高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第1講-橢圓教案.doc

第一講 橢圓一、考情分析解析幾何是用代數(shù)的方法解決幾何問題，體現(xiàn)了形數(shù)結(jié)合的思想，因而這一部分的題目的綜合性比較強(qiáng)，它要求學(xué)生既能分析圖形，又能靈活地進(jìn)行各種代數(shù)式和三角函數(shù)式的變形，這對學(xué)生能力的要求較高“圓錐曲線”是解析幾何的重點(diǎn)內(nèi)容，特別是在對學(xué)生掌握坐標(biāo)法的訓(xùn)練方面有著不可替代的作用本講主要是調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，注意交代知識的來龍去脈，教給學(xué)生解決問題的思路，幫助考生培養(yǎng)分析、抽象和概括等思維能力，掌握形數(shù)結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)良好的個性品質(zhì)，以及勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神二、知識歸納（一）橢圓的定義（1）第一定義：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距特征式：注：若，則點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線；若，則這樣的點(diǎn)不存在（2）第二定義：一動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)，那么這個點(diǎn)的軌跡叫做橢圓其中定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，定直線叫做準(zhǔn)線，常數(shù)就是離心率特征式：（二）橢圓的方程（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)式方程：；（焦點(diǎn)在軸的平行線上，中心在的橢圓方程）（焦點(diǎn)在軸的平行線上，中心在的橢圓方程）（2）橢圓的參數(shù)方程：；注：角不是（3）橢圓的向量式方程：（三）性質(zhì)：對于橢圓而言，范圍：，橢圓落在組成的矩形中對稱性：圖象既關(guān)于軸對稱，又關(guān)于軸對稱，也關(guān)于原點(diǎn)對稱原點(diǎn)叫橢圓的對稱中心，簡稱中心軸、軸叫橢圓的對稱軸頂點(diǎn)：橢圓和對稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)，；加兩焦點(diǎn)共有六個特殊點(diǎn)叫橢圓的長軸，叫橢圓的短軸，長分別為分別為橢圓的長半軸長和短半軸長離心率：橢圓焦距與長軸長之比注：橢圓形狀與的關(guān)系：，橢圓變圓，直至成為極限位置的圓，此時也可認(rèn)為圓為橢圓在時的特例；，橢圓變扁，直至成為極限位置線段，此時也可認(rèn)為圓為橢圓在時的特例橢圓的準(zhǔn)線方程：對于，左準(zhǔn)線；右準(zhǔn)線；對于，下準(zhǔn)線；上準(zhǔn)線焦準(zhǔn)距：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離（焦參數(shù)）通徑：經(jīng)過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦稱之為通徑，長度為 焦半徑公式：焦點(diǎn)在軸上的橢圓的焦半徑公式： （左焦半徑）；（右焦半徑）；焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的焦半徑公式：（下焦半徑）；（上焦半徑）；（規(guī)律：左加右減，上減下加）焦點(diǎn)三角形：曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)連線構(gòu)成的三角形稱焦點(diǎn)三角形；（如何證明？）（四）橢圓系方程（焦點(diǎn)在軸的上，中心在原點(diǎn)）（1）共焦點(diǎn)的橢圓系：注：若，則表示共焦點(diǎn)的雙曲線系（2）離心率相同的橢圓系：注：若，則表示共漸進(jìn)線的雙曲線系三、精典例析（一）活用定義例1：橢圓上有一點(diǎn)它到橢圓的左準(zhǔn)線距離為10，求點(diǎn)到橢圓的右焦點(diǎn)的距離解析：橢圓的離心率為，根據(jù)橢圓的第二定義得，點(diǎn)到橢圓的左焦點(diǎn)距離為：；再根據(jù)橢圓的第一定義得，點(diǎn)到橢圓的右焦點(diǎn)的距離為20812 例2：方程表示什么曲線？解析：設(shè)，則原方程等價于：，即：到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離之比為，故原方程表示以定點(diǎn)為焦點(diǎn)，以定直線為準(zhǔn)線的橢圓例3：定點(diǎn)是的焦點(diǎn)，是曲線上的動點(diǎn)DP（1）求的范圍；P1AH（2）求的最小值P212解析：是的焦點(diǎn)，（1）（2）引申：也適用于雙曲線、拋物線例4：求過定點(diǎn)，以軸為準(zhǔn)線、離心率為的橢圓的左頂點(diǎn)的軌跡方程解析：設(shè)，則：，且，故橢圓的左頂點(diǎn)的軌跡方程是（二）焦半徑公式例5：橢圓，其上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別是6.5和3.5，求橢圓方程解析：由橢圓的焦半徑公式，得：，解得： 故所求橢圓方程為：例6：已知為橢圓上的點(diǎn)，且與的連線互相垂直，求解析：由題意，得：64，的坐標(biāo)為例7：橢圓上能否找到一點(diǎn)，使得到左準(zhǔn)線的距離是它到兩個焦點(diǎn)的距離的等比中項(xiàng)？ 