12追求自然連貫的數(shù)學(xué)教學(xué)過程.pdf

1 2 數(shù)學(xué)通報(bào)2 0 1 4 年第5 3 卷第1 2 期 追求自然連貫的數(shù)學(xué)教學(xué)過程 渠東劍 江蘇省南京市秦淮區(qū)教學(xué)研究室2 1 0 0 0 1 1 問題的提出 三角函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué) 模型 是基本初等函數(shù)之一 是高中數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)而 重要的內(nèi)容 任意角的三角函數(shù)是三角函數(shù)的基 礎(chǔ) 是高中數(shù)學(xué)的核心概念之一 其教學(xué)具有重要 意義 由于 任意角的三角函數(shù)的定義已超出學(xué)生 的知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ) 1 其建立的過程較為漫長 需 要?dú)v經(jīng)多個(gè)環(huán)節(jié) 突破諸多障礙 教學(xué)面臨變數(shù)與 挑戰(zhàn) 因而倍受人們的關(guān)注 對該課題教學(xué)的研究 也達(dá)到了一定的深度 例如 該課題時(shí)常作為研 究課 評優(yōu)課的課題 也見到較多的專題研究文 章 但在教學(xué)實(shí)踐中 仍存在一些困惑需要澄清 一些思考值得交流 筆者認(rèn)為 在教學(xué)過程中 追求自然連貫的數(shù) 學(xué)活動(dòng)過程是一個(gè)重要目標(biāo) 就任意角的三角函 數(shù)概念的教學(xué)實(shí)踐看 在概念建立的探究過程中 可能仍存在著數(shù)學(xué)活動(dòng)不自然 教學(xué) 強(qiáng)加于人 的現(xiàn)象 一些相關(guān)文獻(xiàn)也許還沒有很好地解決這 一問題 甚至本身存在著不自然的現(xiàn)象 當(dāng)然這些 現(xiàn)象的產(chǎn)生有其方方面面的原因 有些不易為我 們所察覺 因而解決這些問題并不太容易 這里 筆者試圖分析本課教學(xué)內(nèi)容 反思教學(xué)可能存在 的不自然現(xiàn)象 以追求自然連貫 2 的教學(xué)過程為 努力方向 就 終邊定義法 建立任意角的三角函 數(shù)的概念 給出自己的教學(xué)設(shè)計(jì)構(gòu)想 2 本課的起點(diǎn)思考 從本課教學(xué)的知識基礎(chǔ) 數(shù)學(xué)思想方法的學(xué) 習(xí) 數(shù)學(xué)探究方法的借鑒與應(yīng)用 數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的 組織 研究數(shù)學(xué)對象的一般套路 概念教學(xué)過程中 的育人價(jià)值等角度進(jìn)行思考 1 函數(shù)的概念 任意角的三角函數(shù) 其關(guān)鍵 詞 任意角 三角 函數(shù) 中 可能 函數(shù) 最為 本質(zhì)和重要 任意角的三角函數(shù) 是一個(gè)典型而重 要的函數(shù)模型 其研究的一般過程與方法 應(yīng)在函 數(shù)研究的大背景下 應(yīng)用研究函數(shù)的一般套路去 研究 正如之前的指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)一 樣 因此 函數(shù)的概念是本課的重要基礎(chǔ) 具體到 概念的建立 就要用 對應(yīng)說 函數(shù)的概念 去認(rèn)識 理解任意角的三角函數(shù)的概念 即要學(xué)生認(rèn)識到 它是數(shù) 其意義是角 到數(shù) 坐標(biāo)的比值 的對應(yīng) 映射 2 任意角的概念 這是最直接的基礎(chǔ)知識 由于任意角的概念剛剛學(xué)習(xí)過 作為建立概念的 知識基礎(chǔ)之一 