考研輔導(dǎo)_工科數(shù)學(xué)分析_思考題集_金典[2].pdf

You stupid cunt cunnilingus penis vagina 考研輔導(dǎo)資料 僅供內(nèi)部討論使用 工科數(shù)學(xué)分析工科數(shù)學(xué)分析 思考題集思考題集 You stupid cunt cunnilingus penis vagina 請(qǐng)您多多思考請(qǐng)您多多思考 You stupid cunt cunnilingus penis vagina 1 第一章第一章 函數(shù)函數(shù) 思考題 思考題 1 何謂函數(shù) 函數(shù)關(guān)系 函數(shù)值 2 函數(shù) y f x 與方程 y f x 在概念上有何區(qū)別 3 怎樣確定函數(shù)的定義域 4 怎樣才算完全確定了一個(gè)函數(shù) 應(yīng)該如何規(guī)定兩個(gè)函數(shù)相等 下面各對(duì)函數(shù)是 否相等 1 f x x g x x 2 2 f x x 1 g x 2 x1 x1 3 f x x g x 2 x 4 f x x1x1 g x 2 x1 5 f x 2x1 x1 1 x1 g x 2 x1 x 6 1 x1 f x x 1x1 1 x1 1 g x 1x 1x 2 5 若函數(shù)y f x 的反函數(shù)就是它本身 試問(wèn)此函數(shù)的圖象有什么樣的特點(diǎn) 6 下列函數(shù)是否是初等函數(shù) 說(shuō)明理由 1 f x x 2 xcosx f x xsinx 3 f x sinx x0 x 0 x0 4 f x c xc x cxc c xc 7 設(shè)f u 與u x 能復(fù)合為f x 1 若f u 遞增 遞減 x 遞減 試研究f x 的單調(diào)性 2 若f u 為奇 偶 函數(shù) x 為偶 奇 函數(shù) 試研究f x 的奇偶性 You stupid cunt cunnilingus penis vagina 2 3 若f u 為任意函數(shù) x 為偶函數(shù) 試研究f x 的奇偶性 4 若f u 為有界函數(shù) x 為任意函數(shù) 試問(wèn)f x 是否一定是有界函數(shù) 5 若f u 為任意函數(shù) x 為周期函數(shù) 試問(wèn)f x 是否一定是周期函數(shù) 8 判斷下列命題是否正確 為什么 1 若f x 在 a b 上有界 則f x 在 a b 上有界 2 設(shè)f x 在 a b 上有定義 且在 a b 上有界 則f x 在 a b 上有界 9 適合下列條件的函數(shù)存在嗎 為什么 1 在R 上嚴(yán)格遞增的有界函數(shù) 2 在R 上嚴(yán)格遞增的偶函數(shù) 3 在R 上嚴(yán)格遞減的奇函數(shù) 4 在 內(nèi)為偶函數(shù) 且在R 上又為奇函數(shù) 5 在R上嚴(yán)格遞增的周期函數(shù) 10 設(shè)f x 在R上有定義 且滿足f x 0 f x y f x f y 試求f 1990 11 用肯定語(yǔ)氣敘述 在 上 1 f x 不是偶函數(shù) 2 f x 不是周期函數(shù) 3 f x 不是單增函數(shù) 4 f x 不是單調(diào)函數(shù) 12 用肯定語(yǔ)氣敘述 1 f x 在 a b 上無(wú)下界 2 f x 在 a b 上沒(méi)有零點(diǎn) 3 f x 在 a b 上沒(méi)有比中點(diǎn)函數(shù)值大的點(diǎn) 13 若f x 是一一對(duì)應(yīng)的奇函數(shù) 試證其反函數(shù)也是奇函數(shù) 14 設(shè)f x 滿足關(guān)系式2f x 1k f xx k為常數(shù) 證明 f x 為奇函數(shù) 15 設(shè)f x 為 上的奇函數(shù) 且在 0 上嚴(yán)格增 求證 f x 在 上嚴(yán)格增 16 設(shè)0a1 函數(shù)f x 及g x 對(duì)任意的 12 x x分別滿足 1212 f ax 1 a x af x 1 a f x 及 You stupid cunt cunnilingus penis vagina 3 1212 g ax 1 a x ag x 1 a g x 且g x 為單減函數(shù) 試證 1212 g f ax 1 a x ag f x 1 a g f x 17 設(shè)f x 在 上嚴(yán)格增 且恒有f f f x f x 試證 必有f x x 18 若f x 是在 上單增的偶函數(shù) 且f 0 0 則f x 0 19 若f x 滿足條件 對(duì)xR 有f x f x 0 證明 f x 是以 為周期的函數(shù) 20 設(shè)常數(shù)a 0 函數(shù)f x 0 且f x a 1 f x xR 試證 f x 是以2a為周 期的周期函數(shù) 21 若y f x xR 的圖形關(guān)于兩直線x a與x b a0 是以 T a 為周期的周期函數(shù) 24 函數(shù)y f x 具有反函數(shù)的充要條件是什么 25 選擇填空 1 奇 偶函數(shù)的定義域一定是 A R B 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間 C 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)集 D A B C都不對(duì) 2 函數(shù)f x cosx xsinx e x 是 A 有界函數(shù) B 單調(diào)函數(shù) C 周期函數(shù) D 偶函數(shù) You stupid cunt cunnilingus penis vagina 4 3 函數(shù) D x 1 x 0 x 為有理數(shù) 為無(wú)理數(shù) 是 A 非奇非偶函數(shù) B 有界函數(shù) C 非周期函數(shù) D 偶函數(shù) E 有界周期偶函數(shù) 4 若f x 為奇函數(shù) 則下列 款中的函數(shù)也是奇函數(shù) A f x a a0 為常數(shù) B f f x C f x a a0 為常數(shù) D f x f x 5 設(shè)f x 2 2 2x x 1 2x x 1 x 2 x 1 0 x 1 則復(fù)合函數(shù)f