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第二十六章二次函數(shù) 二次函數(shù)及其圖像 二次函數(shù)（quadratic function）是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項式函數(shù)。二次函數(shù)可以表示為f(x)=ax2+bx+c(a不為0)。其圖像是一條主軸平行于y軸的拋物線。一般的，自變量x和因變量y之間存在如下關系： 一般式y(tǒng)=ax2;+bx+c(a0,a、b、c為常數(shù))，頂點坐標為(-b/2a，-(4ac-b2)/4a) ； 頂點式y(tǒng)=a(x+m) 2+k(a0,a、m、k為常數(shù))或y=a(x-h)+k(a0,a、h、k為常數(shù))，頂點坐標為（-m，k）對稱軸為x=-m，頂點的位置特征和圖像的開口方向與函數(shù)ax的圖像相同，有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式； 交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2) 僅限于與x軸有交點A（x1，0）和 B（x2，0）的拋物線 ； 重要概念：a，b，c為常數(shù)，a0，且a決定函數(shù)的開口方向，a0時，開口方向向上，a0時，開口方向向下。a的絕對值還可以決定開口大小,a的絕對值越大開口就越小,a的絕對值越小開口就越大。 牛頓插值公式（已知三點求函數(shù)解析式）在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=2x的平方的圖像， 可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條永無止境的拋物線。 不同的二次函數(shù)圖像如果所畫圖形準確無誤，那么二次函數(shù)將是由一般式平移得到的。 注意：草圖要有 1本身圖像，旁邊注明函數(shù)。 2畫出對稱軸，并注明X=什么 3與X軸交點坐標，與Y軸交點坐標，頂點坐標。拋物線的性質(zhì) 軸對稱1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。 對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。 特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0） 頂點2.拋物線有一個頂點P，坐標為P ( -b/2a ，4ac-b2;)/4a ) 當-b/2a=0時，P在y軸上；當= b2;-4ac=0時，P在x軸上。 開口3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。 當a0時，拋物線向上開口；當a0時，拋物線向下開口。 |a|越大，則拋物線的開口越小。 決定對稱軸位置的因素4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。 當a與b同號時（即ab0），對稱軸在y軸左； 因為若對稱軸在左邊則對稱軸小于0，也就是- b/2a0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要異號 可簡單記憶為左同右異，即當a與b同號時（即ab0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時 （即ab 0 ），對稱軸在y軸右。 事實上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的 斜率k的值?？赏ㄟ^對二次函數(shù)求導得到。 決定拋物線與y軸交點的因素5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。 拋物線與y軸交于（0，c） 拋物線與x軸交點個數(shù)6.拋物線與x軸交點個數(shù) = b2-4ac0時，拋物線與x軸有2個交點。 = b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。 _ = b2-4ac0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(shù)（x= -bb24ac 的值的相反數(shù)，乘上 虛數(shù)i，整個式子除以2a） 當a0時，函數(shù)在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在x|x-b/2a上是增函數(shù)；拋物線的開口向上；函數(shù)的值域是y|y4ac-b2/4a相反不變 當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數(shù)是偶函數(shù)，解析式變形為y=ax2+c(a0) 特殊值的形式7.