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機械與數(shù)學(xué)摘要：數(shù)學(xué)在機械行業(yè)中有著重要的地位，本文將以具體的機械專業(yè)課程為例向大家介紹數(shù)學(xué)在機械專業(yè)課程中的應(yīng)用數(shù)學(xué)是一門既基礎(chǔ)又獨立的學(xué)科，是生活中必不可少的一門工具,現(xiàn)代機械設(shè)計的理論基礎(chǔ)是理論力學(xué)，當(dāng)然還有其他學(xué)科的交叉，而理論力學(xué)的深度取決于數(shù)學(xué)發(fā)展的深度，可以說數(shù)學(xué)發(fā)展到什么程度，理論力學(xué)就可進(jìn)展到什么程度,比如在齒輪傳動中的齒輪漸開線，螺旋線等的設(shè)計，計算等，微積分，偏微分，只是在設(shè)計中的計算工具，當(dāng)然在電路，自控和電子元器件設(shè)計方面還要用到線性代數(shù)，傅里葉方程，場論等，人類在認(rèn)識自然，尋找自然規(guī)律，科學(xué)發(fā)展的過程中還有很長的路要走，數(shù)學(xué)的發(fā)展遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有解決人類的認(rèn)識論和方法論的全部，只是真理漸進(jìn)線的一個點，掌握這些工具對機械工作大有益處。一、 數(shù)學(xué)在機械運動中的應(yīng)用1. 常量、變量與運動狀態(tài)的描述變量與常量是描述運動狀態(tài)的一種數(shù)學(xué)方法，把點的軌跡化為兩個變數(shù)X、Y的關(guān)系式代數(shù)方程，即把變數(shù)理解為由點連續(xù)運動產(chǎn)生的。因此，坐標(biāo)系的創(chuàng)立為研究機械運動提供了一個有用的工具。2. 函數(shù)與運動規(guī)律的表達(dá)函數(shù)概念是一種變量對另一種變量的依賴關(guān)系的反映。因此，函數(shù)也成為了描述運動規(guī)律的一種數(shù)學(xué)方法，函數(shù)的概念也是從運動的研究中產(chǎn)生的。 3. 微分與運動本質(zhì)的刻畫導(dǎo)數(shù)(微分)概念的產(chǎn)生也與運動的研究有關(guān)。自由落體運動為例，自由落體瞬時速度的物理意義在于：既表明落體在瞬時t位于位置s(t)，又表明落體以s (t)=gt這樣大小的趨勢和方向離開位置s(t)。這樣，瞬時速度就刻畫了出了物體運動的本質(zhì)。由此可見，瞬時速度(微分法)是刻畫運動本質(zhì)的數(shù)學(xué)方法。4. 微分方程與運動規(guī)律的揭示物質(zhì)機械運動過程可表為空間某區(qū)域的點上力學(xué)量隨時間的變化。也就是說，運動規(guī)律是表征物質(zhì)運動的特征量在鄰近空間與鄰近時間的變化。這種變化是一種微分關(guān)系，或者說是一種微分方程。因而，微分方程(包括偏微分方程)是揭示物質(zhì)運動規(guī)律的一種數(shù)學(xué)方法。事實上，力學(xué)的各種運動微分方程都揭示了相應(yīng)的物質(zhì)運動的規(guī)律。其對應(yīng)關(guān)系，諸如：質(zhì)點系的基本定理 質(zhì)點系動力學(xué)，剛體運動微分方程 剛體動力學(xué)，拉格朗日方程非自由質(zhì)點系動力學(xué)，麥克斯韋方程 電動力學(xué)，薛定諤方程 量子力學(xué)，愛因斯坦引力場方程 相對論力學(xué)。5. 變分法與運動優(yōu)化的判據(jù)在力學(xué)基本定律的基礎(chǔ)上，利用變分方法得到的力學(xué)變分原理，提供一種準(zhǔn)則，給出的準(zhǔn)則表現(xiàn)為系統(tǒng)運動的某一函數(shù)或泛函具有駐定值問題的形式出現(xiàn)。力學(xué)的變分原理有：拉格朗日最小作用原理、Hamilton原理、雅克比最小作用原理、高斯最小約束原理、Hertz最小曲率原理等。這些原理大多表明，最優(yōu)化是自然界物質(zhì)系統(tǒng)發(fā)展的一種趨勢?？梢哉f變分法是判據(jù)運動優(yōu)化的數(shù)學(xué)方法。二、 數(shù)學(xué)在機械制圖課程中的應(yīng)用機械制圖的學(xué)習(xí)一直是機電專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)的重點和難點，其中讀識圖紙及繪制圖紙的能力，與我們學(xué)習(xí)的立體幾何有很大關(guān)系。機械制圖的基本內(nèi)容是：基本幾何體及其組合體的讀識和繪制；孔軸、圓盤類零件的讀識和繪制；裝配圖的讀識和繪制等三個相應(yīng)的學(xué)習(xí)單元。