江蘇省鹽城市鹽阜中學(xué)高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月測試卷(含解析).doc_第1頁
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2015-2016學(xué)年江蘇省鹽城市鹽阜中學(xué)高三(上)12月月測數(shù)學(xué)試卷一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共計70分)1已知集合a=1,0,e,2i2(i是虛數(shù)單位),b=x|x210,則ab=2某籃球選手近五場比賽的上場時間分別為:9.7,9.9,10.1,10.2,10.1(單位:分鐘),則這組數(shù)據(jù)的方差為3袋中有形狀、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只紅球,2只黃球從中一次隨機(jī)摸出2只球,則這2只球顏色為一紅一黃的概率為4已知向量=(1,2),=(m,4),且()(2+),則實數(shù)m的值為5已知一個正方體的邊長為2,則其外接球的體積是6如圖是一個算法的流程圖,它最后輸出的k值為7“函數(shù)f(x)在r上單調(diào)遞減”是“f(x)0在r上恒成立”的條件8已知實數(shù)x,y滿足,則z=2xy的最大值為9已知(0,),cos=,則tan(+)=10設(shè)d是abc所在平面內(nèi)一點,且,設(shè),則x+y=11函數(shù)f(x)=cos(x+)的部分圖象如圖所示,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為12等差數(shù)列an的前n項和為sn,已知s10=0,s15=25,則nsn的最小值為13已知函數(shù),則函數(shù)y=g(x)x的零點個數(shù)是14函數(shù)f(x)=ax33x2+1,若f(x)=0存在唯一正實數(shù)根x0,則a取值范圍是二、解答題(本大題共6小題,共90分解答應(yīng)寫出必要的文字說明,證明過程或演算步驟)15在abc中,角a,b,c所對的邊分別為a,b,c,且acosb=bcosa(1)求證:a=b(2)若sina=,求sin(c)的值16如圖,四棱錐pabcd中,pa平面abcd,底面abcd為矩形,e,f分別為棱ab,pc的中點 (1)求證:pebc; (2)求證:ef平面pad17已知(1)若,求證:(2)設(shè),若,求,的值18如圖,墻上有一壁畫,最高點a離地面4米,最低點b離地面2米觀察者從距離墻x(x1)米,離地面高a(1a2)米的c處觀賞該壁畫,設(shè)觀賞視角acb=(1)若a=1.5,問:觀察者離墻多遠(yuǎn)時,視角最大?(2)若tan=,當(dāng)a變化時,求x的取值范圍19已知an的前n項和sn,an0且an2+2an=4sn+3(1)求an的通項公式;(2)若bn=,求bn的前n項和tn20設(shè)函數(shù)f(x)=x(xr),其中m0(1)當(dāng)m=1時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線的斜率;(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值;(3)已知函數(shù)f(x)有三個互不相同的零點0,x1,x2,且x1x2,若對任意的xx1,x2,f(x)f(1)恒成立,求m的取值范圍2015-2016學(xué)年江蘇省鹽城市鹽阜中學(xué)高三(上)12月月測數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共計70分)1已知集合a=1,0,e,2i2(i是虛數(shù)單位),b=x|x210,則ab=e,2【考點】交集及其運算【專題】集合【分析】利用復(fù)數(shù)性質(zhì)確定出a,求出b中不等式的解集確定出b,找出a與b的交集即可【解答】解:由b中不等式變形得:(x+1)(x1)0,解得:x1或x1,即b=(,1)(1,+),a=1,0,e,2i2=1,0,e,2,ab=e,2,故答案為:e,2【點評】此題考查了交集及其運算,熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵2某籃球選手近五場比賽的上場時間分別為:9.7,9.9,10.1,10.2,10.1(單位:分鐘),則這組數(shù)據(jù)的方差為0.044【考點】極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差【專題】計算題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;概率與統(tǒng)計【分析】先求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),再計算這組數(shù)據(jù)的方差【解答】解:某籃球選手近五場比賽的上場時間分別為:9.7,9.9,10.1,10.2,10.1(單位:分鐘),這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為=(9.7+9.9+10.1+10.2+10.1)=10,這組數(shù)據(jù)的方差為: (9.710)2+(9.910)2+(10.110)2+(10.210)2+(10.110)2=0.044故答案為:0.044【點評】本題考查方差的求法,是基礎(chǔ)題,解題時要認(rèn)真審題,注意方差計算公式的合理運用3袋中有形狀、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只紅球,2只黃球從中一次隨機(jī)摸出2只球,則這2只球顏色為一紅一黃的概率為【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率【專題】應(yīng)用題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;概率與統(tǒng)計【分析】根據(jù)題意,把4個小球分別編號,用列舉法求出基本事件數(shù),計算對應(yīng)的概率即可【解答】解:根據(jù)題意,記白球為a,紅球為b,黃球為c1、c2,則一次取出2只球,基本事件為ab、ac1、ac2、bc1、bc2、c1c2共6種,其中2只球的顏色不同的是bc1、bc2共2種;所以所求的概率是p=故答案為:【點評】本題考查了用列舉法求古典概型的概率的應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題目4已知向量=(1,2),=(m,4),且()(2+),則實數(shù)m的值為2【考點】平面向量共線(平行)的坐標(biāo)表示【專題】計算題;轉(zhuǎn)化思想;數(shù)學(xué)模型法;平面向量及應(yīng)用【分析】由已知向量的坐標(biāo)求出、2+的坐標(biāo),然后利用向量共線的坐標(biāo)表示列式求得m值【解答】解: =(1,2),=(m,4),=(1,2)(m,4)=(1m,2),2+=2(1,2)+(m,4)=(2+m,8)又()(2+),8(1m)(2)(2+m)=0,解得:m=2故答案為:2【點評】平行問題是一個重要的知識點,在高考題中常常出現(xiàn),常與向量的模、向量的坐標(biāo)表示等聯(lián)系在一起,要特別注意垂直與平行的區(qū)別若=(a1,a2),=(b1,b2),則a1a2+b1b2=0,a1b2a2b1=0,是基礎(chǔ)題5已知一個正方體的邊長為2,則其外接球的體積是4【考點】球的體積和表面積【專題】計算題;方程思想;綜合法;立體幾何【分析】正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線,由此能求出正方體的外接球的體積【解答】解:正方體棱長為2,正方體的外接球的半徑r=,正方體的外接球的體積v=4故答案為:4【點評】本題考查正方體的外接球的體積的求法,解題時要認(rèn)真審題,解題的關(guān)鍵是明確正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線6如圖是一個算法的流程圖,它最后輸出的k值為30【考點】程序框圖【專題】計算題;圖表型;試驗法;算法和程序框圖【分析】分析程序中各變量、各語句的作用,再根據(jù)流程圖所示的順序,可知:該程序的作用是累加s=21+22+23+229的值,并輸出,從而得解【解答】解:模擬執(zhí)行程序框圖,可得k=1,s=0滿足條件s30,s=21,k=2滿足條件s30,s=21+22,k=3滿足條件s30,s=21+22+229,k=30不滿足條件s30,退出循環(huán),輸出k的值為30故答案為:30【點評】算法是新課程中的新增加的內(nèi)容,也必然是新高考中的一個熱點,應(yīng)高度重視寫出程序結(jié)果也是重要的考試題型,屬于基礎(chǔ)題7“函數(shù)f(x)在r上單調(diào)遞減”是“f(x)0在r上恒成立”的必要不充分條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷【專題】計算題;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)與函數(shù)增減性間的關(guān)系判斷即可【解答】解:若f(x)0在r上恒成立,則有函數(shù)f(x)在r上單調(diào)遞減;反之,函數(shù)f(x)在r上單調(diào)遞減,則有f(x)0在r上恒成立,則“函數(shù)f(x)在r上單調(diào)遞減”是“f(x)0在r上恒成立”的必要不充分條件,故答案為:必要不