多元非線性數(shù)據(jù)擬合模型的數(shù)學(xué)推論及其回歸方程的計(jì)算機(jī)擬合.pdf

1 e一 第 7卷第 4 期 1 9 9 2年 1 2月 襲 楔挈 1 鋤 懶毳 數(shù) 據(jù) 采 集 與 處 理 J o u r n a l o f Da t a Ac q u i s i t i o n P r o c e s s i n g 寺 叭合 V01 7 No 4 De c 1 99 2 多元非線性數(shù)據(jù)擬合模型的數(shù)學(xué) 推論及其 回歸方程的計(jì)算機(jī)擬合 方 中行 南 昌航 空工業(yè)學(xué) 院 摘 耍 本文推論 了多元非線性 數(shù)據(jù)擬臺(tái)的通用數(shù)學(xué)模型 利用精小二乘法和極值原理 導(dǎo)出求解多元 非線性 回歸方程 的規(guī) 范方 程組 井用矩 陣形式對(duì)規(guī) 范方 程組進(jìn) 行表述 在 所表述 的諸矩 陣 中 結(jié)構(gòu) 矩 陣是其基礎(chǔ) 用它可方便地轉(zhuǎn)化出其他矩陣 這將大大簡(jiǎn)化程序的編制和規(guī)范方程組的解算 計(jì)算機(jī) 根據(jù)輸入數(shù)據(jù) 自變量的個(gè)數(shù)和實(shí)驗(yàn)所作次數(shù)的多少 求解出相應(yīng)的多元非線性回歸方程爰其評(píng)估方 程質(zhì) 量的 數(shù)據(jù) 一 前 言 根據(jù)科學(xué)實(shí)驗(yàn)和工程技術(shù) 實(shí)踐 的需要 作者在近幾年對(duì)課題 離散 數(shù)據(jù)分析及其 回歸方程 的計(jì)算機(jī) 擬合 的研究 中 解決 了多元非線性 回歸方程的擬合 問(wèn)題 即對(duì)其 擬合模 型進(jìn)行了推 導(dǎo)論證 建立 了多 元非線性通用的數(shù)學(xué)模型 利 用矩 陣?yán)碚搶?duì)規(guī)范方程組進(jìn)行 表述 和求 解 程 序簡(jiǎn)短 求解迅速 計(jì)算機(jī)在輸出方程的同時(shí)輸出方程的可信賴度和利用方程進(jìn)行預(yù)測(cè)或預(yù)算 時(shí)的精確度 如果說(shuō)課題 離散數(shù)據(jù)分析及其 回歸方程的計(jì)算機(jī) 擬合 的研 究成果 是數(shù)理統(tǒng) 計(jì)理論 工 程實(shí)踐和 計(jì)算技術(shù) 三者結(jié)合 的產(chǎn)物 則 多 元非 線性 回歸 方程的擬合 乃 是其 中的主要 深 入部 分 二 數(shù)學(xué)模型 多個(gè) 自變量對(duì)固變量的影響是非線性 的 其數(shù)學(xué)模型可看成 由三部分組成 各 自變 量單十 變化 的影響 各 自變量 自乘方次的影響和各 自變量互相 組臺(tái)的影 響之和 因此 其 數(shù)學(xué)模 型則 是 l 一 k b t j t z f z l1 z I t l c c 其中 m 自變量個(gè)數(shù) 也是 自變量的最高冪次 本文子 1 9 9 1 年 9月 1 2日收到 1 的2 年 1月 4日收到慘改稿 維普資訊 I 第 4期 方 中行 多 元非 線性數(shù)據(jù) 擬 臺(tái)模型的 數(shù)學(xué)推論 廈其 回歸方程 的計(jì)算 機(jī)擬舍 2 47 實(shí)驗(yàn) 所作次數(shù) l 2 N 一 1 2 m 如果 不考慮各 自變量 自乘方次 的影響 其數(shù)字模型應(yīng)該是 口 6 i l I 2 2 一 r 在前述課題研究中 曾用多種實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) 采用上述兩種不同的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行回歸方程的擬 合 證 明式 1 更能準(zhǔn)確地反應(yīng)變量之間 的關(guān) 系 因而對(duì)多 元非線性 數(shù)據(jù)的擬合 