【全程復(fù)習(xí)方略】（福建專用）高考數(shù)學(xué) 分類題庫(kù)考點(diǎn)36 空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算（）理 人教版(1).doc

考點(diǎn)36 空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解答題abcea1c1b11.（2011湖北高考理科t18）（本小題滿分12分）如圖，已知正三棱柱的各棱長(zhǎng)都是4，是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在側(cè)棱上，且不與點(diǎn)重合.（1）當(dāng)=1時(shí)，求證：；（2）設(shè)二面角的大小為，求的最小值.【思路點(diǎn)撥】方法一：（1）先找出ef在平面a1acc1內(nèi)的射影，再證明射影與a1c垂直，又因?yàn)閍1c與ac1垂直，故只需證明射影與ac1平行即可；（2）由（1）的結(jié)論利用三垂線定理作出二面角的平面角，再設(shè)，最終將用表示，轉(zhuǎn)化為含有角的三角函數(shù)的最值問題.方法二：以點(diǎn)a為坐標(biāo)原點(diǎn)，ac與aa1所在直線為軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.【精講精析】方法一：過e作enac于n，連結(jié)ef.如圖1，連結(jié)nf、ac1 ，由直棱柱的性質(zhì)知，底面abc側(cè)面a1c.又底面abc 側(cè)面a1c = ac ，且en底面abc，所以 en側(cè)面a1 c,nf為ef在側(cè)面a1 c內(nèi)的射影.在rtcne中， .則由，得 nfac1 ，又 ac1a1c ，故 nfa1c .由三垂線定理得. 如圖2，連結(jié)af，過n作nmaf于m，連結(jié)me.由知 en側(cè)面a1 c，根據(jù)三垂線定理得emaf，所以emn是二面角c-af-e的平面角，即emn = ，設(shè)fac = ，則0 45.中，中，故又0 45，故當(dāng)，即當(dāng)= 45時(shí)，達(dá)到最小值，此時(shí)f與c1重合.方法二：建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系，則由已知可得、 、，于是，.則故.設(shè)，平面aef的一個(gè)法向量為，則由得，于是由可得即取.又由直棱柱的性質(zhì)可取側(cè)面ac1的一個(gè)法向量為，于是為銳角可得所以.由，得，即故當(dāng)，即點(diǎn)f與點(diǎn)c1重合時(shí)，取得最小值2.（2011湖北高考文科18）（本小題滿分12分）如圖，已知正三棱柱-的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，點(diǎn)e在側(cè)棱上，點(diǎn)f在側(cè)棱上，且,.(1) 求證：；(2) 求二面角的大小.【思路點(diǎn)撥】方法一：(1)利用勾股定理的逆定理證明c1eef，c1ece，從而可證c1e平面cef；(2)先證明cfef，再由(1)可得cf平面c1ef，故efc1為二面角的平面角.方法二：以點(diǎn)a為坐標(biāo)原點(diǎn)，ac與aa1所在直線為軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.【精講精析】方法一：(1)由已知可得，于是有，所以.又ef，ce在平面cef中，且，所以平面.因?yàn)槠矫?，所?(2)在中，由可得，于是有，所以.又由知，且，ef，c1e在平面c1fe內(nèi)，所以平面.又平面，故.于是即為二面角的平面角.由知是等腰直角三角形，所以，即二面角的大小為.方法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則由已知可得(1)，.(2)設(shè)平面的一個(gè)法向量為由，得即可取設(shè)側(cè)面的一個(gè)法向量為由，及可取設(shè)二面角的大小為，于是可得因?yàn)闉殇J角，所以即所求二面角的大小為.3.（2011全國(guó)高考理科19）如圖，四棱錐中，,，側(cè)面為等邊三角形，.（1）證明：;（2)求與平面所成角的大小.【思路點(diǎn)撥】本題第（1）問可以直接證明，也可建系證明.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算把求角的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)值計(jì)算問題,思路清晰思維量小.【精講精析】（1）由題意得sd=1，于是，利用勾股定理，可知，同理，可證，又，因此，.（2）過d作，如圖建立空間直角坐標(biāo)系d-xyz，a(2,-1,0),b(2,1,0),c(0,1,0), ，可計(jì)算平面sbc的一個(gè)法向量是，.所以ab與平面sbc所成角的大小為.4.(2011重慶高考理科t19) （本小題滿分12分，()小問5分，()小問7分）.如圖，在四面體中，平面平面，.()若，求四面體的體積. ()若二面角為，求異面直線與所成角的余弦值.【思路點(diǎn)撥】取的中點(diǎn),可根據(jù)題意證明為四面體的高,從而可求出四面體的體積,求異面直線與所成角的余弦值時(shí),可以根據(jù)異面直線所成角的定義來(lái)求解,也可以建立空間直角坐標(biāo)系利用向量的夾角公式求解.【精講精析】()如圖，設(shè)為的中點(diǎn),由于,所以.故由平面平面,知平面,即是四面體的面上的高,且.在中,因由勾股定理易知.所以,四面體的體積.()設(shè)分別為邊的中點(diǎn),則,從而是異面直線與所成的角或其補(bǔ)角.設(shè)為邊的中點(diǎn),則,由,知,又由()有平面,故由三垂線定理知,所以為二面角的平面角,由題設(shè)知,設(shè)則在中,從而因?yàn)楣?從而在中,又,從而在中,因,由余弦定理得因此,異面直線與所成角的余弦值為5.(2011重慶高考文科t20) 如圖,在四面體中,平面平面,(1)求四面體的體積;(2)求二面角的平面角的正切值.【思路點(diǎn)撥】過點(diǎn)作的垂線,即四面體的高,進(jìn)而計(jì)算出的面積，利用體積公式求出四面體的體積,在求二面角的正切值時(shí),可以先找出二面角的平面角,把它放在三角形中求解,也可以建立空間直角坐標(biāo)系利用向量求解.【精講精析】(1)如圖所示,過作,垂足為,故由平面平面,知平面,即