充分【點評】此題考查了必要條件、充分條件與充要條件的判斷,熟練掌握導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵8已知實數(shù)x,y滿足,則z=2xy的最大值為7【考點】簡單線性規(guī)劃【專題】計算題;數(shù)形結(jié)合【分析】根據(jù)約束條件畫出可行域,得到abc及其內(nèi)部,其中a(5,3),b(1,3),c(2,0)然后利用直線平移法,可得當(dāng)x=5,y=3時,z=2xy有最大值,并且可以得到這個最大值【解答】解:根據(jù)約束條件畫出可行域如圖,得到abc及其內(nèi)部,其中a(5,3),b(1,3),c(2,0)平移直線l:z=2xy,得當(dāng)l經(jīng)過點a(5,3)時,z最大為253=7故答案為:7【點評】在解決線性規(guī)劃的小題時,我們常用“角點法”,其步驟為:由約束條件畫出可行域求出可行域各個角點的坐標(biāo)將坐標(biāo)逐一代入目標(biāo)函數(shù)驗證,求出最優(yōu)解9已知(0,),cos=,則tan(+)=【考點】兩角和與差的正切函數(shù)【專題】三角函數(shù)的求值【分析】由cos的值及的范圍,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sin的值,進(jìn)而求出tan的值,然后把所求的式子利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡,把tan的值代入即可求出值【解答】解:cos=,(0,),sin=,tan=,則tan(+)=故答案為:【點評】此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,以及兩角和與差的正切函數(shù)公式,熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵,學(xué)生在求值時注意角度的范圍10設(shè)d是abc所在平面內(nèi)一點,且,設(shè),則x+y=1【考點】向量的線性運算性質(zhì)及幾何意義【專題】數(shù)形結(jié)合;轉(zhuǎn)化法;平面向量及應(yīng)用【分析】根據(jù)題意,畫出圖形,結(jié)合圖形用向量、表示出,即可求出x、y的值【解答】解:畫出圖形,如圖所示:=3, =+=;=+=+=+()=+,x=,y=;x+y=1故答案為:1【點評】本題考查了平面向量的線性運算問題,也考查了數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題目11函數(shù)f(x)=cos(x+)的部分圖象如圖所示,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為2k,2k+,kz【考點】余弦函數(shù)的圖象【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)【分析】由函數(shù)的圖象和五點法作圖可得函數(shù)的解析式,由余弦函數(shù)的單調(diào)性和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得【解答】解:由題意可得函數(shù)的周期為2()=2,=2,解得=,f(x)=cos(x+),再根據(jù)函數(shù)的圖象以及五點法作圖,可得+=,解得=,f(x)=cos(x+),令2kx+2k+,可解得2kx2k+,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為:2k,2k+,kz故答案為:2k,2k+,kz【點評】本題考查余弦函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的解析式是解決問題的關(guān)鍵,屬基礎(chǔ)題12等差數(shù)列an的前n項和為sn,已知s10=0,s15=25,則nsn的最小值為49【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值;等差數(shù)列的前n項和;等差數(shù)列的性質(zhì)【專題】壓軸題;等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】由等差數(shù)列的前n項和公式化簡已知兩等式,聯(lián)立求出首項a1與公差d的值,結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出nsn的最小值【解答】解:設(shè)等差數(shù)列an的首項為a1,公差為d,s10=10a1+45d=0,s15=15a1+105d=25,a1=3,d=,sn=na1+d=n2n,nsn=n3n2,令nsn=f(n),f(n)=n2n,