x 由 款表示 A f x 2 x 1 2 x 1 B f x 6 x 1 2 x 1 C f x 2 2x x 1 2 x 1 D f x 2 2 2x x 1 2x x 1 6 函數(shù)y x x 2 21 的反函數(shù)是 A 2 2 log x y log 1x B 22 ylog xlog 1x C 2 x ylog 1x D x ylg 1 x 補(bǔ)充題補(bǔ)充題 1 1 nn a a 對(duì)嗎 2 如果在 x b中去掉絕對(duì)值記號(hào) 應(yīng)該怎樣寫(xiě) 3 試用 a b a b 表示Max a b Min a b 2 證明下列不等式 1 n 2n n 3 You stupid cunt cunnilingus penis vagina 5 2 2n n2 n5 3 nn n 2 n3 4 1 32n11 2 42n2n1 5 n 1 6 若x 1 則 1 x n 1 nx nN 這個(gè)不等式稱為Bernoulli不等式 7 設(shè) i a0 i 1 2 n 且 12 aa an 1 則a1 a2 an n 8 設(shè)ai 0 i 1 2 n 則 12n n 12n aaa aaa n n 12n 12n n aaa 111 aaa 9 12n12n xxxx x x x x 10 設(shè)a1 a2 an b1 b2 bn為兩組實(shí)數(shù) 則 2 nnn 22 iiii i 1i 1i 1 a bab 3 解下列不等式 1 2x 4 10 2 x x 1 0 1 3 x 5 x 1 4 x 1 x 1 1 7 2 1 x2 2 0 x0 g x x x0 求f g x g f x f f x g g x You stupid cunt cunnilingus penis vagina 6 6 設(shè) x ln 1x 0 x2 f x 2 2x4 6x 4x6 0 x2 0 求證 若 f x x 單增 則f x1 x2 f x1 f x2 10 一半徑為a的圓鐵片 自中心剪去一角形 將剩余部分 中心角為 圍成一個(gè) 無(wú)底圓錐 試建立圓錐容積V與中心角 之間的函數(shù)關(guān)系 11 證明 函數(shù)f x ax a 0 a 1 對(duì)一切實(shí)數(shù)x1 x2恒有 12 12 xx1 f f x f x 22 12 設(shè) xx aebe f x ab ab 證明 f 2x f 2x f2 x f2 x 13 設(shè)f x 1x lg 1x 試證 yz f y f z f 1yz 14 設(shè)f x x3 2x1 解方程 12 f f x13 You stupid cunt cunnilingus penis vagina 7 15 1 設(shè)f x 1 x 2 2 1 x x 求f x 2 設(shè) x f sin 1 cosx 2 求f cos x 2 16 設(shè)f x 為 上的奇函數(shù) f 1 a 且對(duì)任意x值均有 f x 2 f x f 2 1 試用a表示f 2 與f 5 2 問(wèn)a取什么值時(shí) f x 是以2為周期的周期函數(shù) 17 研究下列函數(shù)有界性 1 f x 2 x 1x 2 f x x2分別在 a b 及 上 3 f x x1 x2 4 f x 2 1 xx1 18 在物理及工程技術(shù)中還用到 雙曲函數(shù) 它們的定義為 雙曲正弦 xx ee shx 2 雙曲余弦 xx ee chx 2 雙曲正切 xx xx shxee thx chxee 雙曲余切 xx xx chxee cthx shxee 試證 1 22 ch xsh x1 2 sh xy shxchychxshy 3 22 ch2xch xsh x sh2x2shxchx You stupid cunt cunnilingus penis vagina 8 4 2 2 1 1th x ch x 5 12 sh xln xx1 x N 當(dāng)nN 時(shí) 有 n aa 存在無(wú)限多項(xiàng) n a 使 n aa N 當(dāng)n N時(shí) 有 n aa N 當(dāng)n N時(shí) 有 100 n aa N 當(dāng)n N時(shí) 有 n aak N 當(dāng)n N時(shí) 有 n aaN AR 當(dāng)n A時(shí) 有 n aa 當(dāng)n N時(shí) 有 n aa 0 N 當(dāng)n N時(shí) 有 n aa 10 對(duì) 01 N時(shí) 有 n aa 0 N 當(dāng)n N時(shí) 有 n aa N時(shí) 有 n 1 aa m 對(duì)每個(gè) k k N 當(dāng) k nN 時(shí)有 n aa N時(shí) 有 n x 等價(jià) 對(duì)嗎 3 一個(gè)數(shù)列去掉或添加或改變有限項(xiàng)是否會(huì)改變它的收斂性與它的極限值 4 證明 設(shè)a b為兩個(gè)定數(shù) 1 若對(duì)0 都有 ab 則ab 2 若對(duì)0 都有 ab N 當(dāng)n N時(shí) 就有 n 1n aa 則因 n 1n qq q 兩邊同時(shí)取極限得 q q a 從而a 0 故有 n n lim q0 q 1 5 n n limn 1 0 n n lim nn1 You stupid cunt cunnilingus penis vagina 11 11 若 nn n lim yx 0 n n lim xa 求證 n n lim ya 請(qǐng)看下面的證法是否正確 nnnn nnn 0lim yx lim ylim x n n lim ya n n lim ya 定義 在給定的數(shù)列a1 a2 an 中 如果任意地挑選出無(wú)窮多項(xiàng) 并按照原 有的次序排列出 1 n a 2 n a k n a n1 n2 nk0 N 當(dāng)n N時(shí)有 nN aa 0和pN N 當(dāng)n N時(shí)有 n pn aa 能否斷定 an 為柯西列 3 an bn 為兩個(gè)柯西列 能否斷定 an bn anbn 也是柯西列 15 下面的證法有無(wú)錯(cuò)誤 設(shè) n 11 x1 2n n 1 2 證明 n x 收斂 證 n pn 11 xx n1np 取 p N 1 1 則當(dāng)nN 時(shí) 