7機(jī)械振動(dòng)習(xí)題思考題.doc

習(xí)題7-1. 原長(zhǎng)為的彈簧，上端固定，下端掛一質(zhì)量為的物體，當(dāng)物體靜止時(shí)，彈簧長(zhǎng)為現(xiàn)將物體上推，使彈簧縮回到原長(zhǎng)，然后放手，以放手時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，取豎直向下為正向，寫(xiě)出振動(dòng)式。（g取9.8）解：振動(dòng)方程：,在本題中，所以； 振幅是物體離開(kāi)平衡位置的最大距離，當(dāng)彈簧升長(zhǎng)為0.1m時(shí)為物體的平衡位置，以向下為正方向。所以如果使彈簧的初狀態(tài)為原長(zhǎng)，那么：A=0.1， 當(dāng)t=0時(shí)，x=-A，那么就可以知道物體的初相位為。所以： 即 7-2. 有一單擺，擺長(zhǎng)，小球質(zhì)量.時(shí)，小球正好經(jīng)過(guò)處，并以角速度向平衡位置運(yùn)動(dòng)。設(shè)小球的運(yùn)動(dòng)可看作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，試求：（g取9.8）（1）角頻率、頻率、周期；（2）用余弦函數(shù)形式寫(xiě)出小球的振動(dòng)式。解：振動(dòng)方程： 我們只要按照題意找到對(duì)應(yīng)的各項(xiàng)就行了。（1）角頻率：，頻率： ，周期：（2）根據(jù)初始條件： 可解得：所以得到振動(dòng)方程：7-3. 一豎直懸掛的彈簧下端掛一物體，最初用手將物體在彈簧原長(zhǎng)處托住，然后放手，此系統(tǒng)便上下振動(dòng)起來(lái)，已知物體最低位置是初始位置下方處,求：（1）振動(dòng)頻率；（2）物體在初始位置下方處的速度大小。解：（1）由題知 2A=10cm，所以A=5cm； 又=,即（2）物體在初始位置下方處，對(duì)應(yīng)著是x=3cm的位置，所以：那么此時(shí)的那么速度的大小為7-4. 一質(zhì)點(diǎn)沿軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為，周期為。當(dāng)時(shí), 位移為，且向軸正方向運(yùn)動(dòng)。求：（1）振動(dòng)表達(dá)式；（2）時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度；（3）如果在某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于，且向軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，求從該位置回到平衡位置所需要的時(shí)間。解：由題已知 A=12-2m，T=2.0 s =2/T= rads-1又，t=0時(shí)， 由旋轉(zhuǎn)矢量圖，可知：故振動(dòng)方程為 (2)將t=0.5 s代入得方向指向坐標(biāo)原點(diǎn)，即沿x軸負(fù)向(3)由題知，某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于，且向軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)即x=-A/2，且v0，故t=2/3，它回到平衡位置需要走/3，所以：t=/=(/3)() =1/3s7-5. 兩質(zhì)點(diǎn)作同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅相等。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)1在 處，且向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)2在 處，且向右運(yùn)動(dòng)。求這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位相差。解：由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)1在 處，且向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，相位為/3，而質(zhì)點(diǎn)2在 處，且向右運(yùn)動(dòng)，相位為4/3 。所以它們的相位差為。7-6. 質(zhì)量為的密度計(jì)，放在密度為的液體中。已知密度計(jì)圓管的直徑為。試證明，密度計(jì)推動(dòng)后，在豎直方向的振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。并計(jì)算周期。解：平衡位置： 當(dāng)F浮=G時(shí)，平衡點(diǎn)為C處。