當(dāng)n=時,f(n)取得極值,當(dāng)n時,f(n)遞減;當(dāng)n時,f(n)遞增;因此只需比較f(6)和f(7)的大小即可f(6)=48,f(7)=49,故nsn的最小值為49故答案為:49【點評】此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),以及等差數(shù)列的前n項和公式,熟練掌握性質(zhì)及公式是解本題的關(guān)鍵13已知函數(shù),則函數(shù)y=g(x)x的零點個數(shù)是3【考點】函數(shù)零點的判定定理【專題】數(shù)形結(jié)合;轉(zhuǎn)化思想;數(shù)形結(jié)合法;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象和y=x的圖象,分析兩圖象交點的個數(shù),可得答案【解答】解:函數(shù)的圖象如下圖所示:由圖可得,函數(shù)y=g(x)與函數(shù)函數(shù)y=x的圖象有三個交點,故函數(shù)y=g(x)x的零點個數(shù)是3個,故答案為:3【點評】本題考查的知識點是函數(shù)的零點及個數(shù)判斷,將函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點,是解答的關(guān)鍵14函數(shù)f(x)=ax33x2+1,若f(x)=0存在唯一正實數(shù)根x0,則a取值范圍是(,2)【考點】根的存在性及根的個數(shù)判斷【專題】分類討論;分析法;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】分類討論:當(dāng)a0時,容易判斷出不符合題意;當(dāng)a0時,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)和極值之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為求極小值f()0,解出即可得到a的范圍【解答】解:當(dāng)a=0時,f(x)=3x2+1=0,解得x=,函數(shù)f(x)有兩個零點,不符合題意,應(yīng)舍去;當(dāng)a0時,令f(x)=3ax26x=3ax(x)=0,解得x=0或x=0,列表如下:x(,0)0(0,)(,+)f(x)+00+f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增x,f(x),而f(0)=10,存在x0,使得f(x)=0,不符合條件:f(x)存在唯一的零點x0,且x00,應(yīng)舍去當(dāng)a0時,f(x)=3ax26x=3ax(x)=0,解得x=0或x=0,列表如下:x(,)(,0)0(0,+)f(x)0+0f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減而f(0)=10,x+時,f(x),存在x00,使得f(x0)=0,f(x)存在唯一的零點x0,且x00,極小值f()=a)33()2+10,化為a24,a0,a2綜上可知:a的取值范圍是(,2)故答案為:(,2)【點評】本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)的單調(diào)性的運用,函數(shù)的零點的判斷及應(yīng)用,屬于難題二、解答題(本大題共6小題,共90分解答應(yīng)寫出必要的文字說明,證明過程或演算步驟)15在abc中,角a,b,c所對的邊分別為a,b,c,且acosb=bcosa(1)求證:a=b(2)若sina=,求sin(c)的值【考點】正弦定理;余弦定理【專題】計算題;轉(zhuǎn)化思想;分析法;解三角形【分析】(1)已知等式利用正弦定理化簡,利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡,整理得到結(jié)果,即可證明(2)由(1)可得:c=2a,利用sina=,a為銳角,可得:cosa,sin2a,cos2a的值,利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式即可求值【解答】解:(1)證明:已知等式利用正弦定理化簡得:sinbcosa=sinacosb,即sinacosbcosasinb=sin(ab)=0,a,b都為三角形內(nèi)角,ab=0,即a=b,則三角形形狀為等腰三角形a=b得證(2)由(1)可得:c=ab=2a,sina=,a為銳角,可得:cosa=,sin2a=2sinacosa=,cos2a=2cos2a1=,sin(c)=sin(2a)=sin(+2a)=(cos2a+sin2a)=(+)=【點評】此題考查了正弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用,熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵,考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題16如圖,四棱錐pabcd中,pa平面abcd,底面abcd為矩形,e,f分別為棱ab,pc的中點 (1)求證:pebc; (2)求證:ef平面pad【考點】直線與平面平行的判定【專題】證明題;數(shù)形結(jié)合;分析法;空間位置關(guān)系與距離【分析】(1)證明pabc,abbc,證得cb平面pab,從而有cbpe(2)取cd的中點g,由fg是三角形cpd的中位線,可得 fgpd,再由舉行的性質(zhì)得 egad,證明平面efg平面pad,從而證得ef平面pad【解答】解:(1)證明:側(cè)棱pa垂直于底面,pabc又底面abcd是矩形,abbc,這樣,cd垂直于平面pad內(nèi)的兩條相交直線,cb平面pab,cbpe(2)取cd的中點g,e、f分別是ab、pc的中點,fg是三角形cpd的中位線,fgpd,fg面pad底面abcd是矩形,egad,eg平面pad 故平面efg平面pad,ef平面pad【點評】本題考查證明線線垂直、線面平行的方法,考查了空間想象能力和推理論證能力,屬于中檔題17已知(1)若,求證:(2)設(shè),若,求,的值【考點】平面向量數(shù)量積的運算【專題】方程思想;綜合法;平面向量及應(yīng)用【分析】(1)證明即可;(2)根據(jù)向量相等列出方程組,解出,【解答】解:(1),()2=2,即22+2=2,2=cos2+sin2=1, 2=cos2+sin2=1,=0,(2)=(cos+cos,sin+sin)=(0.1),2+2得cos()=0,0=,即,代入得sin+sin()=1,整理得=1,即sin(+)=10,=,=,=,【點評】本題考查了平面向量的數(shù)量積運算、向量的模、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和兩角和與差的三角函數(shù),解答的關(guān)鍵是注意角的范圍,是基礎(chǔ)的運算題18如圖,墻上有一壁畫,最高點a離地面4米,最低點b離地面2米觀察者從距離墻x(x1)米,離地面高a(1a2)米的c處觀賞該壁畫,設(shè)觀賞視角acb=(1)若a=1.5,問:觀察者離墻多遠(yuǎn)時,視角最大?(2)若tan=,當(dāng)a變化時,求x的取值范圍【考點】解三角形的實際應(yīng)用【專題】解三角形【分析】(1)首項利用兩角和的正切公式建立函數(shù)關(guān)系,進(jìn)一步利用判別式確定函數(shù)的最大值;(2)利用兩角和的正切公式建立函數(shù)關(guān)系,利用a的取值范圍即可確定x的范圍【解答】解:(1)如圖,作cdaf于d,則cd=ef,設(shè)acd=,bcd=,cd=x,則=,在rtacd和rtbcd中,tan=,tan=,則tan=tan()=(x0),令u=,則ux22x+1.25u=0,上述方程有大于0的實數(shù)根,0,即441.25u20,u,即(tan)max=,正切函數(shù)y=tanx在(0,)上是增函數(shù),視角同時取得最大值,此時,x=,觀察者離墻米遠(yuǎn)時,視角最大;(2)由(1)可知,tan=,即x24x+4=a2+6a4,(x2)2=(a3)2+5,1a2,1(x2)24,化簡得:0x1或3x4,又x1,3x4【點評】本題考查應(yīng)用兩角和的正切公式及其函數(shù)的單調(diào)性與最值,注意解題方法的積累,屬于中檔題19已知an的前n項和sn,an0且an2+2an=4sn+3(1)求an的通項公式;(2)若bn=,求bn的前n項和tn【考點】數(shù)列的求和【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】(1)運用遞推關(guān)系式an2+2an=4sn+3,3+4sn+1=an+12+2an+1,相減得出an+1an=2,可判斷等差數(shù)列,求解通項公式(2)利用an的通項公式得出bn= 裂項求解即可【解答】(1)證明:3+4sn=an2+2an,3+4sn+1=an+12+2an+1,兩式相減整理可得(an+1+an)(an+1an2)=0,n1時,an0,an+1an2=0,an+1an=2,n=1時,a1=1(舍去),a1=3an成等差數(shù)列,首項為3,公差為2,an=2n+1(2)bn=,bn= bn的前n項和tn= += =【點評】本題綜合考查了等差數(shù)列的性質(zhì),通項公式,裂項法求解數(shù)列的和,考查了學(xué)生的運算化簡能力,屬于中檔題20設(shè)函數(shù)f(x)=x(xr),其中m0(

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