就有 n pn xx 對(duì)N N 0 nN 使 0 n0 xx 能說(shuō)明數(shù)列 xn 具有什么性質(zhì) 22 證明 若 n n lim x 則在 xn 中至少有一項(xiàng) 0 n x 使 0 nn xx n 1 2 23 選擇填空 1 若 an 有界 則 an A 收斂 B 發(fā)散 C 可能收斂 也可能發(fā)散 D A B C中結(jié)論都不對(duì) 2 若 an 無(wú)界 則 an A 為無(wú)窮大量 B 發(fā)散 C 可能收斂 也可能發(fā)散 D A B C中結(jié)論都不對(duì) 3 若 an bn 發(fā)散 則 A an bn 都發(fā)散 B an bn 無(wú)界 C an 與 bn 中至少有一個(gè)發(fā)散 D A B C中結(jié)論都不對(duì) You stupid cunt cunnilingus penis vagina 13 4 若 n n lim aa n n lim ba 則數(shù)列a1 b1 a2 b2 an bn A 收斂 但極限未必是a B 一定收斂于a C 未必收斂 D A B C中結(jié)論都不對(duì) 5 設(shè) an 中有無(wú)窮多項(xiàng)an 1 則 an A 可能是正無(wú)窮大量 B 可能是無(wú)窮小量 C 一定收斂于1 D A B C中結(jié)論都不對(duì) 6 若 an 中有無(wú)窮多個(gè)子列都趨于a 則 an A 一定收斂于a B 可能是無(wú)窮大量 C 未必收斂 但一定不是無(wú)窮大量 D A B C中結(jié)論都不對(duì) 7 設(shè)非常數(shù)數(shù)列 an 收斂 且 n n lim aa 則 A an 為單調(diào)有界數(shù)列 B an 非單調(diào)有界數(shù)列 C 在 n a中必存在一個(gè)子列是單調(diào)有界數(shù)列 D 在 n a中不一定存在單調(diào)有界的子列 補(bǔ)充題補(bǔ)充題 1 按定義證明下列極限 1 2 2 n nn51 lim 33n2n4 2 n lim ln n1lnn0 2 求下列極限 1 3n nn lim n5n 2 n 12nn lim n22 3 N N n 1 1 lim 12n 4 222 n 132n1 lim nnn 5 2n n 132n1 lim 222 6 n 22 n lim2sin ncos n You stupid cunt cunnilingus penis vagina 14 7 n 242 n lim 1x1x1x1x x 0 10 3n n 123n lim n 11 3 4n 3 3 n n1 lim n2 12 333 n limnn1n 13 n 2n k 1 1 lim nk 14 n lim sinn1sinn 15 222 n 111 lim 111 23n 16 n n 1 3 52n1 lim 2 4 52n 17 2n 1 2 n limnn 18 n 111 lim n1n22n 提示 利用 n 11 lim 1lnnC 2n C為歐拉常數(shù) 19 n 2n k 1 limsin nk 提示 利用兩邊夾定理 20 m 2 2 m n lim 1 m 21 2 n lim sinn1 3 設(shè) n a為正項(xiàng)數(shù)列 且 n 1 n n a lim0 a 證明 n a當(dāng)n充分大后為單調(diào)數(shù)列 4 證明 若數(shù)列 n a無(wú)上界 則必有嚴(yán)格增加且趨于 的子數(shù)列 5 若 n n n a lim b 0 且 n n lim a0 則 n n lim b0 6 設(shè)數(shù)列 n a滿足 n 0a1 證明 n a單調(diào)增加 且 n n 1 lim a 2 7 設(shè) n a為單調(diào)數(shù)列 它的某一子列 k n aa k 試證 n n lim aa 8 設(shè) n n lim xa n n lim yb 求證 nn n lim Max x y Max a b You stupid cunt cunnilingus penis vagina 15 9 利用柯西收斂準(zhǔn)則 判斷下列數(shù)列 n a的收斂性 1 n cos1cos2 cosn a 1 22 3n n1 2 n acos2bsin2acos3bsin3acosnbsinn a 2 2sin2 3 3sin3 n nsinn a b是常數(shù) 3 n hhh 111 a1 23n h 1 4 n 111 a ln2ln3lnn n 2 3 5 若對(duì)n 1 有 n 2n 1 aa n 1n 1 aa 2 證明 n a收斂 10 試證 n n xxxsinx lim coscoscos 24x2 11 利用單調(diào)有界定理求證下列極限 1 求數(shù)列 n n a 2n1 n 1 2 的極限 2 設(shè)數(shù)列 n x滿足 1 x1 n 1 2 且 n n lim aa 證明 1 n 12n n lima 111 aaa 2 n 1 2n n lima aaa 13 設(shè) n a0 n 1 2 且 n 1 n n a lima a 證明 n n n limaa You stupid cunt cunnilingus penis vagina 16 14 設(shè) n a為單增數(shù)列 12n n aaa S n 試證 若 n n lim Sa 則 n n lim aa 例題 例題 例1 試證 n 11 x1lnn 2n 收斂 其極限值稱為歐拉常數(shù) 證 nn n k 1k 2 12 3n1k1 xlnln k1 2n1k1k1n 而 k 1 1k111 ln1ln 11lne0 k1k1k1k1k 注意 k 1 1 k 嚴(yán)格增且趨于e n x0 n 1 2 又 n 1 n 1n 1n11 xxln1ln 10 n1n1n1n n 1 1 n 且 e 當(dāng)n 時(shí) 可見(jiàn) n x為單調(diào)減少 且有下界的數(shù)列 所以收斂 記其極限值為C 故有 n 11 lim 1lnnC 2n 例2 設(shè) 11 0ab 0 后證a b 在 nn 1n 1 bab 中令n 得 bab bba0 b0 ab 例3 證明施篤茲 stolz 定理 設(shè) 1 n 1n yy n 1 2 2 n n lim y 3 nn 