應(yīng)采用式 1 所示的數(shù)學(xué)模型 為好 但如實(shí)驗(yàn)次 數(shù)不多 不能滿足 口 而 又符合 乞 l時(shí) 也 可采 用式 2 進(jìn)行擬合 上述 Q為多元非線性 回歸方程項(xiàng)數(shù) 且 口一 一m l 三 規(guī) 范方程 組 如有這樣一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) 矗 t i 一1 2 同時(shí) N Q 毛 毛 為 自變量 為固變量 它們 之間的關(guān)系為非線性 的 采用式 1 模型來(lái)近似 表達(dá)數(shù)據(jù)間的變化關(guān) 系 一 r I l z I j l I t 它 與實(shí)驗(yàn)值之差 為 n 一 一 為了使差值最小 利用最小二乘法和極值原理 先去掉 6 和 6 的原下角和上角 再按各項(xiàng) 先后順序命名為 6 o 然后 輪流對(duì) 6 I 求偏導(dǎo)數(shù) 并 使之等于零 則有 肼一 一 一1 i l r 一 一 壹 z 壹 壹 一 一 未 善暑 l t 一 2 b n o x 1 6 1 6 1 一 卸 矗 一l 2 6 o 毛 a 1 a 一 l a k l 2 a 1 6 J 1 6 毛 1 毛 6 1 磚 毛 6 2 l 2 2 就 J 2 6 I 1 2 一 蠹 毛 1 矗 一 l l b nz 6 f j l 6 卜 l 一 z 1 z 武 維普資訊 2 4 8 數(shù)據(jù)采集與處理 第 7 卷 再繼續(xù)求導(dǎo) 可得規(guī)范方程 組 L 一 m 式中 L 一 2l 口 b 1 o 6 z 6 6 6 s l l l l i t 一 6 z i D 4 6 一 l 一 l 一 l 一 6 z 6 l t k 畦 一 I I 6 矗 I l 罐 6 矗 m m r 工 一 矗 2 新 一 一 Z i I Z i af 6 1 1 t l l I N 磚 葺 1 矗 1 z k l l l 毛 i 1 1 砝 z 畦 日 6 矗 1 Z i 2 h 一 t 一 疊 一 t I I l I I 圮 一 z 矗 s 硅 最 z l l 甩矩 陣對(duì) 規(guī)范方程組進(jìn)行表 述 可 以看 出該矩陣為 一對(duì)稱矩 陣 用 表 示 為 規(guī)范 方程組的 系數(shù)矩陣 t 一 6 最 6 r 一 6 Z Z Z Z 矗 Z Z Z 一 2 缸 Z 一 k 最 Z Z O 維普資訊 第 期 方 中行 多元 非線性 數(shù)據(jù) 報(bào)告 模型 的數(shù)學(xué) 推論 及其 回歸方程 的計(jì)算機(jī) 報(bào)告 2 4 9 l A 2 i A s j A 6 i A 日 i A l i l a i 4 1 1 i i A i 2 3 i i 一 也 一 z z 一 一 一 蠢 一 e一 一 靠 一 一 一 A l s 一 m s 一 z I z 畦 最 一 z z z z l 矗 z l z t I o Z I m z 矗 N z m 一矗 I 畦 a 規(guī) 范方 程組 的結(jié)構(gòu)矩 陣 x為 x一 i x x x s x x 5 i xl 3 x 式中 一 l J z l 如I 工 一 t J 噩 一 商 塌 一 L z l H x 5 l x 一 墻 墻 x t 軋 畦 矗 z xB 昌 xB j xl o i x l l i l l 1 z r 靠 瑞 l 瑋 墻 r t Z Z rL l l 一 中 式 維普資訊 2 50 X 一 z i 一 l Xl o 一 X i l X i I 一 l a Xl 2 一 X l 3 l 2 I 數(shù)據(jù)采集與處理 z 一 zl XZ l Z Z 2 Z 2 1 Z I3 2 Z2 X1 一 Z l 2 o o z 2 2 h 根 據(jù)結(jié)構(gòu)矩 陣 則系數(shù)矩陣 A為 一 F 一 規(guī)范 方程 組右邊 的常數(shù)項(xiàng) 矩陣 G為 l l l z 0 l 一 