答題模板求函數(shù)f(x)asin(x)在區(qū)間a，b上值域的一般步驟：第一步：三角函數(shù)式的化簡，一般化成形如yasin(x)k的形式或yacos(x)k的形式第二步：由x的取值范圍確定x的取值范圍，再確定sin(x)(或cos(x)的取值范圍第三步：求出所求函數(shù)的值域(或最值)【自主體驗】已知函數(shù)f(x)cos2sinsin.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和圖象的對稱軸；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域解(1)f(x)cos2sinsincos 2xsin 2x(sin xcos x)(sin xcos x)cos 2xsin 2xsin2xcos2xcos 2xsin 2xcos 2xsin.最小正周期t，由2xk(kz)，得x(kz)函數(shù)圖象的對稱軸為x(kz)(2)x，2x，sin1.即函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域為.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、填空題1函數(shù)ylg(sin x)的定義域為_解析要使函數(shù)有意義必須有即解得2kx2k(kz)，函數(shù)的定義域為.答案(kz)2函數(shù)y(0x)的最小值為_解析令sin xt(0,1，則函數(shù)y1，t(0,1又y1在t(0,1上是減函數(shù)，所以當(dāng)t1時，y取得最小值2.答案23函數(shù)f(x)2sin xcos x的最小正周期是_，奇偶性為_解析f(x)2sin xcos xsin 2x，即函數(shù)為最小正周期為的奇函數(shù)答案奇函數(shù)4(2014徐州聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)sin 1(0)的最小正周期為，則f(x)的圖象的一條對稱軸方程是_x；x；x；x解析依題意得，|3，又0，因此3，所以3xk，解得x，當(dāng)k0時，x.因此函數(shù)f(x)的圖象的一條對稱軸方程是x.答案5已知函數(shù)f(x)sin(x)cos(x)是偶函數(shù)，則的值為_解析據(jù)已知可得f(x)2sin，若函數(shù)為偶函數(shù)，則必有k(kz)，又由于，故有，解得，經(jīng)代入檢驗符合題意答案6(2014濟南調(diào)研)已知f(x)sin2 xsin xcos x，則f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間分別為_、_.解析由f(x)sin2xsin xcos xsin 2xsin.t.又2k2x2k，kxk(kz)為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間答案k，k(kz)7(2014三明模擬)已知函數(shù)f(x)2sin(x)對任意x都有ff，則f等于_解析由ff知，函數(shù)圖象關(guān)于x對稱，f是函數(shù)f(x)的最大值或最小值答案2或28已知函數(shù)f(x)3sin(x)(0)和g(x)3cos(2