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文檔簡介
2.2絕對值不等式的解法學(xué)習(xí)目標(biāo):1.理解絕對值的幾何意義,掌握去掉絕對值的方法(重點(diǎn))2.會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式:|axb|c;|axb|c;|xa|xb|c(c0)(重點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn))教材整理1含有一個絕對值不等式的解法閱讀教材P8P9“思考交流”以上部分,完成下列問題1絕對值的不等式|x|a與|x|a的解集不等式a0a0a0|x|ax|axa|x|ax|xa,或xaxR,且x0R2.|axb|c與|axb|c(c0)型不等式的解法(1)|axb|ccaxbc;(2)|axb|caxbc或axbc.判斷(正確的打“”,錯誤的打“”)(1)|x|a的解集是(a,a).()(2)不等式|x2|3的解集是(,15,).()(3)若|xa|2的解集是(1,3)時,a的值為2.()解析(1)當(dāng)a0時,|x|a的解集為.(2)由|x2|3,得x23或x23,即x5或x1.(3)若|xa|1的解集為_(2)若f(x)|xa|xb|的最小值為3,當(dāng)a|x1|的解集為_解析(1)|x4|x2|42|21,不等式的解集為R.(2)由條件可知,當(dāng)af(x)恒成立時,af(x)min,即a(x1)2,整理得x1.答案(1)R(2)a3(3)(,1)|axb|c與|axb|c型不等式的解法【例1】解下列不等式:(1)17x.精彩點(diǎn)撥(1)可利用公式轉(zhuǎn)化為|axb|c(c0)或|axb|0)型不等式后逐一求解,也可利用絕對值的定義分兩種情況去掉絕對值符號,還可用平方法轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式(2)可利用公式法轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式自主解答(1)法一:原不等式等價(jià)于不等式組即解得1x1或3x5,所以原不等式的解集為x|1x1或3x5法二:原不等式可轉(zhuǎn)化為:或由得3x5,由得1x1,所以原不等式的解集是x|1x1或3x5法三:原不等式的解集就是1(x2)29的解集,即解得所以1x1或3x5.所以原不等式的解集是x|1x1或37x,可得2x57x或2x52或x4.所以原不等式的解集是x|x21形如a|f(x)|a0)型不等式的簡單解法是利用等價(jià)命題法,即a|f(x)|b(0ab)a|f(x)|b或bf(x)g(x)和|f(x)|g(x)或f(x)g(x)和g(x)f(x)g(x)求解3形如|f(x)|f(x)型不等式的簡單解法是利用絕對值的定義,即|f(x)|f(x)f(x)0,|f(x)|f(x)x.1解不等式|x2x2|x23x4.解x2x20,|x2x2|x2x2.原不等式等價(jià)于x2x2x23x4,解得x3.原不等式的解集為x|x3.|xa|xb|c(c)型不等式的解法【例2】解不等式|x1|x1|3.精彩點(diǎn)撥本題考查|xa|xb|c型含兩個絕對值的不等式的解法,解答此題可利用絕對值的幾何意義去掉絕對值符號求解,也可用零點(diǎn)分區(qū)間討論法求解,或者用圖像法,利用圖形分析求解自主解答法一:如圖所示,設(shè)數(shù)軸上與1,1對應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,那么A,B兩點(diǎn)的距離和為2,因此區(qū)間1,1上的數(shù)都不是不等式的解設(shè)在A點(diǎn)左側(cè)有一點(diǎn)A1,到A,B兩點(diǎn)的距離和為3,A1對應(yīng)數(shù)軸上的x.1x1x3,得x.同理設(shè)B點(diǎn)右側(cè)有一點(diǎn)B1到A,B兩點(diǎn)距離和為3,B1對應(yīng)數(shù)軸上的x,x1x(1)3.x.從數(shù)軸上可看到,點(diǎn)A1,B1之間的點(diǎn)到A,B的距離之和都小于3;點(diǎn)A1的左邊或點(diǎn)B1的右邊的任何點(diǎn)到A,B的距離之和都大于3.