對學(xué)生而言應(yīng)該沒有什么困難 但 是 理解任意角的意義 特別從描述旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的意 義理解 對建立任意角的三角函數(shù)的概念可能是 重要的 某種意義下 任意角產(chǎn)生的背景就是描述旋 轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的需要 三角函數(shù)就是刻畫勻速圓周運(yùn)動(dòng) 的不變量 即研究勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律 進(jìn)一步 地 三角函數(shù)是研究周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型 試想 大海的潮汐現(xiàn)象可以用三角函數(shù)刻畫 但其中哪 還有角的蹤影 可否這樣理解 任意角的三角函 數(shù)的研究始于角 但其本質(zhì)與意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出角的 范疇 是一般函數(shù)意義下的重要函數(shù)模型 3 初中直角三角形中的銳角三角函數(shù) 這是 本課重要的知識生長點(diǎn)與固著點(diǎn) 銳角是任意角 的特例 銳角三角函數(shù)也應(yīng)當(dāng)是任意角的三角函 數(shù)的特例 從這個(gè)意義上說 任意角的三角函數(shù)是 銳角三角函數(shù)的推廣 如此 我們也許可以認(rèn)為 銳角三角函數(shù)的概念 符號s i n 口 c o s 口 t a n 口是 本課的基礎(chǔ) 也是本課的起點(diǎn) 但是 筆者的教學(xué) 本文是江蘇省教研室第七期教學(xué)研究課題 新課程背景下農(nóng)村高中數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展行動(dòng)研究 后續(xù)研究成果 萬方數(shù)據(jù) 2 0 1 4 年第5 3 卷第1 2 期數(shù)學(xué)通報(bào) 1 3 實(shí)踐似乎表明 在當(dāng)下學(xué)生的潛意識里 銳角三角 函數(shù)離不開直角三角形 是 邊長 長度 的比 其 主要作用是解直角三角形 他們還未清楚地認(rèn)識 到 銳角三角函數(shù)值只與角有關(guān) 甚至沒有意識 到它就是函數(shù) 變化過程中的自變量的對應(yīng)關(guān) 系 事實(shí)上 直角三角形中的銳角三角函數(shù) 一定 意義下是 三角 即刻畫直角三角形中的邊角關(guān) 系 屬靜態(tài)下的數(shù)量關(guān)系 其作用主要是解直角三 角形 與函數(shù)意義下的銳角三角函數(shù)是不一樣的 這里的銳角三角函數(shù)是以數(shù) 意義是角 取值范圍 是 o 詈 為自變量 對應(yīng)法則是比值 可構(gòu)造直 厶 角三角形 進(jìn)而得邊長的比值 的函數(shù) 從這一點(diǎn) 說 任意角的三角函數(shù)不能認(rèn)為是初中直角三角 形中的銳角三角函數(shù)的直接推廣 換言之 要完成 這樣的推廣過程 中間還有很多工作要做 其中 讓學(xué)生建立函數(shù)意義下的銳角三角函數(shù)概念可能 是承上啟下的關(guān)鍵之舉 4 圖形的相似 用 終邊坐標(biāo)法 定義任意角 的三角函數(shù) 必須要說明 比值 與坐標(biāo) 也就是 點(diǎn) 的選擇無關(guān) 比值被終邊位置所確定 進(jìn)而被 角所確定 這是定義的本質(zhì)所在 是建立概念的關(guān) 鍵步驟 也是下一步 用單位圓認(rèn)識三角函數(shù)定 義 的基礎(chǔ) 這些問題的處理與解決 離不開直角 三角形的相似 當(dāng)然 這里只要求直角三角形的相 似及其性質(zhì) 對學(xué)生而言并無困難 5 圓 主要是單位圓的建立及其應(yīng)用 