課堂實(shí)錄 (2).docxVIP

講稿師：同學(xué)們大家好，上課。生（付桓）：起立，老師好。師：同學(xué)們好，請(qǐng)坐。上一節(jié)課，我們了解了二次函數(shù)的基本概念，有哪位同學(xué)來(lái)回憶一下它的解析式一般形式。生（王榆迪）：二次函數(shù)解析式的一般形式是：y=ax2+bx+c，其中a、b、c是常數(shù)，a不等于0.師：回答的很準(zhǔn)確，請(qǐng)坐。這里面注意，a不等于零，但是b，c可以等于零。對(duì)于一個(gè)函數(shù)，想要研究它的性質(zhì)，結(jié)合圖形討論是最重要的方法。怎么得到二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)呢？同學(xué)們，我們?cè)诎四昙?jí)下冊(cè)，學(xué)習(xí)了一次函數(shù)，通過(guò)列表、描點(diǎn)、連線得到了它的函數(shù)圖象是一條直線，進(jìn)而得到k大于零時(shí)，y隨x增大而增大，k小于零時(shí)，y隨x的增大而減小等性質(zhì)。那我們今天類比畫(huà)一次函數(shù)圖象的方法來(lái)畫(huà)最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)y=ax2的圖象，再觀察圖象特征，總結(jié)性質(zhì)（板書(shū)、放封面PPT）。這里面a不等于o，那a可以大于零也可以小于零，我們先探究a大于零時(shí)的圖象性質(zhì)。活動(dòng)1，請(qǐng)同學(xué)們拿出課前發(fā)的卡紙畫(huà)出y=x2的圖象。畫(huà)圖前，我們先要列表，這里選取自變量的取值很重要，從解析式可以看出x可以取所有實(shí)數(shù)，不妨以0為中心，均勻選取一些數(shù)值，為了使圖象更接近精準(zhǔn)圖象，我們可以多取一些。請(qǐng)這兩個(gè)小組的同學(xué)按照順時(shí)針的順序快速口答一下這些函數(shù)值。生（劉心怡、李陽(yáng)、閆鵬文、吳文靜、楊逸飛、任夢(mèng)瑤、張怡寧、宋兆立、李諾、郭昊文、張杰（男）：9、4、9/4、1、1/4、0、1/4、1、9/4、4、9。師：好，現(xiàn)在，請(qǐng)同學(xué)們?cè)谧鴺?biāo)系中描點(diǎn)(x，y)，再用平滑的曲線順次連接各點(diǎn)，進(jìn)而得到y(tǒng)=x2的近似圖象。生：描點(diǎn)、連線。師：大部分同學(xué)畫(huà)好了，老師也畫(huà)了一個(gè)，跟同學(xué)們的對(duì)比了一下，比較相似。但是，其中有一位同學(xué)的圖象畫(huà)出來(lái)是這樣的，有哪位同學(xué)看出來(lái)有哪些地方不太恰當(dāng)？好，這位同學(xué)。生（王語(yǔ)菲）：我覺(jué)得有兩個(gè)地方不太恰當(dāng)， 1.連接時(shí)，要用平滑的曲線，而不是折線；2.在圖象兩端要體現(xiàn)出圖象的變化趨勢(shì)，不應(yīng)該在端點(diǎn)處戛然而止。師：說(shuō)的非常完整，請(qǐng)坐。這里，老師，利用作圖軟件，將函數(shù)y=x2的準(zhǔn)確圖形做了出來(lái)，跟我們描點(diǎn)得到的圖象形狀大體一致，請(qǐng)同學(xué)們對(duì)照準(zhǔn)確圖形將自己的圖象進(jìn)行補(bǔ)充、修正。（貼紙片）我將這個(gè)準(zhǔn)確圖形復(fù)制到ppt中，我們來(lái)一起探討它的性質(zhì)。先看它的形狀，是直線嗎？生：不是，是一條曲線。師：這條曲線就像是同學(xué)們投籃時(shí)球在空中所經(jīng)過(guò)的路線，只是球的路線是開(kāi)口向下，而這條曲線是開(kāi)口向上，我們就把這條曲線叫做拋物線y=x2。接下來(lái)，看看這條拋物線的對(duì)稱性，請(qǐng)同學(xué)們拿剛才畫(huà)的圖象，看看能不能沿著哪條直線折疊后使拋物線兩旁的部分能夠重合。生：折疊紙片。師：我看到已經(jīng)有同學(xué)找到了，將這條拋物線沿著y軸折疊，好像能夠重合。那y軸是不是它的對(duì)稱軸呢？