所以原不等式的解集是.法二:當(dāng)x1時,原不等式可以化為(x1)(x1)3,解得x.當(dāng)1x1時,原不等式可以化為x1(x1)3,即23,不成立,無解當(dāng)x1時,原不等式可以化為x1x13,所以x.綜上所述,原不等式的解集為.法三:將原不等式轉(zhuǎn)化為|x1|x1|30.構(gòu)造函數(shù)y|x1|x1|3,即y作出函數(shù)的圖像,如圖所示:函數(shù)的零點(diǎn)是,.從圖像可知,當(dāng)x或x時,y0,即|x1|x1|30.解得原不等式的解集為.這三種解法是解含有兩個絕對值和差不等式常用的方法,解法一中關(guān)鍵是找到特殊點(diǎn),解法二中的分類討論要遵循“不重不漏”的原則,解法三則要準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖像,并準(zhǔn)確找出零點(diǎn)2解不等式|2x1|f(x)的解集為,求a的取值范圍時如何轉(zhuǎn)化求解,對于af(x)解集為af(x)恒成立af(x)解集為af(x)恒成立3對于af(x)有解求a的范圍時,如何轉(zhuǎn)化求解?af(x)有解呢?提示af(x)有解af(x)min.af(x)有解af(x)max.【例3】已知函數(shù)f(x)|xa|.(1)若不等式f(x)3的解集為x|1x5,求實(shí)數(shù)a的值;(2)在(1)的條件下,若f(x)f(x5)m對一切實(shí)數(shù)x恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍精彩點(diǎn)撥(1)解f(x)3,由集合相等,求a.(2)求yf(x)f(x5)的最小值,確定m的范圍自主解答(1)由f(x)3,得|xa|3,解得a3xa3.又已知不等式f(x)3的解集為x|1x5,所以解得a2.(2)法一由(1)知a2,此時f(x)|x2|,設(shè)g(x)f(x)f(x5)|x2|x3|,于是g(x)利用g(x)的單調(diào)性,易知g(x)的最小值為5.因此g(x)f(x)f(x5)m對xR恒成立,知實(shí)數(shù)m的取值范圍是(,5法二當(dāng)a2時,f(x)|x2|.設(shè)g(x)f(x)f(x5)|x2|x3|.由|x2|x3|(x2)(x3)|5(當(dāng)且僅當(dāng)3x2時等號成立),得g(x)的最小值為5.因此,若g(x)f(x)f(x5)m恒成立,應(yīng)有實(shí)數(shù)m的取值范圍是(,51第(2)問求解的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求f(x)f(x5)的最小值,法一是運(yùn)用分類討論思想,利用函數(shù)的單調(diào)性;法二是利用絕對值不等式的性質(zhì)(應(yīng)注意等號成立的條件)2將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透,這是命題的新動向,解題時應(yīng)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用3若關(guān)于x的不等式|x2|x1|a的解集為,求實(shí)數(shù)a的取值范圍解法一:令y1|x2|x1|,y2a.y1y1,y2的圖像如圖所示由圖可知,當(dāng)a3時,|x2|x1|a的解集為.法二:|x2|x1|表示數(shù)軸上的點(diǎn)A(x)到B(2)和C(1)兩點(diǎn)的距離之和,而|BC|3,所以A到B,C兩點(diǎn)的距離之和的最小值為3.即對一切xR,總有|x2|x1|3.因?yàn)閨x2|x1|a的解集為,所以只需a3即可,所以a的取值范圍是a3.1不等式|x|(12x)0的解集是()AB(,0)CD解析原不等式等價(jià)于解得x且x0,即x(,0).答案B2不等式|x2|x2的解集是()A(,2)B(,)C(2,)D(,2)(2,)解析原不等式同解于x20,即x2.答案A3已知集合AxR|x1|2,Z為整數(shù)集,則集合AZ中所有元素的和等于_解析AxR|x1|2xR|1x0.(1)當(dāng)a1時,求不等式f(x)3x
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