振動和波動計算題及答案.doc

振動和波動計算題1.一物體在光滑水平面上作簡諧振動，振幅是12 cm，在距平衡位置6 cm處速度是24 cm/s，求 (1)周期T； (2)當(dāng)速度是12 cm/s時的位移 解：設(shè)振動方程為，則 (1) 在x = 6 cm，v = 24 cm/s狀態(tài)下有 解得 ， s 2分 (2) 設(shè)對應(yīng)于v =12 cm/s的時刻為t2，則由 得 ， 解上式得 相應(yīng)的位移為 cm 3分2. 一輕彈簧在60 N的拉力下伸長30 cm現(xiàn)把質(zhì)量為4 kg的物體懸掛在該彈簧的下端并使之靜止 ，再把物體向下拉10 cm，然 后由靜止釋放并開始計時求 (1) 物體的振動方程； (2) 物體在平衡位置上方5 cm時彈簧對物體的拉力； (3) 物體從第一次越過平衡位置時刻起到它運動到上方5 cm處所需要的最短時間 解： k = f/x =200 N/m ， rad/s 2分 (1) 選平衡位置為原點，x軸指向下方（如圖所示）， t = 0時， x0 = 10Acosf ，v0 = 0 = -Awsinf 解以上二式得 A = 10 cm，f = 0 2分 振動方程x = 0.1 cos(7.07t) (SI) 1分 (2) 物體在平衡位置上方5 cm時，彈簧對物體的拉力 f = m(g-a )，而a = -w2x = 2.5 m/s2 f =4 (9.82.5) N= 29.2 N 3分 (3) 設(shè)t1時刻物體在平衡位置，此時x = 0，即 0 = Acosw t1或cosw t1 = 0 此時物體向上運動， v 0 w t1 = p/2， t1= p/2w = 0.222 s 1分再設(shè)t2時物體在平衡位置上方5 cm處，此時x = -5，即 -5 = Acosw t1，cosw t1 =1/2 3. 一質(zhì)點作簡諧振動，其振動方程為 (SI) (1) 當(dāng)x值為多大時，系統(tǒng)的勢能為總能量的一半？ (2) 質(zhì)點從平衡位置移動到上述位置所需最短時間為多少？解：(1) 勢能 總能量 由題意， m 2分 (2) 周期 T = 2p/w = 6 s 從平衡位置運動到的最短時間 Dt 為 T/8 Dt = 0.75 s 3分4. 一質(zhì)點作簡諧振動，其振動方程為x = 0.24 (SI)，試用旋轉(zhuǎn)矢量法求出質(zhì)點由初始狀態(tài)（t = 0的狀態(tài)）運動到x = -0.12 m，v 0的狀態(tài)所需最短時間Dt解：旋轉(zhuǎn)矢量如圖所示 圖3分由振動方程可得 ， 1分 s 1分5. 兩個物體作同方向、同頻率、同振幅的簡諧振動在振動過程中，每當(dāng)?shù)谝粋€物體經(jīng)過位移為的位置向平衡位置運動時，第二個物體也經(jīng)過此位置，但向遠(yuǎn)離平衡位置的方向運動試?yán)眯D(zhuǎn)矢量法求它們的相位差解：依題意畫出旋轉(zhuǎn)矢量圖 3分 由圖可知兩簡諧振動的位相差為 2分6. 一簡諧振動的振動曲線如圖所示求振動方程解：(1) 設(shè)振動方程為 由曲線可知 A = 10 cm , t = 0， 解上面兩式，可得 f = 2p/3 2分由圖可知質(zhì)點由位移為 x0 = -5 cm和v 0 0的狀態(tài)所需時間t = 2 s，代入振動方程得 (SI) 則有， w = 5 p/12 2分故所求振動方程為 (SI) 1分7. 一質(zhì)點同時參與兩個同方向的簡諧振動，其振動方程分別為 x1 =510-2cos(4t + p/3) (SI) , x2 =310-2sin(4t - p/6） (SI) 畫出兩振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖，并求合振動的振動方程 解： x2 = 310-2 sin(4t - p/6) = 310-2cos(4t - p/6- p/2) = 310-2cos(4t - 2p/3) 作兩振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖，如圖所示 圖2分由圖得：合振動的振幅和初相分別為 A = (5-3)cm = 2 cm，f = p/3 2分合振動方程為 x = 210-2cos(4t + p/3) (SI) 1分8. 