所涉 及到的圓的性質(zhì)是基本的 如果通過 摩天輪情 境 引入課題 還會有圓的影子在其中 那么怎樣 利用圓的性質(zhì) 如何讓圓在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)退避幕后 凸顯三角函數(shù)定義的本質(zhì) 也是不容忽視的問題 6 建立數(shù)學(xué)概念的過程與方法 概念 特別 是核心概念 要把 認(rèn)識數(shù)學(xué)對象的基本套路 作 為核心目標(biāo)之一 3 1 如前所述 建立任意角的三 角函數(shù)概念 需要經(jīng)過 漫長 的過程 突破一系列 障礙 學(xué)生已有的經(jīng)歷經(jīng)驗(yàn)就顯得十分重要了 建 立數(shù)學(xué)概念模型的過程與方法 具體到這里 建立 函數(shù)模型的過程與方法 理解建立概念的必要 性與合理性 突出概念的本質(zhì) 概念推廣的一般 方法 過程與意義把握 等 7 學(xué)生探究學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn) 由于三角函數(shù)被安 排在必修4 模塊 此前學(xué)生已經(jīng)歷了高中數(shù)學(xué)較 長時(shí)間 較多內(nèi)容的學(xué)習(xí) 積累了一定的探究學(xué)習(xí) 經(jīng)驗(yàn) 其認(rèn)知的知識基礎(chǔ)與理性思維達(dá)到了一定 的水平 這將為本課的探究學(xué)習(xí)提供良好的基礎(chǔ) 3 教學(xué)可能存在 不自然 的節(jié)點(diǎn)分析 筆者認(rèn)為 教學(xué)應(yīng)以 數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展的過 程和理解數(shù)學(xué)知識的心理過程為基本線索 2 讓知識自然地從學(xué)生的頭腦中流淌出來 從構(gòu)建 自然連貫的學(xué)習(xí)過程出發(fā) 在任意角的三角函數(shù) 概念的教學(xué)過程中 以下幾點(diǎn)可能是需要我們思 考并用心而為之的 或者說 處理不好這幾點(diǎn) 可 能會造成學(xué)生學(xué)習(xí)不自然 教學(xué)強(qiáng)加于人 概念教 學(xué)育人價(jià)值打折扣的現(xiàn)象 3 1 情境設(shè)置不自然 情境設(shè)置是課題的引入 教學(xué)的起點(diǎn) 也是學(xué) 生明確探究目標(biāo) 產(chǎn)生學(xué)習(xí)傾向的基礎(chǔ) 更是讓學(xué) 生自然地進(jìn)人探究活動(dòng)中去的前提 根據(jù)筆者的 了解 課題的引入常見以下4 種形式 但都可能存 在不自然的嫌疑 1 照搬教材 蘇教版 情境 從復(fù)習(xí) 銳角三 角函數(shù)的定義 出發(fā) 即復(fù)習(xí)初中 直角三角形中 的銳角三角函數(shù) 然后把直角三角形放人坐標(biāo)系 中 類比 邊長比 把邊長比換成 坐標(biāo)比 圖形 在第一象限 剛好坐標(biāo)是都是正的 很容易換過 來 形成坐標(biāo)比形式下的 銳角三角函數(shù)的定義 再推廣到任意角的情形 其可能的 不自然 之處 是 為什么要把直角三角形放到坐標(biāo)系中 為什 么要照那樣的位置放 怎么想到的 似乎沒有恰 當(dāng)?shù)木売?