大家看大屏幕，現(xiàn)在老師讓ppt上這個(gè)精準(zhǔn)圖形沿著y軸折疊，也能夠重合，是吧！這樣我們從形的角度看到了這條拋物線的對(duì)稱性，現(xiàn)在我們從數(shù)的角度上來(lái)簡(jiǎn)單的證明一下，在圖線上任取一個(gè)點(diǎn)A，不妨設(shè)它的坐標(biāo)為（m,m2），則它關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A為（-m,m2）,把m代入解析式得y=m2,這說(shuō)明，對(duì)于拋物線上任一一點(diǎn)，它關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)都在這條拋物線上，這就說(shuō)明拋物線y=x2是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸就是y軸（或者說(shuō)是直線x=0）。我們繼續(xù)觀察圖象，拋物線與對(duì)稱軸幾個(gè)交點(diǎn)呢？生：一個(gè)。師：我們把這個(gè)交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)，y=x2的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn)（0,0）。大家看，除了原點(diǎn)外，整個(gè)圖象都在x軸的上方，這說(shuō)明頂點(diǎn)就是拋物線的最低點(diǎn)。對(duì)于函數(shù)值，當(dāng)x=0時(shí)，y=0，當(dāng)x不等于0時(shí)，y大于零，所以函數(shù)值大于等于零，最小值為0。最后，來(lái)看拋物線的增減性。觀察圖象，在對(duì)稱軸的左側(cè)，拋物線從左到右下降，在對(duì)稱軸右側(cè)，拋物線從左到右上升。我們可以，在幾何畫(huà)板中觀察拋物線上動(dòng)點(diǎn)D在從左到右的過(guò)程中，隨著橫坐標(biāo)的增大，它的縱坐標(biāo)如何變化。在y軸左側(cè)，x越大，y越小，y隨x增大而減小，在右側(cè)，x越大，y越大，y隨x增大而增大。當(dāng)然為了使我們獲得的結(jié)論更加嚴(yán)謹(jǐn)，我們可以簡(jiǎn)單證明，在y軸左側(cè)。由此，我們得到了當(dāng)x小于零時(shí)，y隨x增大而減小；當(dāng)x大于0時(shí)，y隨x增大而增大，這與我們學(xué)過(guò)的一次函數(shù)整體增大或整體減小不一樣，同學(xué)們要注意。在同學(xué)們的共同努力下，我們得到了函數(shù)y=x2的圖象和性質(zhì)，在剛才的探究中，同學(xué)們觀察認(rèn)真，我們來(lái)一起給自己點(diǎn)掌聲，鼓勵(lì)一下。接下來(lái)，看活動(dòng)2，請(qǐng)同學(xué)們?cè)趧偛女?huà)圖的卡紙上，在同一坐標(biāo)系中，畫(huà)出y=1/2x2和y=2x2的圖象。按照列表、描點(diǎn)、連線的步驟。生：描點(diǎn)、連線。師：同學(xué)已經(jīng)畫(huà)好了。老師現(xiàn)在用作圖軟件做出這兩圖形，同學(xué)們對(duì)照一下。請(qǐng)同學(xué)們觀察這三個(gè)圖象，看看它們有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，以小組為單位討論？生：小組熱烈交流、討論。師：好的，討論結(jié)束。哪個(gè)小組派代表分享一下你們組的結(jié)論？ 生（李昱錕）：我們組討論的結(jié)果是：這三個(gè)函數(shù)圖象都是開(kāi)口向上的拋物線、也都是軸對(duì)稱圖形、對(duì)稱軸都是y軸（也可以說(shuō)對(duì)稱軸是直線x=0），圖象都有最低點(diǎn)（也就是原點(diǎn)（0,0），函數(shù)都有最小值0；當(dāng)x小于0時(shí)，y隨著x的增大而減小，當(dāng)x大于0時(shí)，y隨著x的增大而增大。而它們的不同點(diǎn)是，離y軸的遠(yuǎn)近不一樣。師：很好，總結(jié)的非常到位，請(qǐng)坐。