特殊值的形式 當x=時 y=a+b+c 當x=-1時 y=a-b+c 當x=2時 y=4a+2b+c 當x=-2時 y=4a-2b+c 二次函數(shù)的性質(zhì)解析式： y=ax2+bx+c一般式 a0 a0，則拋物線開口朝上；a0，則拋物線開口朝下； 最值點：（-b/2a，(4ac-b2)/4a）； =b2-4ac, 0，圖象與x軸交于兩點： （-b-/2a，0）和（-b+/2a，0）； 0，圖象與x軸交于一點： （-b/2a，0）； 0，圖象與x軸無交點； y=a(x-h)2+k頂點式 此時，對應極值點為（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b2)/4a； y=a(x-x1)(x-x2)交點式（雙根式）（a0） 對稱軸X=(X1+X2)/2 當a0 且X(X1+X2)/2時，Y隨X的增大而增大，當a0且X（X1+X2）/2時Y隨X 的增大而減小 此時，x1、x2即為函數(shù)與X軸的兩個交點，將X、Y代入即可求出解析式（一般與一元二次方程連 用）。 交點式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道兩個x軸交點和另一個點坐標設交點式。兩交點X值就是相應X1 X2值。用函數(shù)觀點看一元二次方程 1. 如果拋物線與x軸有公共點，公共點的橫坐標是，那么當時，函數(shù)的值是0，因此就是方程的一個根。2. 二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關系有三種：沒有公共點，有一個公共點，有兩個公共點。這對應著一元二次方程根的三種情況：沒有實數(shù)根，有兩個相等的實數(shù)根，有兩個不等的實數(shù)根。實際問題與二次函數(shù) 在日常生活、生產(chǎn)和科研中，求使材料最省、時間最少、效率最高等問題，有些可歸結為求二次函數(shù)的最大值或最小值。第二十七章相似 圖形的相似 概述如果兩個圖形形狀相同,但大小不一定相等,那么這兩個圖形相似。（相似的符號：） 判定如果兩個多邊形滿足對應角相等，對應邊的比相等，那么這兩個多邊形相似。 相似比相似多邊形的對應邊的比叫相似比。相似比為1時，相似的兩個圖形全等。 性質(zhì)相似多邊形的對應角相等，對應邊的比相等。相似多邊形的周長比等于相似比。 相似多邊形的面積比等于相似比的平方。相似三角形 判定1.兩個三角形的兩個角對應相等 2.兩邊對應成比例,且夾角相等 3.三邊對應成比例 4.平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長線相交，所構成的三角形與原三角形相似。 例題A=A; B=B ABCABC 性質(zhì)1.相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比。 2.相似三角形周長的比等于相似比。 3.相似三角形面積的比等于相似比的平方位似 如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點的連線交于一點，對應邊互相平行，那么這兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比。性質(zhì)位似圖形的對應點和位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比等于相似比。 位似多邊形的對應邊平行或共線。位似可以將一個圖形放大或縮小。位似圖形的中心可以在任意的一點，不過位似圖形也會隨著位似中心的位變而位變。 根據(jù)一個位似中心可以作兩個關于已知圖形一定位似比的位似圖形,這兩個圖形分布在位似中心的兩側,并且關于位似中心對稱。 注意 1、位似是一種具有位置關系的相似，所以兩個圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形； 2、兩個位似圖形的位似中心只有一個； 3、兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側，也可能位于位似中心的一側； 4、位似比就是相似比利用位似圖形的定義可判斷兩個圖形是否位似； 5、平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構成的三角形與原三角形位似。第二十八章銳角三角函數(shù) 銳角三角函數(shù) 銳角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角A的銳角三角函數(shù)。 正弦（sin）等于對邊比斜邊， 余弦（cos）等于鄰邊比斜邊 正切（tan）等于對邊比鄰邊； 余切（cot）等于鄰邊比對邊 正割（sec)等于斜邊比鄰邊 余割 (csc)等于斜邊比對邊 正切與余切互為倒數(shù) 互余角的三角函數(shù)間的關系。sin(90-)=cos, cos(90-)=sin, tan(90-)=cot, cot(90-)=tan.