數(shù)列知識點所有性質總結.doc

一、等差數(shù)列1.等差數(shù)列的定義：（d為常數(shù)）（）；2等差數(shù)列通項公式： ， 首項:，公差:d，末項: 推廣： 從而；3等差中項（1）如果，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項即：或（2）等差中項：數(shù)列是等差數(shù)列4等差數(shù)列的前n項和公式：（其中A、B是常數(shù)，所以當d0時，Sn是關于n的二次式且常數(shù)項為0）特別地，當項數(shù)為奇數(shù)時，是項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項（項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項和等于項數(shù)乘以中間項）5等差數(shù)列的判定方法 （1） 定義法：若或(常數(shù)) 是等差數(shù)列 （2） 等差中項：數(shù)列是等差數(shù)列 數(shù)列是等差數(shù)列（其中是常數(shù)）。（4）數(shù)列是等差數(shù)列,（其中A、B是常數(shù)）。6等差數(shù)列的證明方法 定義法：若或(常數(shù)) 是等差數(shù)列7.提醒：（1）等差數(shù)列的通項公式及前和公式中，涉及到5個元素：、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。（2）設項技巧：一般可設通項奇數(shù)個數(shù)成等差，可設為，（公差為）；偶數(shù)個數(shù)成等差，可設為，,（注意；公差為2）8.等差數(shù)列的性質：（1）當公差時，等差數(shù)列的通項公式是關于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關于的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.（2）若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列。（3）當時,則有，特別地，當時，則有.注：， （4）若、為等差數(shù)列，則都為等差數(shù)列(5) 若是等差數(shù)列，則 ，也成等差數(shù)列 （6）數(shù)列為等差數(shù)列,每隔k(k)項取出一項()仍為等差數(shù)列（7）設數(shù)列是等差數(shù)列，d為公差，是奇數(shù)項的和，是偶數(shù)項項的和，是前n項的和1.當項數(shù)為偶數(shù)時，2、當項數(shù)為奇數(shù)時，則（其中是項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項）（8）、的前和分別為、，且，則.（9）等差數(shù)列的前n項和，前m項和，則前m+n項和(10)求的最值法一：因等差數(shù)列前項是關于的二次函數(shù)，故可轉化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性。法二：（1）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項和的最大值是所有非負項之和即當 由可得達到最大值時的值 （2） “首負”的遞增等差數(shù)列中，前項和的最小值是所有非正項之和。即 當 由可得達到最小值時的值或求中正負分界項法三：直接利用二次函數(shù)的對稱性：由于等差數(shù)列前n項和的圖像是過原點的二次函數(shù)，故n取離二次函數(shù)對稱軸最近的整數(shù)時，取最大值（或最小值）。若S p = S q則其對稱軸為注意：解決等差數(shù)列問題時，通?？紤]兩類方法：基本量法：即運用條件轉化為關于和的方程；巧妙運用等差數(shù)列的性質，一般地運用性質可以化繁為簡，減少運算量二、等比數(shù)列1. 等比數(shù)列的定義：，稱為公比2. 通項公式：， 首項：；公比：推廣：， 從而得或3. 等比中項（1）如果成等比數(shù)列，那么叫做與的等差中項即：或注意：同號的兩個數(shù)才有等比中項，并且它們的等比中項有兩個（兩個等比中項互為相反數(shù)）（2）數(shù)列是等比數(shù)列4. 等比數(shù)列的前n項和公式：(1) 當時， (2) 當時，（為常數(shù)）5. 等比數(shù)列的判定方法（1）用定義：對任意的n,都有為等比數(shù)列 （2） 等比中項：（0）為等比數(shù)列（3） 通項公式：為等比數(shù)列（4） 前n項和公式：為等比數(shù)列6. 等比數(shù)列的證明方法依據(jù)定義：若或為等比數(shù)列7. 注意（1）等比數(shù)列的通項公式及前和公式中，涉及到5個元素：、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。（2）為減少運算量，要注意設項的技巧，一般可設為通項；如奇數(shù)個數(shù)成等差，可設為，（公比為，中間項用表示）；8. 等比數(shù)列的性質(1) 當時等比數(shù)列通項公式是關于n的帶有系數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底為公比前n項和，系數(shù)和常數(shù)項是互為相反數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比(2) 對任何m,n,在等比數(shù)列中,有,特別的,當m=1時,便得到等比數(shù)列的通項公式.因此,此公式比等比數(shù)列的通項公式更具有一般性。(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t),則.特別的,當n+m=2k時,得注：(4) 列,為等比數(shù)列,則數(shù)列, (k為非零常數(shù)) 均為等比數(shù)列.(5) 數(shù)列為等比數(shù)列,每隔k(k)項取出一項()仍為等比數(shù)列(6) 如果是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,則數(shù)列是等差數(shù)列(7) 若為等比數(shù)列,則數(shù)列，成等比數(shù)列(8) 若為等比數(shù)列,則數(shù)列, , 成等比數(shù)列(9) 當時， 當時，, 當q=1時,該數(shù)列為常數(shù)列（此時數(shù)列也為等差數(shù)列）; 當q0時,該數(shù)列為擺動數(shù)列.(10)在等比數(shù)列中, 當項數(shù)為2n (n)時,. (11)若是公比為q的等比數(shù)列,則三、等差數(shù)列與等比數(shù)列性質的比較等差數(shù)列性質等比數(shù)列性質1、定義；,2、通項公式3、前n項和4、中項a、A、b成等差數(shù)列A=；是其前k項與后k項的等差中項，即：=a、A、b成等比數(shù)列（不等價于，只能）;是其前k項與后k項的 等比中項，即：5、下標和公式若m+n=p+q,則特別地,若m+n=2p,則若m+n=p+q,則特別地,若m+n=2p,則6、首尾項性質等差數(shù)列的第k項與倒數(shù)第k項的和等于首尾兩項的和, 即：等比數(shù)列的第k項與倒數(shù)第k項的積等于首尾兩項的積, 即：7、結論為等差數(shù)列,若m,n,p成等差數(shù)列,則成等差數(shù)列為等比數(shù)列,若m,n,p成等差數(shù)列,則成等比數(shù)列（兩個等差數(shù)列的和仍是等差數(shù)列）等差數(shù)列,的公差分別為,則數(shù)列仍為等差數(shù)列，公差為（兩個等比數(shù)列的積仍是等比數(shù)列）等比數(shù)列,的公比分別為,則數(shù)列仍為等比數(shù)列，公差為取出等差數(shù)列的所有奇（偶）數(shù)項，組成的新數(shù)列仍為等差數(shù)列，且公差為取出等比數(shù)列的所有奇（偶）數(shù)項，組成的新數(shù)列仍為等比數(shù)列，且公比為若則無此性質；若則無此性質；若無此性質；成等差數(shù)列，公差為成等差數(shù)列，公比為當項數(shù)為偶數(shù)時， 當項數(shù)為奇數(shù)時， ，當項數(shù)為偶數(shù)時，當項數(shù)為奇數(shù)時， 8、等差(等比)數(shù)列的判斷方法定義法：等差中項概念；函數(shù)法：關于n的一次函數(shù)數(shù)列是首項為p+q，公差為p的等差數(shù)列；