設(shè)此時(shí)進(jìn)入水中的深度為a：可知浸入水中為a處為平衡位置。 以水面作為坐標(biāo)原點(diǎn)O，以向上為x軸，質(zhì)心的位置為x，則：分析受力：不管它處在什么位置，其浸沒(méi)水中的部分都可以用a-x來(lái)表示，所以力 令 可得到： 可見(jiàn)它是一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。周期為：7-7. 證明圖示系統(tǒng)的振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。其頻率為：證明：兩根彈簧的串聯(lián)之后等效于一根彈簧，所以仍為簡(jiǎn)諧振動(dòng)（證明略），其勁度系數(shù)滿足：和可得： 所以： 代入頻率計(jì)算式，可得：7-8. 當(dāng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移為振幅的一半時(shí)，其動(dòng)能和勢(shì)能各占總能量的多少？ 物體在什么位置時(shí)其動(dòng)能和勢(shì)能各占總能量的一半？EP=當(dāng)物體的動(dòng)能和勢(shì)能各占總能量的一半：所以：。7-9. 兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)曲線(如圖所示) （1）求合振動(dòng)的振幅。（2）求合振動(dòng)的振動(dòng)表達(dá)式。解：通過(guò)旋轉(zhuǎn)矢量圖做最為簡(jiǎn)單。先分析兩個(gè)振動(dòng)的狀態(tài)：兩者處于反相狀態(tài)，（反相 ，）所以合成結(jié)果：振幅 振動(dòng)相位判斷：當(dāng)；當(dāng)；所以本題中，振動(dòng)方程：7-10. 兩個(gè)同方向，同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其合振動(dòng)的振幅為，與第一個(gè)振動(dòng)的位相差為 。若第一個(gè)振動(dòng)的振幅為。則（1）第二個(gè)振動(dòng)的振幅為多少？（2）兩簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位相差為多少？解：由題意可做出旋轉(zhuǎn)矢量圖如下由圖知 =(0.173)+(0.2)-20.173.=0.01A=0.1 m設(shè)角AAO為，則A=A+A-2AAcos即cos= =0即=/2，這說(shuō)明A與A間夾角為/2，即二振動(dòng)的位相差為/27-11. 一擺在空中作阻尼振動(dòng)，某時(shí)刻振幅為，經(jīng)過(guò)后，振幅變?yōu)?。?wèn)：由振幅為時(shí)起，經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間其振幅減為？解：根據(jù)阻尼振動(dòng)的特征，振幅為 若已知，經(jīng)過(guò)后，振幅變?yōu)椋傻茫耗敲串?dāng)振幅減為 可求得t=21s。7-12. 某彈簧振子在真空中自由振動(dòng)的周期為，現(xiàn)將該彈簧振子浸入水中，由于水的阻尼作用，經(jīng)過(guò)每個(gè)周期振幅降為原來(lái)的90%，求:（1） 求振子在水中的振動(dòng)周期（2）如果開(kāi)始時(shí)振幅厘米，阻尼振動(dòng)從開(kāi)始到振子靜止求振子經(jīng)過(guò)的路程為多少？ 解：（1） 有阻尼時(shí) （2）7-13. 試畫(huà)出和的李薩如圖形。略，可參考書(shū)上的圖形。7-14. 質(zhì)點(diǎn)分別參與下列三組互相垂直的諧振動(dòng)：（1） （2） （3） 試判別質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡。解：質(zhì)點(diǎn)參與的運(yùn)動(dòng)是頻率相同，振幅相同的垂直運(yùn)動(dòng)的疊加。（1）則方程化為： ，軌跡為一般的橢圓。（2）則方程化為： 軌跡為一直線。（3）則方程化為： 軌跡為一圓。7-15. 在示波器的水平和垂直輸入端分別加上余弦式交變電壓，熒光屏上出現(xiàn)如圖所示的李薩如圖形。已知水平方向振動(dòng)頻率為，求垂直方向的振動(dòng)頻率。解：通過(guò)和書(shū)上的李薩如圖形想比較，可發(fā)現(xiàn)它滿足兩方向的振動(dòng)頻率比3：2。由水平方向振動(dòng)頻率為，可得垂直方向的振動(dòng)頻率為。思考題7-1. 試說(shuō)明下列運(yùn)動(dòng)是不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)：（1）小球在地面上作完全彈性的上下跳動(dòng)；（2）小球在半徑很大的光滑凹球面底部作小幅度的擺動(dòng)。