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第八章多元函數(shù)微分學(xué)習(xí)題課第八章多元函數(shù)微分學(xué)習(xí)題課 電子課 件電子課 件 2008年年4月月8日星期二日星期二 貴州省黔西南民族師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)系貴州省黔西南民族師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)系 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創(chuàng)建 一 主要內(nèi)容一 主要內(nèi)容 平面點(diǎn)集平面點(diǎn)集 和區(qū)域和區(qū)域 平面點(diǎn)集平面點(diǎn)集 和區(qū)域和區(qū)域 多元函數(shù)概念多元函數(shù)概念 多元函數(shù)概念多元函數(shù)概念 多元函數(shù)多元函數(shù) 的極限的極限 多元函數(shù)多元函數(shù) 的極限的極限 極 限 運(yùn) 算極 限 運(yùn) 算 極 限 運(yùn) 算極 限 運(yùn) 算 多元函數(shù)多元函數(shù) 連續(xù)的概念連續(xù)的概念 多元函數(shù)多元函數(shù) 連續(xù)的概念連續(xù)的概念 多元連續(xù)函數(shù)多元連續(xù)函數(shù) 的性質(zhì)的性質(zhì) 多元連續(xù)函數(shù)多元連續(xù)函數(shù) 的性質(zhì)的性質(zhì) PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創(chuàng)建 全微分全微分 概念概念 全微分全微分 概念概念 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) 概念概念 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) 概念概念 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) 全微分全微分 的應(yīng)用的應(yīng)用 全微分全微分 的應(yīng)用的應(yīng)用 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) 求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) 求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則 全微分形式全微分形式 的不變性的不變性 全微分形式全微分形式 的不變性的不變性 高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù) 高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù) 隱函數(shù)隱函數(shù) 求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則 隱函數(shù)隱函數(shù) 求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則 微分法在微分法在 幾何上的應(yīng)用幾何上的應(yīng)用 微分法在微分法在 幾何上的應(yīng)用幾何上的應(yīng)用 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創(chuàng)建 1 多元函數(shù)的極限 多元函數(shù)的極限 說明 說明 1 定義中 定義中的方式是任意的 的方式是任意的 0 PP 2 二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元 二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元 函數(shù)類似 函數(shù)類似 存在性存在性 定義 夾逼定理定義 夾逼定理 不存在不存在 特殊路徑 兩種方式特殊路徑 兩種方式 求法求法 運(yùn)算法則 定義驗(yàn)證 夾逼定理運(yùn)算法則 定義驗(yàn)證 夾逼定理 消去致零因子 化成一元極限等消去致零因子 化成一元極限等 2 多元函數(shù)的連續(xù)性 多元函數(shù)的連續(xù)性 lim 0 0 PfPf PP PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創(chuàng)建 3 偏導(dǎo)數(shù)概念 偏導(dǎo)數(shù)概念 定義 求法定義 求法 偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系 高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù) 純偏導(dǎo) 混合偏導(dǎo)純偏導(dǎo) 混合偏導(dǎo) 4 全微分概念 全微分概念 定義定義 可微的必要條件可微的必要條件可微的充分條件可微的充分條件 利用定義驗(yàn)證不可微利用定義驗(yàn)證不可微 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創(chuàng)建 多元函數(shù)連續(xù) 可導(dǎo) 可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù) 可導(dǎo) 可微的關(guān)系 函數(shù)可微函數(shù)可微 函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) 函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo) PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創(chuàng)建 5 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 yxvvyxuuvufz x v v z x u u z x z y v v z y u u z y z 法則22 分道相加 連線相分道相加 連線相 乘乘 法則的法則的推廣推廣 任意任意多個多個中中間變量間變量 任意 任意多多 個自變量個自變量 如何如何求二階偏導(dǎo)數(shù)求二階偏導(dǎo)數(shù) PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創(chuàng)建 6 全微分形式不變性 全微分形式不變性 無論 是自變量無論 是自變量的函數(shù)或中間變量的函數(shù)或中間變量 的函數(shù) 它的全微分形式是一樣的的函數(shù) 它的全微分形式是一樣的 zvu vu dv v z du u z dz 7 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則 0 1 yxF 0 2 zyxF 0 0 3 zyxG zyxF 0 0 4 vuyxG vuyxF z y z x F F y z F F x z PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創(chuàng)建 