也就是說(shuō)剛才我們探究的y=x2的性質(zhì)也是y=1/2x2和y=2x2的性質(zhì)（粘貼紙片）。這里面離y軸距離不一樣，我們叫做在同一水平線上，拋物線的開(kāi)口大小不同。請(qǐng)同學(xué)們比較一下，哪個(gè)開(kāi)口最小？哪個(gè)開(kāi)口最大？生：y=2x2的開(kāi)口最小，y=1/2x2的開(kāi)口最大。師：也就是說(shuō)a越大，拋物線的開(kāi)口越小。當(dāng)a大于零時(shí)，我們畫(huà)出了a=1，a=1/2,a=2時(shí)的圖象，除了開(kāi)口大小不同，其他特征相同，這些特征也就是當(dāng)a大于零時(shí)，函數(shù)y=ax2的性質(zhì)。請(qǐng)同學(xué)們，把它總結(jié)到你的學(xué)案表格中。生：整理。師：好，接下來(lái)繼續(xù)我們的探究，當(dāng)a小于零時(shí)，圖象又是什么樣呢？有什么特征呢？請(qǐng)同學(xué)們畫(huà)出。的圖象。生：畫(huà)圖。師：好的，老師也用結(jié)合畫(huà)板畫(huà)板畫(huà)出了這三個(gè)圖象，同學(xué)們對(duì)照一下。（粘貼圖片）請(qǐng)同學(xué)們觀察這三個(gè)圖象有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)，仍然以小組為單位交流討論。生：交流、討論。師：好的，討論結(jié)束，請(qǐng)一個(gè)小組來(lái)跟大家分享他們的討論結(jié)果。這個(gè)小組率先舉手，那請(qǐng)你們的代表來(lái)說(shuō)一下你們的結(jié)論。生（張怡寧）：我們組討論的結(jié)果是：這三個(gè)函數(shù)圖象都是開(kāi)口向下的拋物線、也都是軸對(duì)稱圖形、對(duì)稱軸都是y軸（也可以說(shuō)對(duì)稱軸是直線x=0），圖象都有最高點(diǎn)（也就是原點(diǎn)（0,0），函數(shù)都有最大值0；當(dāng)x小于0時(shí)，y隨著x的增大而增大，當(dāng)x大于0時(shí)，y隨著x的增大而減小。而它們的不同點(diǎn)是，開(kāi)口大小不同。師：好，請(qǐng)坐，其他小組還有補(bǔ)充嗎？沒(méi)有了，好。這個(gè)小組同學(xué)總結(jié)的很全面，大家來(lái)看一下哪個(gè)開(kāi)口最大，哪個(gè)開(kāi)口最小呢？生：y=-2x2的開(kāi)口最小，y=-1/2x2的開(kāi)口最大。師：也就是說(shuō)a越小，即絕對(duì)值越大，開(kāi)口越小。其實(shí)這些共同的特征，也就是當(dāng)a小于0時(shí)，函數(shù)y=ax2的圖象特征，請(qǐng)同學(xué)們整理到學(xué)案上。生：整理。師：請(qǐng)大家看大屏幕，老師想問(wèn)問(wèn)你，那a大于0時(shí)，和a小于0時(shí)，圖象又有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)呢？生（付桓）：他們的共同點(diǎn)是，不論a0,a0時(shí),拋物線開(kāi)口向上，有最小值0，圖象有最低點(diǎn)（0,0），當(dāng)x小于0時(shí)，y隨著x的增大而減小，當(dāng)x大于0時(shí)，y隨著x的增大而增大；a0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，a0時(shí)，二次函數(shù)y=ax2的圖象有最低點(diǎn)（原點(diǎn)），函數(shù)值y有最小值0.a0時(shí)，當(dāng)x小于0時(shí)，y隨著x的增大而減小，當(dāng)x大于0時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)a0時(shí),當(dāng)x小于0時(shí)，y隨著x的增大而增大，當(dāng)x大于0時(shí)，y隨著x的增大而減小。師：好的，大家關(guān)于二次函數(shù)y=ax2的圖形和性質(zhì)說(shuō)了很多，那學(xué)習(xí)過(guò)程中有哪些數(shù)學(xué)思想？有從研究一次函數(shù)