中考數(shù)學(xué)壓軸試題復(fù)習(xí)第一部分專題四因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形問(wèn)題(2).docVIP

教學(xué)資料參考中考數(shù)學(xué)壓軸試題復(fù)習(xí)第一部分專題四因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形問(wèn)題(2)- 1 -課前導(dǎo)學(xué)我們先思考三個(gè)問(wèn)題：1已知A、B、C三點(diǎn)，以A、B、C、D為頂點(diǎn)的平行四邊形有幾個(gè)，怎么畫(huà)？2在坐標(biāo)平面內(nèi)，如何理解平行四邊形ABCD的對(duì)邊AB與DC平行且相等？3在坐標(biāo)平面內(nèi)，如何理解平行四邊形ABCD的對(duì)角線互相平分？圖1 圖2 圖3如圖1，過(guò)ABC的每個(gè)頂點(diǎn)畫(huà)對(duì)邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生三個(gè)點(diǎn)D如圖2，已知A(0, 3)，B(2, 0)，C(3, 1)，如果四邊形ABCD是平行四邊形，怎樣求點(diǎn)D的坐標(biāo)呢？點(diǎn)B先向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位與點(diǎn)A重合，因?yàn)锽A與CD平行且相等，所以點(diǎn)C(3, 1) 先向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到點(diǎn)D(5, 4)如圖3，如果平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)G，那么過(guò)點(diǎn)G畫(huà)任意一條直線（一般與坐標(biāo)軸垂直），點(diǎn)A、C到這條直線的距離相等，點(diǎn)B、D到這條直線的距離相等關(guān)系式_A_C_B_D和yAyCyByD有時(shí)候用起來(lái)很方便我們?cè)賮?lái)說(shuō)說(shuō)壓軸題常常要用到的數(shù)形結(jié)合如圖4，點(diǎn)A是拋物線y_22_3在_軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AB_軸于點(diǎn)B，線段AB交直線y_1于點(diǎn)C，那么點(diǎn)A的坐標(biāo)可以表示為(_,_22_3)，點(diǎn)C的坐標(biāo)可以表示為(_, _1)，線段AB的長(zhǎng)可以用點(diǎn)A的縱坐標(biāo)表示為AByA_22_3，線段AC的長(zhǎng)可以用A、C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo) 圖4表示為ACyAyC(_22_3)(_1)_2_2 通俗地說(shuō)，數(shù)形結(jié)合就是：點(diǎn)在圖象上，可以用圖象的解析式表示點(diǎn)的坐標(biāo)，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離例 24 20_年湖南省_市中考第24題如圖1，拋物線經(jīng)過(guò)A(1, 0)、B(5, 0)、C三點(diǎn)設(shè)點(diǎn)E(_, y)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在_軸下方，四邊形OEBF是以O(shè)B為對(duì)角線的平行四邊形（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)E(_, y)運(yùn)動(dòng)時(shí)，試求平行四邊形OEBF的面積S與_之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出面積S的最大值；（3）是否存在這樣的點(diǎn)E，使平行四邊形OEBF為正方形？若存在，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 圖1 動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“14岳陽(yáng)24”，拖動(dòng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，S最大當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到OB的垂直平分線上時(shí)，四邊形OEBF恰好是正方形思路點(diǎn)撥1平行四邊形OEBF的面積等于OEB面積的2倍2第（3）題探究正方形OEBF，先確定點(diǎn)E在OB的垂直平分線上，再驗(yàn)證EOEB圖文解析（1）因?yàn)閽佄锞€與_軸交于A(1, 0)、B(5, 0)兩點(diǎn)，設(shè)ya(_1)(_5)代入點(diǎn)C，得解得所以拋物線的解析式為（2）因?yàn)镾S平行四邊形OEBF2SOBEOB(yE)所以當(dāng)_3時(shí)，S取得最大值，最大值為此時(shí)點(diǎn)E是拋物線的頂點(diǎn)（如圖2）（3）如果平行四邊形OEBF是正方形，那么點(diǎn)E在OB的垂直平分線上，且EOEB當(dāng)_時(shí)，此時(shí)E如圖3，設(shè)EF與OB交于點(diǎn)D，恰好OB2DE所以O(shè)EB是等腰直角三角形所以平行四邊形OEBF是正方形所以當(dāng)平行四邊形OEBF是正方形時(shí)，E、F圖2 圖3考點(diǎn)伸展既然第（3）題正方形OEBF是存在的，命題人為什么不讓探究矩形OEBF有幾個(gè)呢？