1 n nn 1 xx lim yy a 則 nnn 1 nn nnn 1 xxx limlima yyy 證 對(duì)0 N 當(dāng)nN 時(shí)有 nn 1 nn 1 xx a yy2 于是下面的分?jǐn)?shù) N 1N N 1N xx yy N 2N 1 N 2N 1 xx yy n 1n 2 n 1n 2 xx yy nn 1 nn 1 xx yy 都在a 2 和a 2 之間 從而 nN nN xx aa 2yy2 即 nN nN xx a yy2 時(shí) 右端第二項(xiàng)小于 2 又當(dāng)n 時(shí) 第一項(xiàng) 0 故N N 當(dāng)nN 時(shí) 第一項(xiàng) 2 時(shí) 有 n n x a y N 當(dāng)nN 時(shí)有 nn 1 nn 1 aa SS bb nn 1nn 1nn 1 SbbaaSbb 把上式中n改為n 1 n 2 n p 1 并把結(jié)果相加得 nn pnn pnn p SbbaaSbb 時(shí) 有 n n a S b You stupid cunt cunnilingus penis vagina 19 n n n a limS b 注3 應(yīng)用stolz定理立得 1 若 n n lim aa 則 12n n aaa lima n 2 kkk k 1 n 12n lim n k 0 1 k1 3 若 n 1n n lim aaa 則 n n a lima n 4 設(shè)有兩個(gè)數(shù)列 n a n b且 n b0 n k n k 1 limb 則有 12nn nn 12nn aaaa limlim bbbb 5 設(shè) k a0 n k n k 1 lima n n lim bb 則 1 122nn n 12n a ba ba b limb aaa 6 設(shè) n x 滿足 nn 2 xx0 n 則 nn 1 n xx lim0 n 7 設(shè)數(shù)列 n s 令 01n n sss n0 1 2 n1 對(duì)n1 再設(shè) nnn 1 ass 證明 若 n n lim na0 且 n 收斂 則 n s 也收斂 且 nn nn lim slim 提示 n nnk k 1 1 sKa n1 再用stolz定理 8 若 n n lim aa 則 12n n a2ana lima 12n You stupid cunt cunnilingus penis vagina 20 9 若 n n lim aa 則 12n 2 n a2anaa lim 2n 例4 證明 n 111 lim 1 e 1 2 n 證 記 n2n n 11n n1 11 x 1 1n nn2 nn 1111211k1 2 1 1 1 1 1 2 n3 nnk nn 112n1 1 1 1 n nnn 11112k1 2 1 1 1 1 2 nk nnn 固定k 令n 在上式兩端取極限 111 e2 2 3 k 于是當(dāng)k n時(shí) n 111 e2x 2 3 n 而 n n lim xe n 11 lim 2 e 2 n 例5 證明 n lim sinn 不存在 證 反證法 假定 sinn 收斂 設(shè) n lim sinna 則 n lim sin n2 a 有 nn lim sin n2 sinn lim 2sin1cos n1 0 n lim cos n1 0 n lim cosn0 You stupid cunt cunnilingus penis vagina 21 nn lim sin2nlim 2sinncosn0 a0 從而 nn lim sinn0 lim cosn0 n lim sinn 不存在 例6 設(shè) n n lim aa n n lim bb 證明 1n2n 1n1 n a ba ba b limab n 證 由 n aa n bb 可得 n ac n1 2 12n n aaaaaa A0 n 12n n bbbbbb B0 n 故對(duì)0 N 當(dāng)nN 時(shí) nn A B 時(shí) 有 1n2n 1n11nn1 a ba ba b a bab a bab ab nn 1n11n1nn a ba ba bab a ba ba bab n 1n2n 1n112n a bb a bb a bb aa aa aa b nn nn cBb Acb cb You stupid cunt cunnilingus penis vagina 22 證 對(duì)0a1 n n limn1 故 N 當(dāng)n N時(shí) 有 n na 從而 a 1 log n n N時(shí)有 aa 11 log n0log n nn 0 為常數(shù) 求 nnn n n abc lim 3 a 0 b 0 c 0 解 3nn n abc 3 nnn nnn abc 3n 3 nnn 3 abc 3 abc3 1 3 3 nnnnnn nnn abc 3abc 3abc 3 nln 1 33 e 原式 1 nnn h nn 1a 1b 1c 1 lim ln lim 1 h 111 3 nnn e 其中 nnn n abc3 h0 3 1 lna lnb lnc lne 3 e 1lnabc 3 3 eabc You stupid cunt cunnilingus penis vagina 23 第三章第三章 函數(shù)極限函數(shù)極限 思考題思考題 1 函數(shù)極限 xa limf x A 定義與下列形式是否等價(jià) 為什么 1 n 1 0 2 當(dāng)0 xa 時(shí) n 1 f x A 2 當(dāng) 1 0 xa n 時(shí) f x A 當(dāng)0 xa 時(shí) f x A 當(dāng)0 xa 時(shí) f x A 當(dāng)0 xa 時(shí) f x A 當(dāng)xa 時(shí) 有f x A 對(duì)0 當(dāng)0 xa 時(shí) 均有f x A 對(duì)0 當(dāng)0 xa 時(shí) 有f x A 問(wèn)f x 的變化情況如 何 7 對(duì) 01 01 當(dāng)0 xa 時(shí) 有f x A 使當(dāng)x M時(shí) 有f 2x f x 0 上單增有上界 問(wèn) 0 xx lim f x 是否存在 18 下列算法是否有誤 錯(cuò)在哪里 1 x0 sinx0 lim1 x0 2 2 x x x lim1 2 