一 l x t 1 2 I Xl l z l z l l 2 z z i l z l l r I l l l 一Fy l L I 2 蕾 回歸方程的系數(shù)矩 陣 B為 1 l z f z l Xb l z 2 J X l I X I 2 l z 1 C NI E YZ z J 第 7卷 l J J 一 一 一 靠 礙 軸 卸 卸 卸 L J 卸 瑋 l 維普資訊 第 4期 方 中行 多元 非線性 數(shù)據(jù) 擬 臺(tái)模型 的數(shù)學(xué)推 論及 其 回歸方 程的計(jì) 算機(jī) 擬臺(tái) 2 5 1 肚 J 四 解算規(guī)范方程組 的程序框 圖 程序框 圖見(jiàn)第 2 5 2頁(yè) 參 考 文 獻(xiàn) 上 海師范 大學(xué) 概率統(tǒng) 計(jì)教研 室編 回歸分析及 其試 驗(yàn)設(shè)計(jì) 上海 教 育出版 社 J 9 7 8 卜一 2 2 2白新桂 數(shù)據(jù)分 析與 試驗(yàn)優(yōu) 化設(shè)計(jì) 清畢大 學(xué) 出版 社 1 9 8 6 5 9 1 3 0 3 洪再吉等譯 非線性 回歸模型統(tǒng)一的實(shí)用方法 南京大學(xué)出版杜 1 9 8 6 1 3 9 4 w a I p o I e R E My e r s R l P J 0 b a b i l c y a n d蚍a t t f o r e n e e r s a n d s c ie n t i s t s Ne w Yo r k Ma c Mi l l a n P u b l i s h i n g Co 280 3 33 5 程正興 數(shù)據(jù)擬 臺(tái) 西 安文通 大學(xué) 出版社 1 9 t 6 卜 9 6 9 西格榮德布蘭特著 莫格生譯 數(shù)據(jù)分析中的統(tǒng)計(jì)和計(jì)算方法 國(guó)防工業(yè)出版杜 9 8 3 7 7 1 8 7 I nf e r e n c e o f M a t h e ma t i c a l M o d e l o f Fi t t i ng M u l t i p l e No n l i n e a r Da t a a n d I t s Re g r e s s i o n Fi t t i n g b y Co m p u t e r F a n g Z H Na n c h a n g I n s t i t u t e o f Ae r o n a u t l c a l T e c h n o l o g y Ab s t r a c t I n t hi s p a p e r c o mmo n ma t he m a t i c al mo d e l of mu l t i p l e n o n l i ne a r d a t a f i 懈 n g j s i nf e r r e d A s e t o f no r ma l e q u at i o ns i s d e d uc e d f r o m us i n g t he me t h o d o f le a s t s q u ar e s a nd mi n i mum t h e o r y an d s o i s e x p r e s s e d i n a ma tri x f o r m Th e s t r uc t ur a l ma t r i x t r a ns f o r ms i nt o ot he r ma t r i x v e ry e a s i l y I t c a n b e u s e d C simp l i f y pr o g r a m d e s i g n a n d c a c ul a o n f t he g e t of no r mal e qu a t i o n s Ac c o r d i n g t h e n u m b e r of i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s t h