2019_2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章不等關(guān)系與基本不等式22.2絕對值不等式的解法學(xué)案北師大版.docx

2.2絕對值不等式的解法學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解絕對值的幾何意義，掌握去掉絕對值的方法(重點(diǎn))2.會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c(c0)(重點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn))教材整理1含有一個(gè)絕對值不等式的解法閱讀教材P8P9“思考交流”以上部分，完成下列問題1絕對值的不等式|x|a與|x|a的解集不等式a0a0a0|x|ax|axa|x|ax|xa，或xaxR，且x0R2.|axb|c與|axb|c(c0)型不等式的解法(1)|axb|ccaxbc；(2)|axb|caxbc或axbc.判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)|x|a的解集是(a，a).()(2)不等式|x2|3的解集是(，15，).()(3)若|xa|2的解集是(1,3)時(shí)，a的值為2.()解析(1)當(dāng)a0時(shí)，|x|a的解集為.(2)由|x2|3，得x23或x23，即x5或x1.(3)若|xa|1的解集為_(2)若f(x)|xa|xb|的最小值為3，當(dāng)a|x1|的解集為_解析(1)|x4|x2|42|21，不等式的解集為R.(2)由條件可知，當(dāng)af(x)恒成立時(shí)，af(x)min，即a(x1)2，整理得x1.答案(1)R(2)a3(3)(，1)|axb|c與|axb|c型不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)17x.精彩點(diǎn)撥(1)可利用公式轉(zhuǎn)化為|axb|c(c0)或|axb|0)型不等式后逐一求解，也可利用絕對值的定義分兩種情況去掉絕對值符號，還可用平方法轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式(2)可利用公式法轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式自主解答(1)法一：原不等式等價(jià)于不等式組即解得1x1或3x5，所以原不等式的解集為x|1x1或3x5法二：原不等式可轉(zhuǎn)化為：或由得3x5，由得1x1，所以原不等式的解集是x|1x1或3x5法三：原不等式的解集就是1(x2)29的解集，即解得所以1x1或3x5.所以原不等式的解集是x|1x1或37x，可得2x57x或2x52或x4.所以原不等式的解集是x|x21形如a|f(x)|a0)型不等式的簡單解法是利用等價(jià)命題法，即a|f(x)|b(0ab)a|f(x)|b或bf(x)g(x)和|f(x)|g(x)或f(x)g(x)和g(x)f(x)g(x)求解3形如|f(x)|f(x)型不等式的簡單解法是利用絕對值的定義，即|f(x)|f(x)f(x)0，|f(x)|f(x)x.1解不等式|x2x2|x23x4.解x2x20，|x2x2|x2x2.原不等式等價(jià)于x2x2x23x4，解得x3.原不等式的解集為x|x3.|xa|xb|c(c)型不等式的解法【例2】解不等式|x1|x1|3.精彩點(diǎn)撥本題考查|xa|xb|c型含兩個(gè)絕對值的不等式的解法，解答此題可利用絕對值的幾何意義去掉絕對值符號求解，也可用零點(diǎn)分區(qū)間討論法求解，或者用圖像法，利用圖形分析求解自主解答法一：如圖所示，設(shè)數(shù)軸上與1,1對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，那么A，B兩點(diǎn)的距離和為2，因此區(qū)間1,1上的數(shù)都不是不等式的解設(shè)在A點(diǎn)左側(cè)有一點(diǎn)A1，到A，B兩點(diǎn)的距離和為3，A1對應(yīng)數(shù)軸上的x.1x1x3，得x.同理設(shè)B點(diǎn)右側(cè)有一點(diǎn)B1到A，B兩點(diǎn)距離和為3，B1對應(yīng)數(shù)軸上的x，x1x(1)3.x.