解析：橢圓的左準(zhǔn)線是，若存在，設(shè)，則：或，故不存在符合條件的點(diǎn)例8：設(shè)是以為中心的橢圓上任意一點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，求證：以線段為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓內(nèi)切解析：設(shè)橢圓方程為，焦半徑是圓的直徑，則：，兩圓半徑之差等于圓心距故以線段為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓內(nèi)切（三）焦點(diǎn)三角形P曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)連線構(gòu)成的三角形稱焦點(diǎn)三角形，與曲線三角形有關(guān)的問題常常借助正（余）弦定理，借助比例性質(zhì)進(jìn)行處理例9：證明：橢圓的焦點(diǎn)三角形中，解析：在中，；在中，例10：已知橢圓的焦點(diǎn)是，為橢圓上一點(diǎn)，且是和的等差中項(xiàng)（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)在第三象限，且，求12P解析：（1）是和的等差中項(xiàng)， 橢圓的方程為（）設(shè)，則， ，故，（四）對稱問題例11：在直線任取一點(diǎn)，過且以的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)作橢圓，問在何處時，所作橢圓的長軸長最短？并求出此橢圓/2解析：法1：待求橢圓的，其焦點(diǎn)在直線的同側(cè)，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則待求橢圓的長軸長為：，12為直線與的焦點(diǎn)時，所作橢圓的長軸長最短；，此時，故待求橢圓為：法2：設(shè)待求橢圓為：，則與橢圓相切于點(diǎn)時，橢圓的長軸長最短， ，與橢圓相切，又，故待求橢圓為：，此時，即例12：已知橢圓上有兩個不同的點(diǎn)關(guān)于直線對稱，求的取值范圍解析：法1：點(diǎn)關(guān)于直線對稱，設(shè)，則：，；的中點(diǎn)在直線上，；故的取值范圍是法2：設(shè)，的中點(diǎn)，則：，的中點(diǎn)在上，則：，的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)，故的取值范圍是（五）范圍（最值）問題例13：已知橢圓與軸的正半軸交于，是原點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)，使，求橢圓離心率的取值范圍解析：，設(shè)， ，故例14：已知是橢圓的上頂點(diǎn)，是橢圓上的動點(diǎn)，求的最大值解析：設(shè)，則：（1）若時，；（2）若時，綜上，若時，；若時，（六）直線與橢圓相交問題例15：橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長為，相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn) （1）求橢圓的方程及離心率；（2）若，求直線PQ的方程；（3）設(shè)，過點(diǎn)且平行于準(zhǔn)線的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M，證明：解析：（1）設(shè)橢圓的方程為，則：，故橢圓的方程為，離心率（2）解：，設(shè)直線PQ的方程為，則： ，；又 ，故直線PQ的方程為或 （3）證明：由已知得方程組 ，例16：橢圓E的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，離心率，過點(diǎn)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且滿足（1）若為常數(shù)，試用直線的斜率表示三角形的面積；（2）若為常數(shù)，當(dāng)三角形的面積取得最大值時，求橢圓E的方程解析：設(shè)橢圓方程為：，故橢圓方程為： （1）直線交橢圓于，則： ，且； ；， ；，由知：，（2），當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，S取得最大值當(dāng)時，代入中，得：，故所求為（七）定點(diǎn)（值）問題例17：已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓與直線相交于A、B兩點(diǎn)，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)）證明：滿足上述條件的橢圓