解決不好這些銜接過渡的細(xì)節(jié)問題 學(xué) 生只能被動(dòng)地跟著教師走 走一步看一步 茫然而 被動(dòng) 2 類比引入新的問題 先復(fù)習(xí)銳角三角函 數(shù)的求值 如求s i n3 0 c o s4 5 s i n7 8 的值 它們 要么是特殊角 要么可以用計(jì)算器或查表求值 然 后提出求諸如s i n1 5 0 c o s2 0 0 的值的問題 從而 引出研究任意角的三角函數(shù)問題 這里 對于非銳 角的三角函數(shù) 學(xué)生還未學(xué)習(xí) 從知識的邏輯關(guān)系 上講 學(xué)生還不知道s i n1 5 0 c o s2 0 0 為何物 怎 能提出能不能 求值 的問題呢 這樣可能存在邏 輯混亂的錯(cuò)誤 3 從 旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng) 的研究引入 從旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng) 周而復(fù)始 提出刻畫旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)或周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué) 萬方數(shù)據(jù) 1 4 數(shù)學(xué)通報(bào) 2 0 1 4 年第5 3 卷第1 2 期 模型問題 這一點(diǎn)確實(shí)是觸及到了任意角的三角 函數(shù)的本質(zhì) 有利于明確學(xué)習(xí)的目標(biāo) 理解建立概 念的意義 但筆者認(rèn)為 問題可能太過抽象與專 業(yè) 離學(xué)生認(rèn)知的起點(diǎn)太遠(yuǎn) 問題產(chǎn)生突然 缺乏 必要的鋪墊 為什么要用函數(shù)模型刻畫周期現(xiàn)象 為什么三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模 型 未來要建立怎樣的函數(shù) 問題遠(yuǎn)離學(xué)生 最近發(fā)展區(qū) 就可能曲高和寡 而且 回到 初中 直角三角形中的銳角三角函數(shù) 將存在著從坐標(biāo) 系回到平面圖形的反向順序 也會給學(xué)生的認(rèn)知 造成一些負(fù)面影響 4 摩天輪情境 從學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)生活 情境出發(fā) 產(chǎn)生有意義的實(shí)際問題 并從中引出刻 畫圓周上一點(diǎn)位置的兩種表示形式 r 口 與 z 了 進(jìn)而提出要探究二者之間的關(guān)系的問題 筆 者認(rèn)為 選擇該情境引入課題 背景熟悉 親切自 然 后續(xù)探究進(jìn)展順暢 例如 提出的問題本身就 已在坐標(biāo)系中 利用直角坐標(biāo)系作為研究工具 自 然而然 回到直角三角形中的銳角三角函數(shù)也有 恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)和自然的途徑 后面筆者將給出詳細(xì) 的分析 筆者傾向于此種情境引入 可能的不足是 由 摩天輪情境到提出點(diǎn)的位置問題 進(jìn)而引出兩種 不同的刻畫形式 口 與 z y 其過程可能會較 為曲折與 漫長 要建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系 以摩天輪中心為坐標(biāo)原點(diǎn)較合適 而實(shí)際問題情 形中位置的描述 高 與這樣建立的坐標(biāo)系中的縱 坐標(biāo)并不一致 從而 厘清其中的關(guān)系 并用符號 語言表達(dá)所要研究的問題 需要較長的過程 較多 的時(shí)間成本 等 就 摩天輪情境 的探究過程 筆者再作如下 探討 指出其可能存在的不自然現(xiàn)象 3 2 坐標(biāo)比下的銳角三角函數(shù)形成太匆忙 前文已述及 直角三角形中的銳角三角函數(shù) 的概念一定要出場 但何時(shí)出場合適 就是要看 是否是自然的出場 由學(xué)生較為自然地聯(lián)想回 憶 即使教師事前復(fù)習(xí) 打好 先行組織者 的鋪 墊 也要在數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程中 讓學(xué)生把它請出 來 而不是教師拋出來 更不應(yīng)該似從天而降 由直角三角形中的銳角三角函數(shù)直接給出坐 標(biāo)比形式的銳角三角函數(shù)定義 