01 第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì).doc

第四章 不定積分 數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù). 有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了，而它們也就立刻產(chǎn)生，并且是有由牛頓和萊布尼茨大體上完成的，但不是由他們發(fā)明的. -恩格斯數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力主要來(lái)源于社會(huì)發(fā)展的環(huán)境力量. 17世紀(jì)，微積分的創(chuàng)立首先是為了解決當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)面臨的四類(lèi)核心問(wèn)題中的第四類(lèi)問(wèn)題，即求曲線(xiàn)的長(zhǎng)度、曲線(xiàn)圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心和引力等等. 此類(lèi)問(wèn)題的研究具有久遠(yuǎn)的歷史，例如，古希臘人曾用窮竭法求出了某些圖形的面積和體積，我國(guó)南北朝時(shí)期的祖沖之、祖恒也曾推導(dǎo)出某些圖形的面積和體積，而在歐洲，對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的研究興起于17世紀(jì)，先是窮竭法被逐漸修改，后來(lái)由于微積分的創(chuàng)立徹底改變了解決這一大類(lèi)問(wèn)題的方法. 由求運(yùn)動(dòng)速度、曲線(xiàn)的切線(xiàn)和極值等問(wèn)題產(chǎn)生了導(dǎo)數(shù)和微分，構(gòu)成了微積分學(xué)的微分學(xué)部分；同時(shí)由已知速度求路程、已知切線(xiàn)求曲線(xiàn)以及上述求面積與體積等問(wèn)題，產(chǎn)生了不定積分和定積分，構(gòu)成了微積分學(xué)的積分學(xué)部分. 前面已經(jīng)介紹已知函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題，現(xiàn)在我們要考慮其反問(wèn)題：已知導(dǎo)數(shù)求其函數(shù)，即求一個(gè)未知函數(shù)，使其導(dǎo)數(shù)恰好是某一已知函數(shù). 這種由導(dǎo)數(shù)或微分求原來(lái)函數(shù)的逆運(yùn)算稱(chēng)為不定積分. 本章將介紹不定積分的概念及其計(jì)算方法.第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)分布圖示 問(wèn)題的引入 原函數(shù)的概念 不定積分的概念 例1 例2 例3 例4 例5 微分運(yùn)算與積分運(yùn)算的關(guān)系 基本積分表 不定積分的性質(zhì) 直接積分法 例6 例7 例8 例9 例 10 例11 例12 例 13 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題4-1 內(nèi)容要點(diǎn) 一、原函數(shù)的概念 二、不定積分的概念注: 由定義知, 求函數(shù)的不定積分, 就是求的全體原函數(shù), 在中, 積分號(hào)表示對(duì)函數(shù)實(shí)行求原函數(shù)的運(yùn)算, 故求不定積分的運(yùn)算實(shí)質(zhì)上就是求導(dǎo)(或求微分)運(yùn)算的逆運(yùn)算； 三、不定積分的性質(zhì)；四、基本積分表； 五、直接積分法：利用不定積分的運(yùn)算性質(zhì)和基本積分公式, 直接求出不定積分的方法. 例題選講不定積分的概念例1 (E01) 問(wèn) 與 是否相等?解 不相等.設(shè)則而由不定積分定義，所以例2 (E02) 求下列不定積分解 (1) 因?yàn)樗允堑囊粋€(gè)原函數(shù),從而為任意常數(shù))(2) 因?yàn)樗允堑囊粋€(gè)原函數(shù),從而為任意常數(shù)).(3) 因?yàn)楣适堑脑瘮?shù)，從而為任意常數(shù)).例3 (E03) 已知曲線(xiàn)在任一點(diǎn)x處的切線(xiàn)斜率為, 且曲線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)(1, 2), 求此曲線(xiàn)的方程.解 根據(jù)題意知即是的一個(gè)原函數(shù)，從而現(xiàn)在要上述積分曲線(xiàn)族中選出通過(guò)點(diǎn)的那條曲線(xiàn).由曲線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)得故所求曲線(xiàn)方程為例4 (E04) 經(jīng)過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn), 某產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)可由下面函數(shù)給出其中q是產(chǎn)量數(shù), 已知生產(chǎn)的固定成本為2, 求生產(chǎn)成本函數(shù).解 設(shè)所求生產(chǎn)成本函數(shù)為 按題意，有因?yàn)?所以是的一個(gè)原函數(shù)，從而 直接積分法例5 (E05) 計(jì)算不定積分.解 例6 (E06) 求不定積分 .解 例7 求不定積分 .解 例8 (E07) 求不定積分.解 例9 (E08) 求不定積分.解 例10 (E09) 求下列不定積分:解 例11 求滿(mǎn)足下列條件的 解 根據(jù)題設(shè)條件, 有.又得所以例12 求滿(mǎn)足下列條件的 解 根據(jù)題設(shè)條件，有由得即所以例13 (E10)