3 x x 1 lim 1 11 x 4 33 x0 x0 tgxsinxxx limlim0 xx 5 xxx tgxtgxx limlimlim1 sinxxsinx 6 22 x0 x0 x0 x0 111 limx sinlimxlimsin0 limsin0 xxx 7 x0 x0 1 sin 1 x limxsinlim1 1 x x 8 2 x3x3 x3x3 x3 lim x3 lim x3 x9 limlim x3 6 x3lim x3 You stupid cunt cunnilingus penis vagina 26 19 設(shè)f x 3 x x1 2 x1 證明 x1 limf x1 試問(wèn)下面兩種證法是否有錯(cuò)誤 證法1 當(dāng)x 1時(shí) 32 f x 1x1x1 xx1 先設(shè) 0 x1 1 這時(shí) xx112f x1x1 取 則當(dāng)0 x1 時(shí) f x1 x1 limf x1 證法2 當(dāng)x 1時(shí) 2 f x1x1 xx1 令 2 x1 xx13 則 要使 f x13 x1 只要0 x1 3 取min 1 3 則當(dāng)0 x1 時(shí) 有 f x1 14 1 xxx x 12n i x0 aaa lima0 n 2 討論單側(cè)極限 1 x 2 1 0 x1 2 f xx 1x2 2x 2x3 在在0 1 2三點(diǎn) 2 111 f xx xxn 在各點(diǎn) 3 證明下列關(guān)系式 1 3 1 1tgx1 sinx x 4 x 0 2 2 sin2n1 n n 3 22 sinx1 O 1xx x 4 42 x21 o x3x x 4 設(shè)f x 在 a 上單調(diào)上升 n n lim x 若 n n lim f xA 求證 x lim f x A A可以為無(wú)窮 5 設(shè)f x 在 a 上嚴(yán)格增 若 n nx lim f xlim f x You stupid cunt cunnilingus penis vagina 28 求證 n n lim x 6 設(shè)f x 在 a b 上嚴(yán)格遞增 如果對(duì)于xn a b n 1 2 有 n lim f xf a 成立 則 n n lim xa 7 設(shè)f x 是 上的周期函數(shù) 又 x lim f x0 求證 f x0 8 設(shè) 32 x1 xaxx4 lim x1 有有限極限值L 試求a L 9 設(shè) f x在點(diǎn) 0 x的某鄰域 0 U x 點(diǎn)x0可能例外 內(nèi)有定義 試證 如果對(duì)任意點(diǎn)列 nn0n0n 10n0 xxU x xxn 0 xx xx 00 x xxf xf x 引進(jìn)記號(hào) 用C a b 表示定義在 a b 上所有連續(xù)函數(shù)全體 思考題 思考題 1 1 試用 言語(yǔ)寫(xiě)出f x 在x x0點(diǎn)左連續(xù)的定義 2 如果極限 0 xx lim f x 存在 那么f x 在x0點(diǎn)是否連續(xù) 若不連續(xù) 有哪些可能 的間斷情況 2 能否補(bǔ)充定義f 0 使得下列函數(shù)f x 在x 0點(diǎn)連續(xù) 1 f x 1 x1x x 0 2 1 x f xe x 0 3 x f x 1 cosx x 0 3 證明 1 設(shè)對(duì)于所有的x 函數(shù)f滿足 f xx 則f x 在x 0點(diǎn)連續(xù) 2 設(shè)函數(shù)g在0點(diǎn)連續(xù) 且g 0 0及 f xg x 則f x 在x 0連續(xù) You stupid cunt cunnilingus penis vagina 30 3 設(shè)f只可能有可去不連續(xù)點(diǎn) 定義g x yx limf y 則g x 為連續(xù)函數(shù) 4 設(shè)y f x 在 上滿足f x t f x f t 且在x 0點(diǎn)連續(xù) 則f x 在 上任一點(diǎn)a處連續(xù) 4 設(shè)在點(diǎn)x0處 f x 連續(xù) g x 不連續(xù) 問(wèn)f x g x 與f x g x 在x0點(diǎn)是否連續(xù) 若f x 與g x 在點(diǎn)x0處都不連續(xù) 結(jié)果怎樣 5 試作出兩個(gè)處處不連續(xù)的函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是處處連續(xù)函數(shù)的例子 6 試作出一個(gè)定義在 上只有兩個(gè)連續(xù)點(diǎn)的函數(shù) 7 作一函數(shù)f x 使它在 處處不連續(xù) 而 f x在 上處處連續(xù) 8 設(shè) 1 x g x 0 x 為有理數(shù) 有無(wú)理數(shù) x1 1 研究函數(shù)x g x x 1 1 的連續(xù)性 9 設(shè) f xC a bf af b 且 則它的值域是否就是 f a f b 若f x 在 a b 上還是單增的 結(jié)果如何 10 若f x 在 a b 上僅有一個(gè) 0 xa b 第一類(lèi)間斷點(diǎn) 證明f x 在 a b 上有界 11 試舉例說(shuō)明 根的存在性定理 零值定理 對(duì)于在 a b 上有定義 在 a b 內(nèi)連續(xù)的 函數(shù)不一定成立 12 若f x 是連續(xù)的奇函數(shù) 則f x 至少有一個(gè)根 13 設(shè)f x 在 a b 內(nèi)連續(xù) 且恒為正 a x1 x2 xng a f b 的 的 求證 t fxC a b 18 設(shè)f x g x C a b 若在一切有理點(diǎn)x a b 上f x g x 證明 在 a b 上 f xg x 19 研究函數(shù) 0 x0 f x1p x p q qq 當(dāng) 為大于 的無(wú)理數(shù) 當(dāng)為互質(zhì)的正整數(shù) 的連續(xù)性 20 設(shè) f x 在 x 0 處連續(xù) 且對(duì) 12 x x 恒有 121212 f xxf xf x2x x 證明 1 f c 0 2 f x 在 上連續(xù) 21 設(shè) f x C 0 且滿足 f x2 f x x 0 證明 f x 為一常數(shù) 