也是不自然的 中 間跳了好多步 從學(xué)生的認(rèn)知心理看 教師不可 忽視學(xué)生 銳角三角函數(shù) 的知識基礎(chǔ)對 任意角 的三角函數(shù) 學(xué)習(xí)的負(fù)面影響 1 前文已說明 直角三角形中的銳角三角函數(shù) 與當(dāng)前函數(shù)意義 下 坐標(biāo)比形式表示的銳角三角函數(shù)并不是一回 事 中間有一個(gè)把邊長 長度 比發(fā)展為坐標(biāo) 意味 著有符號 比的過程 在坐標(biāo)系的背景下 用坐標(biāo) 系這個(gè)工具研究 r 口 與 z y 的關(guān)系時(shí) 需要由 邊長比過渡到坐標(biāo)比 在這個(gè)過程中 需要學(xué)生產(chǎn) 生主動(dòng)過渡的探究傾向 理解這樣的過渡是必要 的 有意義的 合理的與可行的 其間學(xué)生的心理 順應(yīng)過程是 漫長而曲折的 完成這樣的過程不 是一蹴而就的 3 3 由銳角情形到任意角情形的 推廣 過于簡 單化 同樣地 得到由坐標(biāo)比形式表示的銳角三角 函數(shù)定義s i n 口 上 c o s 口 蘭 t a n 口一上 口為銳 l 工 角 后 用類比的方法 形式化地 馬上 推廣 給出 任意角的情形 即直接拋出任意角的三角函數(shù)定 義 也是不合適的 因?yàn)樗^了必要的 重要的 探究過程 是不自然不合情理的 為什么對任意角 也要用這三個(gè)比值來定義呢 其必要性合理性在 哪里 這有必要引導(dǎo)學(xué)生思考 首先 從系統(tǒng)地研究數(shù)學(xué)對象的需要出發(fā) 從 本課目標(biāo)任務(wù)分析 本課的任務(wù)是什么 建 立針對口為任意角的 口 與 z 3 的關(guān)系 已經(jīng) 借鑒直角三角形中的銳角三角函數(shù)定義 研究了 口為銳角時(shí)的情形 建立了坐標(biāo)比形式表示的銳 角三角函數(shù)的定義 接下來要干什么呢 還 有除口為銳角以外的情形沒有研究 繼續(xù)探究 其余 的情形 探究的任務(wù)與方向不就顯而易見 了嗎 其次 怎樣研究呢 既然要研究口為任意角 的情形 那么 研究的結(jié)果應(yīng)當(dāng)包括口為銳角的情 形 這就是要把已有的口為銳角時(shí)的研究結(jié)果加 以推廣 怎樣推廣呢 推廣是立足于原有基礎(chǔ)的 推廣 是 事物 的再擴(kuò)大 這樣可以預(yù)見 即將 要建立的口為任意角情形下的 r 口 與 z y 的關(guān) 系 當(dāng)口為銳角時(shí)就應(yīng)是剛剛建立起來的 坐標(biāo)比 形式下的銳角的三角函數(shù) 于是 推廣就有了基 礎(chǔ) 也有了方向 在此基礎(chǔ)上 自然會嘗試將s i n 口 詈 c o s 口 吾 t a n 口 罟作為口為任意角時(shí)的 2 c o s 口2 一 t a n 口2 作為口為仕葸角時(shí)的 rrZ 一 一 萬方數(shù)據(jù) 2 0 1 4 年第5 3 卷第1 2 期數(shù)學(xué)通報(bào) 1 5 r 口 與 z y 關(guān)系 接下來則需要驗(yàn)證 這些關(guān) 系符合函數(shù)的定義 稱它們?yōu)槿我饨堑娜呛瘮?shù) 名符其實(shí) 這樣也就把任意角的三角函數(shù)統(tǒng)一到 函數(shù)下了 這些關(guān)系式刻畫了 r 口 與 z y 的關(guān) 系 解決了本課開頭提出的問題 再通過 考查特 例 方式研究終邊落在坐標(biāo)軸上的情形 特別是落 在3 軸上時(shí)正切不存在 至此 完成了任意角的三 角函數(shù)的概念建構(gòu)的全過程 再次 為了做好由 銳角 情形到 任意角 情 形的推廣 必須把推廣的準(zhǔn)備工作做到家 坐標(biāo)比 意義下的銳角三角函數(shù)定義搞清楚了嗎 它是函 數(shù)意義下的三角函數(shù)嗎 是的 這個(gè)函數(shù)以 數(shù) 意義為角 取值范圍 