吉林省長春市東北師范大學(xué)附屬中學(xué)2019屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期大練習(xí)試題（九）文（含解析）.docx

吉林省長春市東北師范大學(xué)附屬中學(xué)2019屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期大練習(xí)試題（九）文（含解析）一、選擇題.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，則的元素個數(shù)為（ ）A. 0B. 2C. 3D. 5【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)的定義可以求出交集，然后判斷交集的元素的個數(shù)?！驹斀狻恳?yàn)?，所以的元素個數(shù)為2個，故本題選B?！军c(diǎn)睛】本題考查了集合交集運(yùn)算、以及集合元素個數(shù)。2.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】試題分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算可知，可知的模為，故本題正確選項(xiàng)為A.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)的模.3.函數(shù)的最小正周期為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】把，化成或者形式，然后根據(jù)公式,可以直接求解?！驹斀狻坑?，可得：，所以本題選A?！军c(diǎn)睛】本題考查了余弦的二倍角公式、輔助角公式、周期公式。4.已知向量，若，則（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】利用坐標(biāo)表示出，根據(jù)垂直關(guān)系可知，解方程求得結(jié)果.【詳解】， ，解得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.5.若雙曲線一條漸近線方程為，則其離心率為（ ）A. B. C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】由漸近線方程可以知道的關(guān)系，再利用這個關(guān)系，可以求出的關(guān)系，也就可以求出離心率。【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為，所以有，即，而，所以有，故本題選B?！军c(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程、離心率、三者之間的關(guān)系。6.已知一個空間幾何體三視圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示，則該幾何體的體積是（ ）A. 1B. C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】通過三視圖可以知道該幾何體是底面是直角三角形的直三棱柱，根據(jù)棱柱的體積公式，直接求解?！驹斀狻客ㄟ^三視圖可知，該幾何體是直三棱柱，其底面是直角邊邊長分別為的直角三角形，高為，故本題選B?！军c(diǎn)睛】本題考查了通過三視圖判斷出幾何體的形狀、并求出其體積。7.若、滿足約束條件，則的最小值為（ ）A. 0B. -1C. -2D. -3【答案】C【解析】【分析】畫出可行解域，畫出直線，平移直線，找到使直線在軸截距最大的點(diǎn)，把坐標(biāo)代入即可求出的最小值?！驹斀狻慨嫵隹尚薪庥蛉缦聢D：平移直線 ，當(dāng)經(jīng)過交點(diǎn)時，直線在軸截距最大，即有最小值，最小值為，故本題選C。【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃問題，解決此類問題的關(guān)鍵是畫出正確的可行解域.8.已知， 則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)單調(diào)性可知；利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性和冪函數(shù)單調(diào)性可知、，利用作商法可比較出的大小關(guān)系，從而得到結(jié)果.【詳解】，即，即，即 綜上所述：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)單調(diào)性比較大小的問題，涉及到作商法比較大小.9.在數(shù)學(xué)解題中，常會碰到形如“”的結(jié)構(gòu)，這時可類比正切的和角公式.如：設(shè)是非零實(shí)數(shù)，且滿足，則（ ）A. 4B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】已知， 對左邊分式的分子分母同時除以，令=tan,構(gòu)造成“”的結(jié)構(gòu)，利用正切的和角公式化簡，然后求出tan的值?！驹斀狻坎坏扔诹?，令=tan，所以，故本題選D。【點(diǎn)睛】本題考查了兩角和的正切公式。本題重點(diǎn)考查了類比構(gòu)造法。10.我國古代名著莊子天下篇中有一句名言“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，其意思為：一尺的木棍，每天截取一半，永遠(yuǎn)都截不完.現(xiàn)將該木棍依此規(guī)律截取，如圖所示的程序框圖的功能就是計(jì)算截取20天后所剩木棍的長度（單位：尺），則處可分別填入的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】先由第一天剩余的情況確定循環(huán)體，再由結(jié)束條件確定循環(huán)條件即可.【詳解】根據(jù)題意可知，第一天，所以滿足，不滿足，故排除AB，由框圖可知，計(jì)算第二十天的剩余時，有，且，所以循環(huán)條件應(yīng)該是.