答：要使一個(gè)系統(tǒng)作諧振動(dòng)，必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：一，描述系統(tǒng)的各種參量，如質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、擺長(zhǎng)等等在運(yùn)動(dòng)中保持為常量；二，系統(tǒng)是在自己的穩(wěn)定平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)；三，在運(yùn)動(dòng)中系統(tǒng)只受到內(nèi)部的線性回復(fù)力的作用或者說(shuō)，若一個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程能用+=0描述時(shí)，其所作的運(yùn)動(dòng)就是諧振動(dòng)(1)拍皮球時(shí)球的運(yùn)動(dòng)不是諧振動(dòng)第一，球的運(yùn)動(dòng)軌道中并不存在一個(gè)穩(wěn)定的平衡位置；第二，球在運(yùn)動(dòng)中所受的三個(gè)力：重力，地面給予的彈力，擊球者給予的拍擊力，都不是線性回復(fù)力 (2)小球在圖所示的情況中所作的小弧度的運(yùn)動(dòng)，是諧振動(dòng)顯然，小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，各種參量均為常量；該系統(tǒng)(指小球凹槽、地球系統(tǒng))的穩(wěn)定平衡位置即凹槽最低點(diǎn)，即系統(tǒng)勢(shì)能最小值位置點(diǎn)O；而小球在運(yùn)動(dòng)中的回復(fù)力為-mgsin，如題4-1圖(b)所示題中所述，SR，故=S/R0，所以回復(fù)力為-mg式中負(fù)號(hào)，表示回復(fù)力的方向始終與角位移的方向相反即小球在O點(diǎn)附近的往復(fù)運(yùn)動(dòng)中所受回復(fù)力為線性的若以小球?yàn)閷?duì)象，則小球在以O(shè)為圓心的豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律，在凹槽切線方向上有mR=-mg 令=g/R,則有 =07-2. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度在什么情況下是同號(hào)的?在什么情況下是異號(hào)的?加速度為正值時(shí)，振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速率是否一定在增加？反之，加速度為負(fù)值時(shí)，速率是否一定在減小?答： 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度：v= -Asin（）；加速度：a=- A2cos（）；要使它們同號(hào)，必須使質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位在第一象限。其他象限的相位兩者就是異號(hào)的。加速度為正值時(shí)，振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速率不一定在增加，反之，加速度為負(fù)值時(shí)，速率也不一定在減小。只有當(dāng)速度和加速度是同號(hào)時(shí)，加速度才能使速率增加；反之，兩者異號(hào)時(shí)，加速度使速率減小。7-3. 分析下列表述是否正確，為什么?（1）若物體受到一個(gè)總是指向平衡位置的合力，則物體必然作振動(dòng)，但不一定是簡(jiǎn)諧振動(dòng)；（2）簡(jiǎn)諧振動(dòng)過(guò)程是能量守恒的過(guò)程，凡是能量守恒的過(guò)程就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。答：（1）的表述是正確的，原因參考7-1；（2）的表述不正確，比如自由落體運(yùn)動(dòng)中能量守恒，但不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。7-4. 用兩種方法使某一彈簧振子作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。方法1：使其從平衡位置壓縮，由靜止開(kāi)始釋放。方法2：使其從平衡位置壓縮2，由靜止開(kāi)始釋放。若兩次振動(dòng)的周期和總能量分別用和表示，則它們滿足下面那個(gè)關(guān)系？(A) (B) (C) (D) 答：根據(jù)題意，這兩次彈簧振子的周期相同，振幅相差一倍。所以能量不同。選擇B。7-5. 一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，周期為T(mén)，振幅為A，質(zhì)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到處