如圖4，如果平行四邊形OEBF為矩形，那么OEB90根據(jù)EH2HOHB，列方程或者由DEOB，根據(jù)DE2，列方程這兩個(gè)方程整理以后都是一元三次方程4_328_253_200，這個(gè)方程對(duì)于初中畢業(yè)的水平是不好解的事實(shí)上，這個(gè)方程可以因式分解，如圖3，_；如圖4，_4；如圖5，_，但此時(shí)點(diǎn)E在_軸上方了這個(gè)方程我們也可以用待定系數(shù)法解：設(shè)方程的三個(gè)根是、m、n，那么4_328_253_20根據(jù)恒等式對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等，得方程組解得圖4 圖5例 25 20_年湖南省_市中考第20題如圖1，直線y3_3與_軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，拋物線ya(_2)2k經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，并與_軸交于另一點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為P（1）求a，k的值；（2）拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)Q，使ABQ是以AB為底邊的等腰三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）在拋物線及其對(duì)稱軸上分別取點(diǎn)M、N，使以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，求此正方形的邊長(zhǎng)】圖1 動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“14益陽(yáng)20”，可以體驗(yàn)到，點(diǎn)Q在線段AB的垂直平分線上還可以體驗(yàn)到，正方形的對(duì)角線為AC，有一個(gè)頂點(diǎn)恰為拋物線的頂點(diǎn)思路點(diǎn)撥1第（2）題的等腰三角形只考慮QAQB的情形2第（3）題的正方形不可能AC為邊，只存在AC為對(duì)角線的情形圖文解析（1）由y3_3，得A(1, 0)，B(0, 3)將A(1, 0)、B(0, 3)分別代入ya(_2)2k，得解得a1，k1（2）如圖2，拋物線的對(duì)稱軸為直線_2，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2, m)已知A(1, 0)、B(0, 3)，根據(jù)QA2QB2，列方程12m222(m3)2解得m2所以Q(2, 2)（3）點(diǎn)A(1, 0)關(guān)于直線_2的對(duì)稱點(diǎn)為C(3, 0)，AC2如圖3，如果AC為正方形的邊，那么點(diǎn)M、N都不在拋物線或?qū)ΨQ軸上如圖4，當(dāng)AC為正方形的對(duì)角線時(shí)，M、N中恰好有一個(gè)點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)(2,1) 因?yàn)閷?duì)角線AC2，所以正方形的邊長(zhǎng)為圖2 圖3 圖4考點(diǎn)伸展如果把第（3）題中的正方形改為平行四邊形，那么符合條件的點(diǎn)M有幾個(gè)？如果AC為對(duì)角線，上面的正方形AMCN是符合條件的，M(2,1)如圖5，如果AC為邊，那么MN/AC，MNAC2所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4或0 此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4, 3)或(0, 3)第（2）題如果沒(méi)有限制等腰三角形ABQ的底邊，那么符合條件的點(diǎn)Q有幾個(gè)？如圖2，當(dāng)QAQB時(shí)，Q(2, 2)如圖6，當(dāng)BQBA時(shí)，以B為圓心，BA為半徑的圓與直線_2有兩個(gè)交點(diǎn) 根據(jù)BQ210，列方程22(m3)210，得此時(shí)Q或如圖7，當(dāng)AQAB時(shí)，以A為圓心，AB為半徑的圓與直線_2有兩個(gè)交點(diǎn)，但是點(diǎn)(2,3)與A、B三點(diǎn)共線，所以Q(2, 3)圖5 圖6 圖7例 26 20_年湖南省_市中考第25題準(zhǔn)備一張矩形紙片（如圖1），按如圖2操作：將ABE沿BE翻折，使點(diǎn)A落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)M，將CDF沿DF翻折，使點(diǎn)C落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)N（1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形；（2）若四邊形BFDE是菱形，AB2，求菱形BFDE的面積圖1 圖2動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“14邵陽(yáng)25”，拖動(dòng)點(diǎn)D可以改變矩形ABCD的形狀，可以體驗(yàn)到，當(dāng)EM與FN在同一條直線上時(shí)，四邊形BFDE是菱形，此時(shí)矩形的直角被三等分思路點(diǎn)撥1平行四邊形的定義和4個(gè)判定定理都可以證明四邊形BFDE是平行四邊形2如果平行四邊形BFDE是菱形，那么對(duì)角線平分一組對(duì)角，或者對(duì)角線互相垂直用這兩個(gè)性質(zhì)都可以解答第（2）題圖文解析（1）如圖3，因?yàn)锳B/DC，所以ABDCDB又因?yàn)?2，34，所以13所以BE/FD又因?yàn)镋D/BF，所以四邊形BFDE是平行四邊形圖3 圖4（2）如圖4，如果四邊形BFDE是菱形，那么15所以125由于ABC90，所以12530所以BD2AB4，AE所以ME所以S菱形BFDE2SBDEBDME考點(diǎn)伸展第（1）題的解法，我們用平行四邊形的定義作為判定的依據(jù)，兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫平行四邊形還可以這樣思考：證明四邊形BFDE的兩組對(duì)邊分別相等；證明ED與BF平行且相等；證明四邊形BFDE的兩組對(duì)角分別相等這三種證法，都要證明三角形全等，而全等的前提，要證明1234這樣其實(shí)就走了彎路，因?yàn)橛?3，直接得到BE/FD，根據(jù)平行四邊形的定義來(lái)得快能不能根據(jù)BD與EF互相平分來(lái)證明呢？也是可以的：如圖5，設(shè)EF與BD交于點(diǎn)O，根據(jù)“角角邊”證明EMOFNO，得到EF與MN互相平分又因?yàn)锽MDN，于是得到EF與BD互相平分圖5 圖6第（2）題的解法，我們用了菱形的性質(zhì)：