22 設(shè)f x C 0 1 值域?yàn)?0 1 則至少存在一點(diǎn) x0 1 使 f xx 23 若 f xC a b 且 f x 恒為有理數(shù) 問(wèn) f 應(yīng)為怎樣的函數(shù) 24 設(shè) f x 滿足介值性 并且對(duì)每一值 f 只取得一次 證明 f 是連續(xù)的 25 設(shè) f 是連續(xù)函數(shù) 且 nn xx f xf x limlim0 xx 證明 當(dāng) n 是奇數(shù)時(shí) 必有一數(shù) 滿足 n f0 26 設(shè) f x 在 a b 上遞增 且有介值性 證明f x C a b 27 設(shè)f x C a b 且 f a f b 證明 一定存在 0 ab x a 2 使 00 ba f x f x 2 28 下面說(shuō)法是否成立 為什么 1 若 f x 分別在 a b 與 c d 上都一致連續(xù) 則 f x 在 a b c d 上也一致連續(xù) 2 若 f x 分別在 a b 與 b c 上均一致連續(xù) 則 f x 在 a b b c 上也一致連續(xù) 3 若 f 和 g 在區(qū)間 I 上一致連續(xù) 則f x g x 在 I 上也一致連續(xù) You stupid cunt cunnilingus penis vagina 32 29 有人說(shuō) 若 f x 在 a 上一致連續(xù) 則 xlim f x 必存在 對(duì)嗎 30 證明 若 f x 在 a b 內(nèi)連續(xù) 單調(diào)有界 則 f x 在 a b 內(nèi)一致連續(xù) 若在條件中 將單調(diào)去掉 結(jié)論是否還成立 31 證明 設(shè) f 在 a 上連續(xù) 且當(dāng)x 時(shí) y f x 以直線 y bx c 為漸近線 即滿足 xlim f x bxc 0 則 f x 在 a 上一致連續(xù) 提示 方法 1 按一致連續(xù)定義證 方法 2 先考慮函數(shù) x f x bx c 的一致連 續(xù)性 補(bǔ)充題 補(bǔ)充題 1 試決定常數(shù) a b c 使函數(shù) 2 axbxc 0 x1 f x 1 x0 1 x1 0 b 0 至少有一個(gè)正根 并且它不超過(guò) a b 5 設(shè) f x 在 a b 上連續(xù) 極限 xa lim f x 與 xb lim f x 都存在且異號(hào) 證明 必有一點(diǎn) a b 使f 0 You stupid cunt cunnilingus penis vagina 33 6 已知 f x 在 0 1 上非負(fù)連續(xù) 且 f 0 f 1 0 則對(duì)任意實(shí)數(shù) 0 1 必有點(diǎn) 0 x 0 1 使 00 f x f x 7 設(shè) f x 在 a b 內(nèi) 連 續(xù) 若 有 數(shù) 列 nnnn x y a b xa ya 使 極 限 n n lim f x A n n lim f y B 存在 則對(duì) A 與 B 之間的任意數(shù) 必可找到數(shù)列 n za 使 n n lim f z 8 若 f x 在 a b 上只有第一類(lèi)間斷點(diǎn) 則 f x 在 a b 上有界 9 證明 若 f x 在 a b 上連續(xù) 且 f a 0 f b 0 存在有限 則 f x 可取到 f a 0 與 f b 0 之間的所有值 但 f a 0 f b 0 不一定能取到 10 設(shè) f x 在區(qū)間 I 上有定義 0 xI 則 f x 在 x0點(diǎn)連續(xù) 對(duì) nn0 xI xx 都有 n0 n lim f x f x 11 試證 若 f x 為連續(xù)但不等于常數(shù)的周期函數(shù) 則 f x 必有最小正周期 12 設(shè)f x C a b 若數(shù)列 n x a b 存在極限 n n lim f x A 則必存在 0 x a b 使 f x0 A 13 舉例 1 有上界無(wú)下界的無(wú)界集 2 既無(wú)上界又無(wú)下界的無(wú)界集 3 有最小上界 無(wú)最大下界的數(shù)集 4 含有最小上界但不含有最大下界的數(shù)集 5 既含有最小上界又含有最大下界的數(shù)集 14 證明 若 f x g x 在有限的區(qū)間 I 上一致連續(xù) 則 f x g x 在 I 上一致連續(xù) 并 舉例說(shuō)明此命題對(duì)無(wú)限區(qū)間不成立 15 證明 若 f x 在 a b 內(nèi)連續(xù) 且f a0 f b 0 則 f x 在 a b 內(nèi)能取得最小值 You stupid cunt cunnilingus penis vagina 34 16 證明 若 f x 在 a b 上連續(xù) a c d b 且k 為正數(shù) 則至少存在一點(diǎn) a b 使kf c f d k f 17 設(shè) f x 定義在 上 對(duì)x y 有f xy f x f y 且 f x 在 x 0 點(diǎn)連續(xù) 1 求 f 0 2 證明 f x 為奇函數(shù) 3 證明 f x 在 上一致連續(xù) 18 用 語(yǔ)言寫(xiě)出 f x 在 a b 上不一致連續(xù)的涵義 19 求證 sinx f x x 在 1 0 和 0 1 上都一致連續(xù) 但在0 x1 0 使對(duì)一切 12 x x a b 有 2121 f x f x M xx 則稱 f x 在 a b 上滿足李普希茲 Lipschitz 條件 22 若 f x 在 a b 上滿足 lipschitz 條件 證明 f x 在 a b 上一致連續(xù) 23 設(shè) f x 在 a a0 上滿足 lipschitz 條件 證明 f x x 在 a 上一致連續(xù) You stupid cunt cunnilingus penis vagina 35 24 設(shè)f x C a b 且只有唯一的最小值點(diǎn) x0 又設(shè) n x a b 有 n0 n lim f x f x 求證 n0 n lim xx 定義 若對(duì) I f x 在 上都一致連續(xù) 則稱 f x 在區(qū)間 I 上內(nèi)閉一致連 續(xù) 25 下列說(shuō)法是否正確 為什么 1 若 f x 