這些技能的學(xué)習(xí)要求我們了解一般幾何圖形，并對它們進(jìn)行簡單組合，在頭腦中形成三維立體概念。在立體幾何中，基本幾何體如長方體、圓柱體、三棱柱、椎體等，同學(xué)們都學(xué)過，并且對它們的正視圖、主視圖左視圖的投影及畫法都有一定的了解。所以立體幾何對學(xué)好機械制圖是至關(guān)重要的。三、 數(shù)學(xué)工具M(jìn)atLab在機械原理課程中的應(yīng)用MATLAB是一個通用性很強的優(yōu)秀軟件，在數(shù)學(xué)、力學(xué)、機械工程、控制工程及信號處理等領(lǐng)域內(nèi)應(yīng)用極其廣泛。MATLAB在機械原理課程的教學(xué)中應(yīng)用廣泛并且便捷，以至于國內(nèi)外已有專門結(jié)合MATLAB軟件的機械原理教材出現(xiàn)。MATLAB有以下幾個基本特點：第一，有極強的數(shù)值計算功能和作圖功能，也有很強的符號計算功能；第二，圖形窗口式的操作一看就懂，一用就會使用常用的數(shù)學(xué)符號和表達(dá)式，貼近人們的思維習(xí)慣，使用復(fù)數(shù)與矩陣，計算速度快；第三，用簡單的指令就可以完成大量的計算與作圖功能。編程語法簡單，程序設(shè)計方便正是具有這樣的特點，因此在機械原理教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)工具，選用MATLAB軟件作為教學(xué)軟件是很合適的。學(xué)生只需用很少的時間便可掌握其基本用法，又可在日后的工作和學(xué)習(xí)中進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)，從而為將來的工程技術(shù)工作打下良好的基礎(chǔ)。四、 模糊數(shù)學(xué)方法在機械設(shè)計中的應(yīng)用在機械設(shè)計中,一些經(jīng)驗性數(shù)據(jù)和一些實際測量值,很難用精確的數(shù)字給出,往往采用諸如下列的表達(dá):材料的厚度約為2cm,沖擊力約為8t,零件底部圓角半徑為56mm,等等。那么如何表達(dá)這些不精確信息(非隨機的不精確信息,主要是模糊信息)？例如:一個鐵棒已知長度約為50cm,圓型橫截面的半徑為22.2cm,問這個鐵棒的體積是多少?按傳統(tǒng)模型,我們有l(wèi)=50cm,min=2cm,max=22cm.根據(jù)這些數(shù)據(jù)可得可知,所得的結(jié)果與實際是有一定差距的?？梢钥闯?傳統(tǒng)設(shè)計模型不能恰當(dāng)?shù)孛枋鎏幚砟：畔?因而影響設(shè)計計算結(jié)果。模糊數(shù)設(shè)計不失為解決上述問題的一種好方法。模糊數(shù)是以實數(shù)為論域的正規(guī)的凸模糊集。設(shè)mW(R),且滿足:(1)m是凸的;(2)m是正規(guī)的,即 x0R,m(x0)=1.則稱m是R上的模糊數(shù)?？梢钥闯?區(qū)間數(shù)是模糊數(shù)的一種特例1。模糊數(shù)設(shè)計就是用模糊數(shù)去表示設(shè)計數(shù)據(jù),按照模糊數(shù)的運算規(guī)則去加工數(shù)據(jù)進(jìn)行設(shè)計計算。五、 數(shù)學(xué)在機械振動中的應(yīng)用我們還可從下面的描述中來體會數(shù)學(xué)在振動和動力學(xué)研究中體現(xiàn)的完美和統(tǒng)一。對線性有阻尼自由振動,從數(shù)學(xué)方程看是一個衰減振動,已經(jīng)無周期可言,最后系統(tǒng)會處于靜止?fàn)顟B(tài),實際測試的時間歷程也證明完全一致,從相圖上看,會出現(xiàn)螺旋形收縮,最后走向原點即成為焦點,所以焦點就是該類系統(tǒng)的“吸引子”;而無阻尼時,由初始條件確定的橢圓就是系統(tǒng)的“吸引子”,強迫振動表現(xiàn)為瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的迭加。對于非線性系統(tǒng),以著名的蟲口繁衍非線性方程和Ueda所研究的達(dá)芬方程為例。在參數(shù)控制下,系統(tǒng)會出現(xiàn)從倍周期分岔走向混沌或從擬周期運動走向混沌,所以混沌系統(tǒng)存在“奇異吸引子”。還有許多事例可以證明數(shù)學(xué)在振動學(xué)中的重要地位,也可以從數(shù)學(xué)角度體會振動和動力學(xué)的美，這里由于涉及比較多的專業(yè)知識，在這里就不一一舉例了。近幾十年來，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和社會的進(jìn)步。