兩個同方向的簡諧振動的振動方程分別為 x1 = 410-2cos2p (SI), x2 = 310-2cos2p (SI) 求合振動方程解：由題意 x1 = 410-2cos (SI) x2 =310-2cos (SI) 按合成振動公式代入已知量，可得合振幅及初相為 m = 6.4810-2 m 2分 =1.12 rad 2分合振動方程為 x = 6.4810-2 cos(2pt+1.12) (SI) 1分9. 一平面簡諧波沿x軸正向傳播，其振幅為A，頻率為n ，波速為u設(shè)t = t時刻的波形曲線如圖所示求 (1) x = 0處質(zhì)點振動方程； (2) 該波的表達(dá)式 解：(1) 設(shè)x = 0 處質(zhì)點的振動方程為 由圖可知，t = t時 1分 1分所以 ， 2分x = 0處的振動方程為 1分 (2) 該波的表達(dá)式為 3分10. 一列平面簡諧波在媒質(zhì)中以波速u = 5 m/s沿x軸正向傳播，原點O處質(zhì)元的振動曲線如圖所示 (1) 求解并畫出x = 25 m處質(zhì)元的振動曲線 (2) 求解并畫出t = 3 s時的波形曲線 解：(1) 原點O處質(zhì)元的振動方程為 ， (SI) 2分波的表達(dá)式為 ， (SI) 2分 x = 25 m處質(zhì)元的振動方程為 ， (SI) 振動曲線見圖 (a) 2分 (2) t = 3 s時的波形曲線方程 ， (SI) 2分波形曲線見圖 2分11. 已知一平面簡諧波的表達(dá)式為 (SI) (1) 分別求x1 = 10 m，x2 = 25 m兩點處質(zhì)點的振動方程； (2) 求x1，x2兩點間的振動相位差； (3) 求x1點在t = 4 s時的振動位移 解：(1) x1 = 10 m的振動方程為 (SI) 1分 x2 = 25 m的振動方程為 (SI) 1分 (2) x2與x1兩點間相位差 Df = f2 - f1 = -5.55 rad 1分 (3) x1點在t = 4 s時的振動位移 y = 0.25cos(12543.7) m= 0.249 m 2分12. 如圖，一平面波在介質(zhì)中以波速u = 20 m/s沿x軸負(fù)方向傳播，已知A點的振動方程為 (SI) (1) 以A點為坐標(biāo)原點寫出波的表達(dá)式； (2) 以距A點5 m處的B點為坐標(biāo)原點，寫出波的表達(dá)式解：(1) 坐標(biāo)為x點的振動相位為 2分波的表達(dá)式為 (SI) 2分 (2) 以B點為坐標(biāo)原點，則坐標(biāo)為x點的振動相位為 (SI) 2分波的表達(dá)式為 (SI) 2分13. 一平面簡諧波沿x軸正向傳播，其振幅和角頻率分別為A和w ，波速為u，設(shè)t = 0時的波形曲線如圖所示 (1) 寫出此波的表達(dá)式 (2) 求距O點分別為l / 8和3l / 8 兩處質(zhì)點的振動方程 (3) 求距O點分別為l / 8和3l / 8 兩處質(zhì)點在t = 0時的振動速度 解：(1) 以O(shè)點為坐標(biāo)原點由圖可知，該點振動初始條件為 ， 所以 波的表達(dá)式為 4分 (2) 處振動方程為 1分 的振動方程為 1分 (3) t = 0，處質(zhì)點振動速度 1分 t = 0，處質(zhì)點振動速度 1分14. 如圖，一平面簡諧波沿Ox軸傳播，波動表達(dá)式為 (SI)，求 (1) P處質(zhì)點的振動方程； (2) 該質(zhì)點的速度表達(dá)式與加速度表達(dá)式解：(1) 振動方程 2分 (2) 速度表達(dá)式 2分加速度表達(dá)式 1分15. 某質(zhì)點作簡諧振動，周期為2 s，振幅為0.06 m，t = 0 時刻，質(zhì)點恰好處在負(fù)向最大位移處，求 (1) 該質(zhì)點的振動方程； (2) 此振動以波速u = 2 m/s沿x軸正方向傳播時，形成的一維簡諧波的波動表達(dá)式，（以該質(zhì)點的平衡位置為坐標(biāo)原點）； (3) 該波的波長解：(1) 振動方程 (SI) 3分 (2) 波動表達(dá)式 3分 (SI) (3) 波長 m 2分16. 