定義域 為fo 詈 為自 厶 變量 對應(yīng)法則是點(diǎn)的坐標(biāo)的比值 與點(diǎn)的選擇無 關(guān) 被角 表現(xiàn)形式是數(shù) 所確定 這里 還可能需 要明確角的單位是弧度 以突出建立的關(guān)系是數(shù) 到數(shù)的對應(yīng) 當(dāng)然要恰當(dāng)把握其探究的度 基于上述分析 任意角的三角函數(shù)的教學(xué) 既 是概念教學(xué) 又是建立數(shù)學(xué)模型 建構(gòu)需要 漫長 的探究過程 歷經(jīng)多個(gè)環(huán)節(jié) 這些環(huán)節(jié)構(gòu)成連貫的 線性邏輯關(guān)系 正是在這樣的過程中 發(fā)展學(xué)生的 認(rèn)知力 教學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)研究的一般方法 教學(xué)生 學(xué)會思考 從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)育人的價(jià)值 如果人為地 縮短過程或打破這樣的程序結(jié)構(gòu) 教學(xué)過程中必 然會發(fā)生教學(xué)不自然 學(xué)生心理體驗(yàn)與認(rèn)知不到 位的現(xiàn)象 4 教學(xué)設(shè)計(jì)構(gòu)想 基于上述分析 針對 任意角的三角函數(shù) 的 教學(xué) 筆者就 終邊定義法 的教材安排 選擇 摩 天輪情境 引入 給出教學(xué)設(shè)計(jì)構(gòu)想 筆者試圖厘 清其間的邏輯順序與結(jié)構(gòu) 努力突出學(xué)生的主動(dòng) 探究 知識產(chǎn)生的自然 數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的順暢 這 里 筆者用如下框圖 圖1 表示教學(xué)路線圖 并就 幾個(gè)節(jié)點(diǎn)作出說明 1 給出勻速旋轉(zhuǎn)的摩天輪情境 提出坐在 座艙里的一個(gè)人的位置描述的問題 引導(dǎo)學(xué)生恰 當(dāng)建立平面直角坐標(biāo)系 以摩天輪中心為坐標(biāo) 原點(diǎn) 借助于坐標(biāo)系研究 并回顧任意角的意義 得到兩種可能的描述形式 r a 與 z 3 f 把實(shí)際 問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題 進(jìn)而提出在坐標(biāo)系下探究 r 口 與 z y 的關(guān)系的問題 情境 l 垂副蕊霪H 囊羚籌 圈l 2 直接就任意角的情形探究是困難的 學(xué) 生很難獨(dú)立完成探究過程 需要教師啟發(fā)引導(dǎo) 首 先 遇到新問題怎么辦 如果問題比較復(fù)雜 該從 哪里切入呢 讓學(xué)生萌發(fā)從 簡單開始 的念 頭 其次 對任意角而言 簡單情形是什么呢 銳角 即當(dāng)口為銳角時(shí)的情形 進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生 形成先研究 口為銳角情形 的方案 此時(shí)問題轉(zhuǎn) 化為 先研究口為銳角 時(shí) r a 與 z y 的關(guān) 系 再次 你打算怎樣研 究呢 具體要探究 當(dāng)a 為銳角時(shí) r 口 z y 是什么 有何意義 引導(dǎo) 學(xué)生自己畫圖 如圖2 f 晰 i i y 口r D xMx 圖2 此時(shí)直角三角形 0 M P 自然 浮出水面 初中直角三角形中的銳 角三角函數(shù)也隨之而來 對新知識的探究自然回 到已有的基礎(chǔ)起點(diǎn) 3 在圖2 中 從 它是什么 出發(fā) 不難看出 橫 縱坐標(biāo)即為直角三角形o M P 的兩直角邊 o M M P 的長 再分析口 r 的意義 直角三角形中 的邊角關(guān)系 初中 直角三角形中的銳角三角 函數(shù) 