公式法 直接法 全微分法 公式法 直接法 全微分法 8 微分法在幾何上的應(yīng)用 微分法在幾何上的應(yīng)用 1 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面 曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線 求直線 平面的方程求直線 平面的方程 定點(diǎn) 過點(diǎn) 定向 方向向量 法向量 定點(diǎn) 過點(diǎn) 定向 方向向量 法向量 曲線 參數(shù)式 一般式給出曲線 參數(shù)式 一般式給出 曲面 隱式 顯式給出曲面 隱式 顯式給出 求隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的方法求隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的方法 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創(chuàng)建 10 多元函數(shù)的極值 多元函數(shù)的極值 9 方向?qū)?shù)與梯度 方向?qū)?shù)與梯度 定義定義 計(jì)算公式 注意使用公式的條件 計(jì)算公式 注意使用公式的條件 梯度的概念梯度的概念 向量向量 梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系 極值 駐點(diǎn) 必要條件極值 駐點(diǎn) 必要條件 充分條件充分條件 0 2 yx令令 0 0 0 等等價于價于則則yx cos cos sin 0 2 22 yx xxy cos cos sin 2 0 lim 22 0 0 yx xxy y x 故故 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創(chuàng)建 例例2 已知已知 ztzyyxfw 求求 t w z w y w x w 解解 1 f x w 21 ff y w 32 ff z w 3 f t w t w z w y w x w 0 例例3 已知已知 sin cbyaxz 求求 nm nm yx z PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創(chuàng)建 解解 cos cbyaxa x z 2 sin cbyaxa 2 2sin 2 2 2 cbyaxa x z LLL 2 sin mcbyaxa x z m m m 22 sin 1 m cbyaxba yx z m m m LLL 2 sin nm cbyaxba yx z nm nm nm PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創(chuàng)建 例例4 2 2 2 3 yx z y z y z f x y xyfxz 求求 具有具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)設(shè)設(shè) 解解 1 21 3 x fxfx y z 2 2 1 4 fxfx 1 1 2221 2 1211 4 2 2 x fxfx x fxfx y z 2 2212 3 11 5 fxfxfx 2 2212 3 11 5 fxfxfx PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創(chuàng)建 xy z yx z 22 2 2 1 4 fxfx x 2 4 2 2221 2 2 2 1211 4 1 3 x y fyfx xf x y fyfxfx 24 2211 4 21 3 f yf yxfxfx PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創(chuàng)建 例例5 0 sin 0 2 dx du z f xyzexzyxfu y 求求且且 具有具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 設(shè)設(shè) 解解 dx dz z f dx dy y f x f dx du cosx dx dy 顯然顯然 dx dz 求求得得的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)兩兩邊邊求求對對 0 2 xzex y 02 321 dx dz dx dy ex y 于于是可是可得得 cos2 1 2 sin 1 3 xex dx dz x cos2 1 cos 2 sin 1 3 z f xex y f x x f dx du x 故故 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創(chuàng)建 zyx ezyx 求求 2 22 2 2 y z yx z x z 解解一一記記 zyx ezyxzyxF 則則 zyx FFF 1 zyx e 1 y z x z 2 22 2 2 y z yx z x z 0 解解二二 方方程程兩兩邊對邊對x求偏導(dǎo)求偏導(dǎo) 1 1 x z e x z zyx 0 1 1 zyx e x z 例例6 設(shè)設(shè) PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創(chuàng)建 1 x z 由輪換對稱由輪換對稱性性1 y z 2 22 2 2 y z yx z x z 0 兩兩邊取全邊取全微分微分 dzdydxedzdydx zyx 0 1 dzdydxe zyx 0 dzdydx即即dydxdz 1 y z x z 2 22 2 2 y z yx z x z 0 解三解三 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創(chuàng)建 設(shè)有設(shè)有方方程組程組 33333 22222 cuzyx buzyx auzyx 求求 dx dy 解解 兩兩邊對邊對x求導(dǎo)求導(dǎo) 0 0 01 2222 uuzzyyx uuz zyyx uzy 這這是一是一個以個以uzy 為未知量為未知量的的三三元元 一一次次方方程組程組 若若系數(shù)系數(shù)行列行列式式 222 111 uzy uzyD Vandermond行列行列式 式 0 zuyuyz 例例7 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創(chuàng)建 則有則有 222 111 1 uzx uzx D y 1 zuxuxz D yuyz xuxz 在在半半徑徑為為R的的圓圓的一的一切內(nèi)接三角形切內(nèi)接三角形中 中 求求其面積最大者其面積最大者 解解如圖若以如圖若以x y z表示三角形表示三角形的的 三邊三邊所所對對的的圓圓心心角角 則 則 zyx 三角形三角形的的面積面積 sinsin sin 2 1 2 zyxRA 例例8 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創(chuàng)建 問題就是求問題就是求A在條件在條件 zyx 下的最大值下的最大值 x y z 2 sinsin sin zyxzyxzyxF 0 zyx 0cos 0cos 0cos zF yF xF z y x zyxcoscoscos zyx 3 2 2 max 4 33 RA 記記 