在有限區(qū)間 I 上無(wú)界 則 f x 在 I 上必非一致連續(xù) 2 若 f x 在區(qū)間 I 上無(wú)界 則 f x 在 I 上必非一致連續(xù) 3 f x 在 a b 上一致連續(xù)f x 在 a b 上內(nèi)閉一致連續(xù) 4 f x 在區(qū)間 I 上內(nèi)閉一致連續(xù) f x 在 I 上連續(xù) 5 f x 在區(qū)間I上一致連續(xù) 對(duì)區(qū)間I中滿足 nn n lim xy 0 的任何兩個(gè)數(shù)列 n x n y 總有 nn n lim f x f y 0 You stupid cunt cunnilingus penis vagina 36 第五章第五章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分 思考題 思考題 1 是否成立 1 0000 f x f x f x f x0 2 若 0 f x 存在 則 000 n 1 lim n f x f x f x n 2 若連續(xù)函數(shù) f x 在 x x0處不可導(dǎo) 問(wèn)曲線 y f x 在點(diǎn) x0 f x0 處的切線能否存在 3 設(shè) f x 在 x0點(diǎn)可導(dǎo) g x 在 x0點(diǎn)不可導(dǎo) 問(wèn) f x g x 及 f x g x 在 x0點(diǎn)是否可導(dǎo) 4 能否說(shuō) 初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是可導(dǎo)的 5 若 f x 在 x0點(diǎn)可導(dǎo) 能否推出必存在點(diǎn) x0的某鄰域 U x0 使 f x 在 U x0 內(nèi)可導(dǎo) 6 設(shè) f x 在 上有定義 且滿足 1 f x f x2 x 2 在 x 0 點(diǎn)可導(dǎo) 求 df 0 7 設(shè) f x 對(duì) 12 x x 有 f x1 x2 f x1 f x2 且 f 0 1 證明 f x f x 8 若 f x 在 上有定義 且存在常數(shù) k 與 a 1 使對(duì) 12 x x 有 a 1212 f x f x k xx 證明 f x 為一常數(shù) 9 設(shè) f x 在 內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)函數(shù) f x 且 x lim f x 0 證明 至少存在一點(diǎn) 使f 0 10 證明 若 f x g x 在 x 0 處可導(dǎo) 且 g 0 0 又 f 0 g 0 0 則 x0 f x f 0 lim g x g 0 補(bǔ)充題 補(bǔ)充題 1 研究函數(shù) You stupid cunt cunnilingus penis vagina 37 1 xarctg x0 f x x 0 x0 在 x 0 點(diǎn)的可導(dǎo)性 1 x 1 x0 1 e f x 0 x0 在 x 0 的可導(dǎo)性 2 設(shè) 2 3 x x0 f x x x0 的二階導(dǎo)數(shù)存在 6 設(shè) a 為常數(shù) a 1 x sin x0 f x x 0 x0 請(qǐng)回答下列問(wèn)題 1 在什么情況下 f x 不是連續(xù)函數(shù) 2 在什么情況下 f x 是有界函數(shù) 3 在什么情形下 f x 連續(xù) 但不可導(dǎo) 4 在什么情形下 f x 可導(dǎo) 但 f x 不連續(xù) You stupid cunt cunnilingus penis vagina 38 5 在什么情形下 f x 連續(xù) 7 設(shè) f x 在 0 x a b 處可導(dǎo) 而 n0n axb n1 2 1 研究 f x 在 x 0 處連續(xù)性與可導(dǎo)性 2 求 f x You stupid cunt cunnilingus penis vagina 39 第六章第六章 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 思考題 思考題 1 在 Rolle 定理中 它的條件是否缺一不可 使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn) 是否唯一 試舉例 說(shuō)明 2 設(shè) f x 在 a b 上連續(xù) 在 a b 內(nèi)可導(dǎo) 且在 a b 內(nèi)某點(diǎn) 有f 0 問(wèn)是否一定 有 f a f b 3 設(shè)f x g x C a b 在 a b 內(nèi)可導(dǎo) 則函數(shù) f x g x 1 G x f a g a 1 f b g b 1 應(yīng)用 Rolle 定理會(huì)得出什么結(jié)論 4 Lagrange 中值公式有哪幾種形式 5 Lagrange 定理?xiàng)l件是充要條件還是充分但非必要條件 6 當(dāng) f x 在 a b 上滿足 Lagrange 定理的條件時(shí) 對(duì) a b 內(nèi)任一點(diǎn) 是否在這區(qū)間 內(nèi)一定存在 x1 x2 使 2121 f x f x f xx 12 xx 成立 請(qǐng)研究區(qū)間 1 1 上的函數(shù) f x x3 7 驗(yàn)證函數(shù) 2 2 20 x 0 x2 8 f x x2 2x x 3 設(shè) f x 定義在 a b 上 0 x a b 若 0 f x 0 則必存在點(diǎn) x0的某個(gè)鄰域 U x0 使 f x 在 U x0 內(nèi)最是嚴(yán)格遞增的 4 若在區(qū)間 I 上 f x g x 則在 I 上 f x g x 5 f x 在 a b 上的最大值 必是 f x 的極大值 6 若 f x 與 g x 都在點(diǎn) x x0處取極大值 則乘積 f x g x 也在 x x0處取極大值 You stupid cunt cunnilingus penis vagina 41 7 假設(shè) f x 在 a b 上可導(dǎo) 若 f x 在 a b 上最小值在 a 點(diǎn)取到 則f a 0 8 當(dāng) 2 b3ac0 a0 時(shí) 32 f x axbxcxd 無(wú)極值 9 設(shè) g