同角三角函數(shù)間的關系平方關系： sin2()+cos2()=1 積的關系： sin=tancos cos=cotsin 倒數(shù)關系： tancot=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊, 余弦等于角A的鄰邊比斜邊 正切等于對邊比鄰邊, 余切等于鄰邊比對邊三角函數(shù)值（1）特殊角三角函數(shù)值 （2）090的任意角的三角函數(shù)值，查三角函數(shù)表。 （3）銳角三角函數(shù)值的變化情況 （i）銳角三角函數(shù)值都是正值 （ii）當角度在090間變化時， 正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p小（或增大） 正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。?余切值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p小（或增大） （iii）當角度在090間變化時， 0sin1, 1cos0, 當角度在00, cot0. 特殊的三角函數(shù)值 0 30 45 60 90 0 1/2 2/2 3/2 1 sin 1 3/2 2/2 1/2 0 cos 0 3/3 1 3 None tan None 3 1 3/3 0 cot解直角三角形 勾股定理，只適用于直角三角形（外國叫“畢達哥拉斯定理”） a2+b2=c2, 其中a和b分別為直角三角形兩直角邊，c為斜邊。 勾股弦數(shù)是指一組能使勾股定理關系成立的三個正整數(shù)。比如：3，4，5。他們分別是3，4和5的倍數(shù)。 常見的勾股弦數(shù)有：3，4，5；6，8，10；等等.直角三角形的特征直角三角形兩個銳角互余；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；直角三角形中30所對的直角邊等于斜邊的一半；ABCD勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即：在RtABC中，若C90，則a2+b2=c2；勾股定理的逆定理：如果三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和，則這個三角形是直角三角形，即：在ABC中，若a2+b2=c2，則C90；ABCacb射影定理：AC2=ADAB,BC2=BDAB,CD2=DADB銳角三角函數(shù)的定義：如圖，在RtABC中，C90，A，B，C所對的邊分別為a,b,c,則sinA=,cosA=,tanA=,cotA=特殊角的三角函數(shù)值：（并會觀察其三角函數(shù)值隨的變化情況）sincostancot30451160解直角三角形（RtABC,C90）三邊之間的關系：a2+b2=c2兩銳角之間的關系：AB90邊角之間的關系：sinA=,cosA=tanA=,cotA=解直角三角形中常見類型：已知一邊一銳角已知兩邊解直角三角形的應用第二十九章投影與視圖 1投影 一般地，用光線照射物體，在某個平面（地面、墻壁等）上得到的影子叫做物體的投影（projection），照射光線叫做投影線，投影所在的平面叫做投影面。 有時光線是一組互相平行的射線，例如太陽光或探照燈光的一束光中的光線。由平行光線形成的投影是平行投影（parallel projection).由同一點（點光源發(fā)出的光線）形成的投影叫做中心投影（center projection)。投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影。投影線平行于投影面產(chǎn)生的投影叫做平行投影。物體正投影的形狀、大小與它相對于投影面的位置有關。2三視圖 三視圖是觀測者從三個不同位置觀察同一個空間幾何體而畫出的圖形。 將人的視線規(guī)定為平行投影線，然后正對著物體看過去，將所見物體的輪廓用正投影法繪制出來該圖形稱為視圖。一個物體有六個視圖：從物體的前面向后面投射所得的視圖稱主視圖能反映物體的前面形狀，從物體的上面向下面投射所得的視圖稱俯視圖能反映物體的上面形狀，從物體的左面向右面投射所得的視圖稱左視圖能反映物體的左面形狀， 還有其它三個視圖不是很常用。三視圖就是主視圖、俯視圖、左視圖的總稱。特點：一個視圖只能反映物體的一個方位的形狀，不能完整反映物體的結構形狀。三視圖是從三個不同方向?qū)ν粋€物體進行投射的結果，另外還有如剖面圖、半剖面圖等做為輔助，基本能完整的表達物體的結構。主視、俯視 長對正 物體的投影主視、左視 高平齊 左視、俯視 寬相等 在許多情況下，只用一個投影不加任何注解，是不能完整清晰地表達和確定形體的形狀和結構的。如圖所示，三個形體在同一個方向的投影完全相同，但三個形體的空間結構卻不相同?？梢娭挥靡粋€方向的投影來表達形體形狀是不行的。一般必須將形體向幾個方向投影，才能完整清晰地表達出形體的形狀和結構。 一個視圖