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的實(shí)際應(yīng)用問題，把握好循環(huán)體與循環(huán)條件是解決此題的關(guān)鍵，屬于中檔題.11.從分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)字不大于第二張卡片的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】設(shè)第一張卡片上的數(shù)字為，第二張卡片的數(shù)字為，問題求的是，首先考慮分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，有多少種可能，再求出的可能性有多少種，然后求出.【詳解】設(shè)第一張卡片上的數(shù)字為，第二張卡片的數(shù)字為， 分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，共有種情況，當(dāng)時，可能的情況如下表：個數(shù)11，2，3，4，5522，3，4，5433，4，5344，52551，故本題選C.【點(diǎn)睛】本題考查用列舉法求概率，本問題可以看成有放回取球問題.12.已知點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，射線與拋物線相交于點(diǎn)，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn).若，則的值為（ ）A. B. C. 1D. 4【答案】D【解析】依題意點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)在準(zhǔn)線上的射影為，由拋物線的定義知 ，則 ， ，求得 ，故選D.二、填空題。13.已知函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)的最大值為_ .【答案】【解析】【分析】對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值?！驹斀狻恳?yàn)?，所以函?shù)是上的增函數(shù)，故當(dāng)時，函數(shù)的最大值為?！军c(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最大值問題。14.已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時，則的值為 _【答案】【解析】【分析】先求出的值，設(shè)為，判斷是否大于零，如果大于零，直接求出的值，如果不大于零，那么根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行求解?！驹斀狻? ， 函數(shù)是奇函數(shù)，所以的值為?！军c(diǎn)睛】本題考查了奇函數(shù)性質(zhì)、對數(shù)的運(yùn)算。15.已知直三棱柱的6個頂點(diǎn)都在球的球面上，若，則球 的表面積為_【答案】【解析】【分析】直三棱柱中，底面是直角三角形，可以補(bǔ)成長方體，求出長方體的對角線，就可以求出外接球的直徑，最后求出球的表面積?！驹斀狻恐比庵?，底面是直角三角形，可以補(bǔ)成長方體，如下圖所示：,所以球的直徑為6，球的表面積為。【點(diǎn)睛】本題考查了利用補(bǔ)形法求直三棱柱外接球的表面積。16.在中，已知，給出下列結(jié)論：由已知條件，這個三角形被唯一確定；一定是鈍角三角形；若，則的面積是.其中正確結(jié)論的序號是 _【答案】【解析】【分析】根據(jù)正弦定理及三角形面積公式，余弦定理，逐一分析選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)?bc)(ca)(ab)456，設(shè)，可解得，對于，邊長不確定，所以錯誤，對于由余弦定理，可知A為鈍角，ABC一定是鈍角三角形，所以正確，對于由正弦定理知,正確，對于由，又,故錯誤.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理及余弦定理，三角形面積公式求面積，屬于中檔題.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知等差數(shù)列中，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的前項(xiàng)和.【答案】（1）或.（2）或.【解析】【分析】通過等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出的表達(dá)式，然后代入，中，得到方程組，解這個方程組，求出。（1）已知的值，直接代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式中，求出的通項(xiàng)公式（2）已知的值，直接代入等差數(shù)列前項(xiàng)和公式中，求出的前項(xiàng)和?！驹斀狻拷猓涸O(shè)的公差為，則，即，解得，或，（1），.（2），或.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列基本量的求法、通項(xiàng)公式、等差數(shù)列前項(xiàng)和。18.如圖所示，四棱錐中，底面，為線段上一點(diǎn)，.（1）證明：平面；（2）求四面體的體積.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）想要證明線面平行，就要證線線平行。取的中點(diǎn)，可以證明，進(jìn)一步可以證明，這樣根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可以得到線線平行，命題得證；（2）根據(jù)平面，為的中點(diǎn)，可以求出到平面的距離，利用等積法可以求出四面體的體積?！驹斀狻拷猓海?）證明：由已知得.如圖，取的中點(diǎn)，連接，由為中點(diǎn)知，.又，故，又平面，從而證得平面；（2）因?yàn)槠矫?，為的中點(diǎn)，所以到平面的距離為，如圖，取的中點(diǎn)，連接. 由得，則.故.所以四面體的體積.【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的判定，一般取中點(diǎn)是常見的方法。