x 在 內(nèi)嚴(yán)格增大 則 f x 與 g f x 在同一點(diǎn)達(dá)到極值 10 設(shè) f x 是二次連續(xù)可微的偶函數(shù) 且f 0 0 則 x 0 必為函數(shù)的極值點(diǎn) 11 f x 是 n 次多項(xiàng)式 n 1 f x 0 12 若 f x 是非負(fù)函數(shù) 則 cf2 x c 0 與 f x 有相同的極值點(diǎn) 補(bǔ)充題 補(bǔ)充題 1 設(shè) 1 x1 2x1 f x 1 x2 3x2 1 x3 4x3 證明 存在 0 1 使f 0 2 證明 若f x C a b 且f a f b 0 f a f b 0 則 f x 在 a b 內(nèi)至少 有一個(gè)零點(diǎn) 3 設(shè) f x 在 x0的某鄰域 0 U x 內(nèi)連續(xù) 在 o 0 U x 內(nèi)可導(dǎo) 并且 0 xx lim f x A 存在 求證 0 f x 存在 且 0 f x A 4 設(shè) f x 在 a 上連續(xù) 在 a 內(nèi)可微 f a xa k 是常數(shù) 證明 方程 f x0 在 a 內(nèi)有且僅有一個(gè)根 5 設(shè) f x在點(diǎn) a 的某鄰域 U a 內(nèi)可微 且 f00 證明 必有一串 n xa n 使 n n lim fx0 6 設(shè) f x 在 ab 上滿足羅爾定理?xiàng)l件 且不恒等于常數(shù) 則必有兩點(diǎn) ab 使 f0 f0 則f x 在 ab 上嚴(yán)格增大 8 設(shè) f x 在 ab 內(nèi)二階可微 且 f0 ab 試證 You stupid cunt cunnilingus penis vagina 42 存在兩點(diǎn) 1 x 2 xab 使 21 21 f xf x f xx 9 設(shè) 1 f x g x 在 ab 上二階可導(dǎo) 2 a c b g c0 3 f af b0 g ag b0 則存在一點(diǎn) ab 使 f cf g cg 10 設(shè) f x 滿足條件 f 00 fx0 0 時(shí) 1 f x f0fx x 2 f x F x x 嚴(yán)格遞減 11 設(shè) f x 在 a 內(nèi)可導(dǎo) 且 xlim f x0 則必有 x f x lim x 12 設(shè) f x 在 ab 上可導(dǎo) 試證 ab 使 22 2f bf aba f 13 若 f x 可導(dǎo) 試證 在 f x 的兩個(gè)零點(diǎn)之間一定有 f xfx 的零點(diǎn) 14 若 f x 在 01 上單調(diào)連續(xù) 在 0 1 內(nèi)可導(dǎo) 且 f 00 f 11 試證 對(duì)nN 在 01 內(nèi)存在 n 個(gè)不同的點(diǎn) 1 2 n 使 n ii 0 1 n f 15 設(shè) f x 在 01 上可微 對(duì)于每一 x01 0f x1 證明 至少存在一點(diǎn) ab 使 f0 再在 0 ax 0 xb 上使用拉格朗日中 值公式 最后再用一次拉格朗日公式 17 設(shè) f x 在 ab 上連續(xù) 在 ab 內(nèi)可導(dǎo) 且 0 a 使 2 2 2 1 f 1 提示 考慮輔助函數(shù) 2 x xf x 1x You stupid cunt cunnilingus penis vagina 44 24 若 f x在 01 內(nèi)可導(dǎo) 且有最大值1 最小值0 試證 1 必有點(diǎn) 01 使 f1 2 必有點(diǎn) 01 使 f2 25 設(shè) f x在 01 上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù) 且 f 0f 10 證明 對(duì) 實(shí)數(shù)a及 01 上任何一個(gè)可微函數(shù) g x 都存在 01 使 fafg 提示 考慮函數(shù) ag x F xf x e 26 證明 設(shè) f x在 ab 上連續(xù) 在 ab 內(nèi)有唯一的一個(gè)極值點(diǎn) 0 x 若f在 0 x 達(dá)到極大 極小 則f在 0 x達(dá)到最大 最小 27 證明不等式 21 21 sinxsinx xx 32 32 sinxsinx xx 此處0 123 xxx xab 證明 不存在常數(shù)M 0使 fx f x M xab 提示 用反證法 31 證明 若 f x在 ab 上存在二階導(dǎo)數(shù) 且 fafb0 則在 ab 內(nèi)至 少存在一點(diǎn)c使 fc 2 2 ba f bf a You stupid cunt cunnilingus penis vagina 45 提示 在區(qū)間 ab a 2 與 ab b 2 上用微分中值定理 32 設(shè) f x在 01 上二階可導(dǎo) f 0f 1 且 fx 2 試證 fx 1 33 設(shè) f x二階可導(dǎo) 證明下述兩結(jié)論 1 fx 0 2 對(duì) 1 x 與 2 x總有 1 f x 2212 f xfxxx 是等價(jià)的 34 設(shè) f x在 02 上二階可導(dǎo) 并且當(dāng) x02 時(shí) f x 1 fx 1 證明 fx 2 x02 35 設(shè) f x在 ab 上滿足 1 f af b0 2 fxfx g xf x0 其中 g x為任一函數(shù) 證明 在 ab 上 f x0 36 已知 f x在 01 內(nèi)取得最大值 在 01 上二階可微 且在 01 上 fx 1 證明 f0f1 1 37 設(shè) f x在全數(shù)軸上二次可微 且有界 試證 必有 0 x 使 0 fx0 38 設(shè) f x在 01 上具有連續(xù)的三階導(dǎo)數(shù) 且 f 01 f 12 1 f0 2 證明 在 01 內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使 f 24 39 證明 若在 ab 內(nèi) fx0 對(duì) 1 x 2 xab 及 兩正數(shù) 1 2 12 1 則有不等式 1 1221122 fxxf xf x 提示 利用微分中值定理 40 應(yīng)用第39題 12 1 2 證明下列不等式 1 n nn xy