的出場自然而然 直接遷移過來 容易得到 關(guān)系式s i n 口一上 c o s 口 蘭 t a na 上 再探究這 fl工 一組關(guān)系式 回答了 口為銳角時(shí) 的問題 它 們是函數(shù) 因?yàn)榉虾瘮?shù)的定義 結(jié)果與P 點(diǎn) 選擇無關(guān) 這樣就得到了函數(shù)意義下的 坐標(biāo)比形 式的銳角三角函數(shù) 雖然此時(shí)角仍為銳角 其終邊 在第一象限 但研究已 離開 了 直角三角形 邊 長比 建立了以終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)來定義的三角 函數(shù) 接下去的 角口的終邊在其它位置 的研究 萬方數(shù)據(jù) 1 6數(shù)學(xué)通報(bào)2 0 1 4 年第5 3 卷第1 2 期 也就自然展開了 4 前文已及 面對本課研究的目標(biāo)任務(wù) 已 經(jīng)解決了特殊情形下 口為銳角 的問題 尚有a 不是銳角的情形下的問題沒有解決 怎樣解決呢 任意角與銳角有何關(guān)系呢 要把結(jié)果推廣到 口為任意角的情形中去 如何推廣呢 怎樣定義 才是合適的呢 猜想用s i na 一手 c sa 一 三 t a n 口一上 z O 來定義可能是合適的 接下 工 來依然要探究 這樣的猜想是合理而有意義的 它們是函數(shù) 因?yàn)榉虾瘮?shù)的定義 結(jié)果與P 點(diǎn)選擇無關(guān) 回答了提出的問題 前文已詳述 5 回顧探究過程 綜合研究成果 明確回答 問題 分析用s i n 口一上 c o s 口一土 t a n 口一上 z I TZ o 來描述 r 口 z y 的關(guān)系 是可能的 合理 的 有意義的 首先要考察特例 即當(dāng)口為銳角時(shí) 它就是剛剛建立的銳角三角函數(shù)關(guān)系 其次 要思 考并理解這里用坐標(biāo)比表示任意角的三角函數(shù) 其結(jié)果更具一般性與先進(jìn)性 因?yàn)樗褑栴}放在 了坐標(biāo)系中討論 它回答了本課的問題 它是 對 應(yīng)說 函數(shù)意義下的函數(shù) 至此 給出 任意角的三 角函數(shù) 的定義 完成概念建構(gòu)的全過程 也許是 水到渠成 自然而然的了 參考文獻(xiàn) 1 連春興 過程 與 結(jié)論 應(yīng)該并重的一個(gè)佐證 J 中學(xué)數(shù)學(xué) 教學(xué)參考 2 0 1 0 6 1 5 1 7 2 1 2 章建躍 構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程使學(xué)生學(xué)會思考 J 數(shù)學(xué) 通報(bào) 2 0 1 3 6 5 8 封底 3 章建躍 中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個(gè)論題 J 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考 上 旬 2 0 l O 3 2 5 4 榘東劍 三維目標(biāo)下的探究教學(xué)設(shè)計(jì) J 數(shù)學(xué)通報(bào) 2 0 1 4 3 2 8 3 2 上接第7 頁 4 結(jié)束語 我國從2 0 0 3 年起動(dòng)高中數(shù)學(xué)課程改革 到目 前已經(jīng)進(jìn)行了十余年的實(shí)踐 通過國際比較研究 來進(jìn)一步深入研究高中數(shù)學(xué)課程 可以為新一輪 我國高中數(shù)學(xué)課程改革的推進(jìn)提供更為豐富的研 究基礎(chǔ) 通過本文的研究 我們可以更為準(zhǔn)確的把 握我們國家在函數(shù)內(nèi)容的深度 廣度以及處理方 式上的一些特點(diǎn) 可以更加合理地提高函數(shù)各個(gè) 知識點(diǎn)的認(rèn)知要求 同時(shí)也會更清楚地看到 雖