同時本題也考查了利用等積法求三棱錐的體積。19.某餐廳通過查閱了最近5次食品交易會參會人數(shù)（萬人）與餐廳所用原材料數(shù)量（袋），到如下統(tǒng)計(jì)表：第一次第二次第三次第四次第五次參會人數(shù)（萬人）13981012原材料（袋）3223182428（1）根據(jù)所給5組數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程；（2）已知購買原材料的費(fèi)用（元）與數(shù)量（袋）關(guān)系為，投入使用的每袋原材料相應(yīng)的銷售收入為700元，多余的原材料只能無償返還，據(jù)悉本次交易大會大約有15萬人參加.根據(jù)（1）中求出的線性回歸方程，預(yù)測餐廳應(yīng)購買多少袋原材料，才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？（注：利潤銷售收入原材料費(fèi)用）.參考公式：，.參考數(shù)據(jù)：，.【答案】(1) .（2）餐廳應(yīng)該購買36袋原材料，才能使利潤獲得最大，最大利潤為11520元.【解析】試題分析：（1）根據(jù)公式求出b，再將樣本中心代入求出a，進(jìn)而得到回歸方程；（2），利潤為賺的錢減去花出去的錢，根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式，分段列出利潤表達(dá)式，分別討論利潤的最值，最終取分段函數(shù)中較大的利潤值.解析：(1)由所給數(shù)據(jù)可得：，則關(guān)于線性回歸方程為.(2)由(1)中求出線性回歸方程知，當(dāng)時，即預(yù)計(jì)需要原材料袋，因?yàn)椋援?dāng)時，利潤，當(dāng)時，；當(dāng)時，利潤，當(dāng)時，.綜上所述，餐廳應(yīng)該購買36袋原材料，才能使利潤獲得最大，最大利潤為11870元.20.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).（1）若直線的傾斜角為，求的值；（2）設(shè)直線交直線于點(diǎn)，證明：直線.【答案】（1）;（2）詳見解析.【解析】試題分析：（1）設(shè)，根據(jù)圖形可知，直線的方程為，代入橢圓方程得到根與系數(shù)的關(guān)系，這樣可求得三角形的面積；（2）設(shè)直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，再根據(jù)三點(diǎn)共線，那么,得到坐標(biāo)間的關(guān)系，若，即說明.試題解析：由題意，知，1分（1）直線的傾斜角為，1分直線的方程為2分代入橢圓方程，可得設(shè)4分6分（2）設(shè)直線的方程為代入橢圓方程，得設(shè)，則8分設(shè)，三點(diǎn)共線，有，9分而11分直線軸，即12分考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系21.設(shè)函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性.（2）若，求證：函數(shù)在上有唯一零點(diǎn).【答案】（1）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后，可知當(dāng)時，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時，求出導(dǎo)函數(shù)等于零的點(diǎn)，從而可得到導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間的符號，進(jìn)而得到單調(diào)性；（2）利用導(dǎo)數(shù)可判斷出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合即可證得結(jié)論.【詳解】（1）由得：當(dāng)時，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，解得：當(dāng)時，；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）證明：由已知得：則 當(dāng)時，則當(dāng)時，則上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增又在上有唯一零點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、研究函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的問題.判斷零點(diǎn)個數(shù)的關(guān)鍵是通過判斷函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最值，從而結(jié)合最值和函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)圖象可判斷出零點(diǎn)的個數(shù).22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程.以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正方向?yàn)闃O軸，已知曲線的方程為，的方程為，是一條經(jīng)過原點(diǎn)且斜率大于0的直線.（1）求與的極坐標(biāo)方程；（2）若與的一個公共點(diǎn)（異于點(diǎn)），與的一個公共點(diǎn)為，求的取值范圍.【答案】（1）的極坐標(biāo)方程為，的極坐標(biāo)力程為（2）【解析】【分析】（1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式求解即可；（2）設(shè)的極坐標(biāo)方程為，分別與和的極坐標(biāo)方程聯(lián)立，可得和，進(jìn)而看化簡求值.【詳解】解：（1）曲線的方程為，的極坐標(biāo)方程為，的方程為，其極坐標(biāo)力程為.（2）是一條過原點(diǎn)且斜率為正值的直線，的極坐標(biāo)方程為，聯(lián)立與的極坐標(biāo)