從數(shù)軸上可看到，點(diǎn)A1，B1之間的點(diǎn)到A，B的距離之和都小于3；點(diǎn)A1的左邊或點(diǎn)B1的右邊的任何點(diǎn)到A，B的距離之和都大于3.所以原不等式的解集是.法二：當(dāng)x1時(shí)，原不等式可以化為(x1)(x1)3，解得x.當(dāng)1x1時(shí)，原不等式可以化為x1(x1)3，即23，不成立，無解當(dāng)x1時(shí)，原不等式可以化為x1x13，所以x.綜上所述，原不等式的解集為.法三：將原不等式轉(zhuǎn)化為|x1|x1|30.構(gòu)造函數(shù)y|x1|x1|3，即y作出函數(shù)的圖像，如圖所示：函數(shù)的零點(diǎn)是，.從圖像可知，當(dāng)x或x時(shí)，y0，即|x1|x1|30.解得原不等式的解集為.這三種解法是解含有兩個(gè)絕對值和差不等式常用的方法，解法一中關(guān)鍵是找到特殊點(diǎn)，解法二中的分類討論要遵循“不重不漏”的原則，解法三則要準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖像，并準(zhǔn)確找出零點(diǎn)2解不等式|2x1|f(x)的解集為，求a的取值范圍時(shí)如何轉(zhuǎn)化求解，對于af(x)解集為af(x)恒成立af(x)解集為af(x)恒成立3對于af(x)有解求a的范圍時(shí)，如何轉(zhuǎn)化求解？af(x)有解呢？提示af(x)有解af(x)min.af(x)有解af(x)max.【例3】已知函數(shù)f(x)|xa|.(1)若不等式f(x)3的解集為x|1x5，求實(shí)數(shù)a的值；(2)在(1)的條件下，若f(x)f(x5)m對一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍精彩點(diǎn)撥(1)解f(x)3，由集合相等，求a.(2)求yf(x)f(x5)的最小值，確定m的范圍自主解答(1)由f(x)3，得|xa|3，解得a3xa3.又已知不等式f(x)3的解集為x|1x5，所以解得a2.(2)法一由(1)知a2，此時(shí)f(x)|x2|，設(shè)g(x)f(x)f(x5)|x2|x3|，于是g(x)利用g(x)的單調(diào)性，易知g(x)的最小值為5.因此g(x)f(x)f(x5)m對xR恒成立，知實(shí)數(shù)m的取值范圍是(，5法二當(dāng)a2時(shí)，f(x)|x2|.設(shè)g(x)f(x)f(x5)|x2|x3|.由|x2|x3|(x2)(x3)|5(當(dāng)且僅當(dāng)3x2時(shí)等號成立)，得g(x)的最小值為5.因此，若g(x)f(x)f(x5)m恒成立，應(yīng)有實(shí)數(shù)m的取值范圍是(，51第(2)問求解的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求f(x)f(x5)的最小值，法一是運(yùn)用分類討論思想，利用函數(shù)的單調(diào)性；法二是利用絕對值不等式的性質(zhì)(應(yīng)注意等號成立的條件)2將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，這是命題的新動向，解題時(shí)應(yīng)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用3若關(guān)于x的不等式|x2|x1|a的解集為，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解法一：令y1|x2|x1|，y2a.y1y1，y2的圖像如圖所示由圖可知，當(dāng)a3時(shí)，|x2|x1|a的解集為.法二：|x2|x1|表示數(shù)軸上的點(diǎn)A(x)到B(2)和C(1)兩點(diǎn)的距離之和，而|BC|3，所以A到B，C兩點(diǎn)的距離之和的最小值為3.即對一切xR，總有|x2|x1|3.因?yàn)閨x2|x1|a的解集為，所以只需a3即可，所以a的取值范圍是a3.1不等式|x|(12x)0的解集是()AB(，0)CD解析原不等式等價(jià)于解得x且x0，即x(，0).答案B2不等式|x2|x2的解集是()A(，2)B(，)C(2，)D(，2)(2，)解析原不等式同解于x20，即x2.答案A3已知集合AxR|x1|2，Z為整數(shù)集，則集合AZ中所有元素的和等于_解析AxR|x1|2xR|1x0.(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)3x