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創(chuàng)建 例例9 已知已知 yxuu 滿足滿足方方程程 0 2 2 2 2 y u a x u a y u x u 試選擇試選擇參參數(shù)數(shù) 通通過變換過變換 yx eyxvyxu 使使原原方方程變形程變形所所得得新新方方程程中中沒沒有有v對對x y 的一階偏導(dǎo)數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù) 解解 yx ev x v x u yx ev x v x v x u 2 2 2 2 2 2 yx ev y v y u yx ev y v y v y u 2 2 2 2 2 2 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創(chuàng)建 代入方程 消去代入方程 消去 yx e 0 2 2 22 2 2 2 2 vaa y v a x v a y v x v 令令 02 02 a a 解得解得 2 2 aa 因因 0 22 a 故變換故變換后后的方的方程為程為 0 2 2 2 2 y v x v PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創(chuàng)建 例例10 0 000 2 2 2 2 2 2 模模此此方方向向?qū)?shù)等導(dǎo)數(shù)等于于梯度梯度的的 具有具有什么什么關(guān)系關(guān)系時時的方的方向向?qū)?shù) 導(dǎo)數(shù) 問問的的向向徑徑 處沿處沿點(diǎn)點(diǎn)在在點(diǎn)點(diǎn)求求 cbar zyxM c z b y a x u 解解 2 0 2 0 2 00000 0 zyxrzyxr Q cos cos cos 0 0 0 0 0 0 r z r y r x 處處的方的方向向?qū)?shù)導(dǎo)數(shù)為為在在點(diǎn)點(diǎn) M coscoscos 0 MMMM z u y u x u r u PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創(chuàng)建 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 222 r z c z r y b y r x a x 2 2 2 2 2 2 2 0 000 c z b y a x r 2 2 0 2 0 2 000 0 zyx zyxu 處處的的梯度梯度為為在在點(diǎn)點(diǎn) M k z u j y u i x u gradu MMMM 222 2 0 2 0 2 0 k c z j b y i a x PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創(chuàng)建 2 4 2 4 2 4 2 000 c z b y a x gradu M 時時當(dāng)當(dāng)cba 2 222 2 000 zyx a gradu M Q 2 2 2 0 2 0 2 22 0 2 0 2 222 2 0 0 0 000 zyx azyx zyx a r u M 0 M M gradu r u 模模此此方方向向?qū)?shù)等導(dǎo)數(shù)等于于梯度梯度的的相等相等時時故故當(dāng)當(dāng)cba PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創(chuàng)建 例例11 之之間間的的最最短距離短距離 與與平面平面求求旋轉(zhuǎn)拋物旋轉(zhuǎn)拋物面面22 22 zyxyxz 解解 22 6 1 022 22 zyxd dzyxP yxzzyxP 的的距離距離為為到到平面平面 則則上上任一任一點(diǎn)點(diǎn)為為拋物拋物面面設(shè)設(shè) 分分析析 最最小小 即即 且使且使?jié)M足滿足 使得使得本題本題變?yōu)樽優(yōu)榍笠磺笠稽c(diǎn)點(diǎn) 22 6 1 22 6 1 0 22 22 zyxd zyxdzyx zyxzyxP PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創(chuàng)建 22 6 1 222 yxzzyxzyxF 令令得得 4 3 0 2 22 3 1 2 02 22 3 1 1 02 22 3 1 22 yxz zzyxF yzyxF xzyxF z y x 8 1 4 1 4 1 zyx解解此此方方程組得程組得 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創(chuàng)建 8 1 4 1 4 1 即得即得唯唯一一駐點(diǎn)駐點(diǎn) 處處取得最取得最小小值值 駐點(diǎn)駐點(diǎn) 故故必在必在 一定存在 一定存在 且有且有唯唯一一根據(jù)題根據(jù)題意意距離距離的的最最小小值值 8 1 4 1 4 1 64 7 2 4 1 4 1 4 1 6 1 min d PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創(chuàng)建 試試求求曲面曲面xyz 1上上任一任一點(diǎn)點(diǎn) 處處的法線方的法線方程程和和切平面切平面方方程程 并并證明證明切平面切平面與與三個三個坐坐標(biāo)面標(biāo)面所圍所圍成的成的 四四面面體體的的體體積積是一是一個個常常量量 證證設(shè)設(shè)1 xyzzyxFxyFxzFyzF zyx 法線法線 zyx 切平面切平面0 zyx 即即 3 zyx 例例12 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創(chuàng)建 切平面在三個坐標(biāo)軸上的切平面在三個坐標(biāo)軸上的截距截距分別為分別為 3 3 3 3 3 3 故切平面故切平面與與三個三個坐坐標(biāo)面標(biāo)面所圍所圍成的成的四四面面體體的的體體積積為為 高高底底面積面積 3 1 V 3 3 3 2 1 3 1 2 9 2 9 是一是一個個常常量量 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創(chuàng)建 例例13 設(shè)設(shè)y f x t 而而t是是由由F x y t 確確定的定的 x y的函數(shù) 的函數(shù) 試試證明證明 tyt txtx FFf fFFf dx dy 證一證一 方方程組程組 0 tyxF txfy 確確定定了了兩兩個個一元一元隱隱函數(shù)函數(shù)y y x t t x 兩兩邊邊分分別別對對x求導(dǎo)求導(dǎo)得得 xty xt F dx dt F dx dy F f dx dt f dx dy PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創(chuàng)建 解得解得 tyt txtx FFf fFFf dx dy 證二證二本題主本題主要是要是弄清楚弄清楚函數(shù)關(guān)系 函數(shù)關(guān)系 具具體體求導(dǎo)則求導(dǎo)則 很簡單很簡單 初看起來初看起來似似乎乎y是是x的的顯顯函數(shù)函數(shù)y f x t 但但由由F x y t 0 可可得得t t x y 代入代入 y f x t