如圖所示，一平面簡諧波沿Ox軸的負(fù)方向傳播，波速大小為u，若P處介質(zhì)質(zhì)點的振動方程為 ，求 (1) O處質(zhì)點的振動方程； (2) 該波的波動表達(dá)式； (3) 與P處質(zhì)點振動狀態(tài)相同的那些點的位置解：(1) O處質(zhì)點的振動方程為 2分 (2) 波動表達(dá)式為 2分 (3) x = -L k ( k = 1，2，3，) 1分17.如圖所示，一平面簡諧波沿Ox軸正向傳播，波速大小為u，若P處質(zhì)點的振動方程為 ，求 (1) O處質(zhì)點的振動方程； (2) 該波的波動表達(dá)式； (3) 與P處質(zhì)點振動狀態(tài)相同的那些質(zhì)點的位置解：(1) O處質(zhì)點振動方程 2分 (2) 波動表達(dá)式 2分 (3) (k = 0，1，2，3，) 1分18. 圖示一平面余弦波在t = 0 時刻與t = 2 s時刻的波形圖已知波速為u，求 (1) 坐標(biāo)原點處介質(zhì)質(zhì)點的振動方程； (2) 該波的波動表達(dá)式解：(1) 比較t = 0 時刻波形圖與t = 2 s時刻波形圖，可知此波向左傳播在t = 0時刻，O處質(zhì)點 ， ， 故 2分又t = 2 s，O處質(zhì)點位移為 所以 ， n = 1/16 Hz 2分振動方程為 (SI) 1分 (2) 波速 u = 20 /2 m/s = 10 m/s 波長 l = u /n = 160 m 2分波動表達(dá)式 (SI) 3分19. 如圖所示，兩相干波源在x軸上的位置為S1和S2，其間距離為d = 30 m，S1位于坐標(biāo)原點O設(shè)波只沿x軸正負(fù)方向傳播，單獨傳播時強(qiáng)度保持不變x1 = 9 m 和x2 = 12 m處的兩點是相鄰的兩個因干涉而靜止的點求兩波的波長和兩波源間最小相位差解：設(shè)S1和S2的振動相位分別為f 1和f 2在x1點兩波引起的振動相位差 即 2分在x2點兩波引起的振動相位差 即 3分得 m 2分由 2分當(dāng)K = -2、-3時相位差最小 1分 20. 兩波在一很長的弦線上傳播，其表達(dá)式分別為： (SI) (SI)求： (1) 兩波的頻率、波長、波速； (2) 兩波疊加后的節(jié)點位置； (3) 疊加后振幅最大的那些點的位置 解：(1) 與波動的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式 對比可得： n = 4 Hz， l = 1.50 m， 各1分波速 u = ln = 6.00 m/s 1分 (2) 節(jié)點位置 m , n = 0，1，2，3, 3分 (3) 波腹位置 m , n = 0，1，2，3, 2分 21. 設(shè)入射波的表達(dá)式為 ，在x = 0處發(fā)生反射，反射點為一固定端設(shè)反射時無能量損失，求 (1) 反射波的表達(dá)式； (2) 合成的駐波的表達(dá)式； (3) 波腹和波節(jié)的位置解：(1) 反射點是固定端，所以反射有相位突變p，且反射波振幅為A，因此反射波的表達(dá)式為 3分 (2) 駐波的表達(dá)式是 3分 (3) 波腹位置： , 2分 , n = 1, 2, 3, 4, 波節(jié)位置： 2分 , n = 1, 2, 3, 4, 22. 如圖所示，一平面簡諧波沿x軸正方向傳播，BC為波密媒質(zhì)的反射面波由P點反射， = 3l /4， = l /6在t = 0時，O處質(zhì)點的合振動是經(jīng)過平衡位置向負(fù)方向運動求D點處入射波與反射波的合振動方程（設(shè)入射波和反射波的振幅皆為A，頻率為n） 解：選O點為坐標(biāo)原點，設(shè)入射波表達(dá)式為 2分則反射波的表達(dá)式是 2分合成波表達(dá)式（駐波）為 2分在t = 0時，x = 0處的質(zhì)點y0 = 0， ， 故得 2分因此，D點處的合成振動方程是 2分23. 如圖，一角頻率為w ，振幅為A的平面簡諧波沿x軸正方向傳播，設(shè)在t = 0時該波在原