數(shù)學(xué)在自然科學(xué)、社會科學(xué)、工程技術(shù)與現(xiàn)代十明理等方面獲得了越來越廣泛而深入的應(yīng)用，使人們逐漸認(rèn)識到建立數(shù)學(xué)模型的重要性。數(shù)學(xué)模型的最優(yōu)化模型相關(guān)理論被廣泛的應(yīng)用到機械結(jié)構(gòu)的設(shè)計領(lǐng)域。將機械設(shè)計任務(wù)的具體要求構(gòu)造成數(shù)學(xué)模型，也就是將機械設(shè)計問題化為數(shù)學(xué)問題。什么是建模，在工程中來說，就是把你想的東西以數(shù)學(xué)的形式表達(dá)出來，例如齒輪的計算，齒根強度模型為懸臂梁，這個模型很不錯，但是不是普世的，你需要知道為什么這樣寫公式，這才是用數(shù)學(xué)。對于蝸輪而言，或者對于短齒而言，這個公式還能用吧，精度有多高？結(jié)合材料，力學(xué)等把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，這才是實際的，雖不是最基礎(chǔ)的，但是對于工程設(shè)計而言，可以算作基礎(chǔ)了。1 H2 3 . q! t7 A% f0 , k8 V: l Z( n: R我們學(xué)機械設(shè)計，學(xué)里面的什么？好像教科書中重點給出的就是算法和流程，其實最應(yīng)該明白的是這些東西是怎么來的。當(dāng)然最是的規(guī)范性也很重要，這是機械人的品質(zhì)。我們看日本人做事，就是死板，包括德國人，其實是一種做事規(guī)范的體現(xiàn)。2 l6 _ Y; K$ L$ ! u+ 不管以后用什么東西計算，求解本身不是關(guān)鍵，關(guān)鍵是你知道怎么去找關(guān)聯(lián)，把問題變成數(shù)學(xué)模型。#在這個數(shù)學(xué)模型中，既包括有設(shè)計要求，又包括根據(jù)設(shè)計要求提出的必須滿足的附加條件，從而構(gòu)成一個完整的數(shù)學(xué)規(guī)劃命題。逐步求解這個數(shù)學(xué)規(guī)劃命題，使其滿足設(shè)計要求，從而獲得可行方案。機械結(jié)構(gòu)設(shè)計就是在滿足各種規(guī)范或某些特定要求的條件下使結(jié)構(gòu)的某種廣義性能指標(biāo)(如重量，造價等)為最佳，目的在于尋求既安全又經(jīng)濟(jì)的結(jié)構(gòu)形式。把數(shù)學(xué)與客觀實際問題聯(lián)系起來的紐帶首先是數(shù)學(xué)建模，因此要進(jìn)行機械結(jié)構(gòu)的設(shè)計，首先必須將設(shè)計問題的物理模型轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)模型。通過調(diào)查，收集數(shù)據(jù)、資料，觀察和研究其固有的特征和內(nèi)在規(guī)律，抓住問題的主要矛盾，提出假設(shè)，經(jīng)過抽象簡化，建立反映實際問題的數(shù)量關(guān)系。建立數(shù)學(xué)模型時要選取設(shè)計變量，列出目標(biāo)函數(shù)，給出約束條件。其次，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼庠摂?shù)學(xué)模型。在多數(shù)情況下，我們很難獲得數(shù)學(xué)模型的解析解，而只能得到它的數(shù)值解，這就需要應(yīng)用各種數(shù)值方法、軟件和計算機。包括各種數(shù)值優(yōu)化方法，線性與非線性方程組的數(shù)值方法，微分方程(或方程組)的數(shù)值解法，各種預(yù)測、決策和概率統(tǒng)計方法等。當(dāng)然，要建立能反映客觀工程實際的、完善的數(shù)學(xué)模型并不是一件容易的事。另外，如果所建立的數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式過于復(fù)雜，涉及的因素很多，在計算上也會出現(xiàn)困難。因此，要抓主要矛盾，盡量使問題合理簡化，這樣不僅可節(jié)省時間，有時也會改善優(yōu)化結(jié)果。數(shù)據(jù)分析法是從大量的觀測數(shù)據(jù)利用統(tǒng)計方法建立數(shù)學(xué)模型，其中常用的方法有時序分析法、回歸分析法。仿真一般使用計算機仿真(模擬)，實質(zhì)上是統(tǒng)計估計方法，等效于抽樣試驗。常用的離散系統(tǒng)仿真和連續(xù)系統(tǒng)仿真。 簡述機械系統(tǒng)動態(tài)仿真軟件平臺及其功能和基本分析步驟。數(shù)學(xué)建模方法有幾種？機械系統(tǒng)建模采用哪幾種，并加以簡要說明。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)建棋方法基本上有兩大類，即機理分析建模與實驗統(tǒng)計建模。以后又出現(xiàn)了層次分析和定性推理建模力法，而且實驗統(tǒng)計建模也有新的發(fā)展，產(chǎn)生了具有現(xiàn)代活力的系統(tǒng)辨識建模方法。在上述四大類數(shù)學(xué)建模方法基礎(chǔ)上的具體建模方法，目前已超過數(shù)十種，其常見方法有；機理分析法、直接相似法、系統(tǒng)辨識法、回歸統(tǒng)計法、極率統(tǒng)計法、量綱分析法、網(wǎng)絡(luò)圖論法、圖解法、模糊集論法、蒙特卡洛法、層次分析法、“隔艙”系統(tǒng)法、定性推理法、“灰色”系統(tǒng)法、多分面法、分析統(tǒng)計法及計算機輔助建模法等。機械系統(tǒng)建模一般采用機理分析、數(shù)據(jù)分析法、仿真等方法。機理分析是從基本物理定律以及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)來推導(dǎo)出模型，其中常用的方法有比例分析法、代數(shù)方法、邏輯方法、常微分方程、偏微分方程。下面以Pro/E為例進(jìn)行介紹。Pro/Mechanical Motion為Pro/E的集成運動模塊，是設(shè)計機構(gòu)運動強有力的工具。該模塊可以讓機構(gòu)設(shè)計師設(shè)定裝配件在特定環(huán)境中的機構(gòu)動作并給予評估，能夠判斷出改變哪些參數(shù)能滿足工程及性能上的要求，使產(chǎn)品設(shè)計達(dá)到最佳狀態(tài)。 Pro/Mechanical Motion是一個完整的二維實體靜力學(xué)、運動學(xué)、動力學(xué)和逆動力學(xué)仿真與優(yōu)化設(shè)計工具。Motion運動模塊可以快速創(chuàng)建機構(gòu)模型并能方便地進(jìn)行分析。從而改善機構(gòu)設(shè)計。Pro/Mechanical Motion具有如下功能：(1)校驗機構(gòu)運動的正確性，對運動進(jìn)行仿真，計算機構(gòu)任意時刻的位置、速度、加速度。(2)通過運動分析可以得出裝配的最佳配置。(3)根據(jù)給出的力次定運動狀態(tài)及反作用力。(4)根據(jù)運動反求所需要的力。(5)求出餃接點所受的力及軸承力。(6)通過尺寸變量對機構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化。(7)干涉檢查。Pro/Mechanical Motion進(jìn)行運動分析的流程圖如下：一般機械系統(tǒng)動態(tài)仿真的基本步驟如下圖所示：結(jié)語數(shù)學(xué)對科學(xué)技術(shù)的發(fā)展起著重大作用是被廣泛接受的觀點正如馬克思所說：“一種科學(xué)只有在成功地運用數(shù)學(xué)時，才算達(dá)到了真正完善的地步” 現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)發(fā)展的一個重要趨勢是日益數(shù)學(xué)化它不僅要進(jìn)行定性的研究，還要進(jìn)行定量分析，提出一定的數(shù)學(xué)關(guān)系式和數(shù)學(xué)模型來描述研究課題的運動規(guī)律這是現(xiàn)代科學(xué)革命的一個必然趨勢機械行業(yè)也不例外，通過自己對機械專業(yè)課程的學(xué)習(xí)，深深地感受到了數(shù)學(xué)對于機械的重要性，同時也感受到了數(shù)學(xué)給機械的深入研究帶來的便利。例如，機械制圖中用到了數(shù)學(xué)中的立體幾何知識，理論力學(xué)中用到了拉格朗日方程和哈密頓正則方程等重要公式，機械原理中用到了利用包絡(luò)線方程求凸輪輪廓曲線等公式，另外，利用數(shù)學(xué)知識開發(fā)的專業(yè)軟件也為機械的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)，如專業(yè)軟件：MATLAB、AutoCAD、Solidworks、Pro-E、UG-NX等。正是因為有了這些數(shù)學(xué)知識，機械的相關(guān)研究才能更精確，更方便，更高效！最后，愿數(shù)學(xué)與機械共同發(fā)展、進(jìn)步，共同為人類美好的未來貢獻(xiàn)自己的一份力量！參考文獻(xiàn)：1 邵秀燕. 數(shù)學(xué)課結(jié)合機械制圖基本幾何休的教學(xué)嘗試J. 職業(yè)技術(shù), 2004,(03)2 姜娜. 讓創(chuàng)新走進(jìn)機械制圖的數(shù)學(xué)中J. 黃河之聲：科教創(chuàng)新版,2007,(0