問題引導(dǎo)思維動(dòng)態(tài)演繹精彩——一道習(xí)題探究教學(xué)案例設(shè)計(jì).pdf

教材 教法 案例點(diǎn)評(píng) 2 0 1 4 年4 月 問題引導(dǎo)思維 動(dòng)態(tài)演繹精彩 一道習(xí)題探究教學(xué)案例設(shè)計(jì) 寧夏彭陽縣第三中學(xué)王伯龍 數(shù)學(xué)是思維的體操 問題是數(shù)學(xué)的心臟 問題是 引發(fā)學(xué)生思維與探究活動(dòng)的向?qū)?是學(xué)生課堂學(xué)習(xí)活動(dòng) 的載體 能有效地激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲 通過問 題 可以把知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)與學(xué)生的思維過程有機(jī)地聯(lián) 系起來 使知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu) 通 過問題 能使學(xué)生主動(dòng)探究發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在規(guī)律 認(rèn)識(shí) 與理解數(shù)學(xué)的本質(zhì) 新課標(biāo)指出 動(dòng)手實(shí)踐 探索交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) 的重要而有效的方式 學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)是一個(gè)動(dòng)態(tài) 的 活潑的 富有個(gè)性的 再創(chuàng)造 過程 葉瀾教授曾提 倡 用動(dòng)態(tài)生成的觀念 重新全面地認(rèn)識(shí)課堂教學(xué) 構(gòu) 建新的課堂教學(xué)觀 使課堂煥發(fā)生命活力 因此 在數(shù) 學(xué)教學(xué) 特別是習(xí)題探究課的教學(xué)中 要注重問題設(shè)計(jì) 的整體性 層次性和探究性 通過問題串的設(shè)計(jì)來體現(xiàn) 低起點(diǎn) 小坡度 密臺(tái)階 符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律 讓學(xué)生 在問題串的引導(dǎo)下 可以自主學(xué)習(xí) 同時(shí) 問題間的適度 思維差又能激發(fā)學(xué)生合作探究的興趣 筆者在每一單元授課結(jié)束后 都安排一節(jié)習(xí)題探究 課 讓學(xué)生在低起點(diǎn) 小坡度 密臺(tái)階的問題串下自然地 探究學(xué)習(xí) 下面的案例是筆者在教學(xué)橢圓單元后的一節(jié) 習(xí)題課探究的教學(xué)設(shè)計(jì) 一 教學(xué)簡(jiǎn)述 題目設(shè)點(diǎn)A 曰的坐標(biāo)分別為 一5 0 5 0 直線 A M 腳z 相交于點(diǎn)M 且它們的斜率之積為一 求點(diǎn)M 的 9 軌跡方程 題目給出后 全班學(xué)生幾乎都不屑一顧 這不是前 面已做過的一道例題嗎 答案我們都沒忘記 點(diǎn)肘的軌 跡方程是1 2 5 旨 1 戈 5 是的 不過老師今天不是 9 讓你們?nèi)ブ貜?fù)昨天的故事 而是想通過這道題目帶著大 家去繼續(xù)探索研究 發(fā)現(xiàn)更多更有價(jià)值的問題 弄清試 7 般 7 高中版 題的本質(zhì) 從中感悟數(shù)學(xué)的真諦 同學(xué)們都笑了 教師 你能通過觀察從試題的條件和所求出的結(jié)果 中 提出一般性的問題嗎 學(xué)生1 設(shè)點(diǎn)A B 的坐標(biāo)分別為 一n 0 口 0 直線 A M 嗍交于點(diǎn)M 且它們的斜率之積為一之 求點(diǎn)M 的 曠 軌跡方程 眾生 點(diǎn)M 的軌跡方程為冬 善 1 D 6 o 算 口 曠b 教師 把上述試題看作命題 從逆向思考問題的視 角出發(fā) 你能提出一個(gè)新的問題并且會(huì)驗(yàn)證它成立嗎 學(xué)生2 口述 設(shè)點(diǎn)A B 分別為橢圓E 等 丟 l 口 6 0 長(zhǎng)軸的左右頂點(diǎn) 點(diǎn)M 不同于點(diǎn)A 鰳為橢圓E 上 一點(diǎn) 則 j 塒 后肋F 一之 曠 學(xué)生共同完成證明過程如下 2 由已知易得A 一n 0 B a 0 設(shè)點(diǎn)M x Y o 則竺 曠 魯 1 即y 一芒 戈 一a 2 于是后塒 后腳 L j 生 善之 D c g x o ax o a 聾和礦 一之 從而命題是真命題 礦 教師 上面的問題中 點(diǎn)A B 是橢圓E 長(zhǎng)軸的兩個(gè)頂 點(diǎn)時(shí)成立 那么 換成短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí) 是否有同樣的 結(jié)論呢 眾生 我們通過驗(yàn)證 也有同樣的結(jié)論 此時(shí) 同學(xué)們激情高昂 渴望更多 更有價(jià)值的新問 題 新結(jié)論出現(xiàn) 教師趁熱打鐵 教師 結(jié)合上面的問題 誰還能提出新的問題或猜 想 同學(xué)們積極思考 同桌交流 組內(nèi)合作探討 大約過 了3 分鐘的時(shí)間 便有同學(xué)舉手發(fā)言 學(xué)生3 我由學(xué)生2 和您剛提出的問題受到啟發(fā) 提 萬方數(shù)據(jù) 2 0 1 4 年4 月案例點(diǎn)評(píng) 出一個(gè)猜想 口述 點(diǎn)A B 肘是橢圓E 等 丟 l 口 6 o 上不同的三點(diǎn) 若k 脅 艫一芝 則點(diǎn)A 曰的連線過橢 礦 圓的中一o o 學(xué)生4 受學(xué)生3 提出的猜想的啟發(fā) 從逆向思維的 視角思考問題的方法 我也提出一個(gè)猜想 口述 過原 點(diǎn)D 的直線z 交橢圓E 等 丟 l 6 o 于點(diǎn)A B M 不 同于點(diǎn)A B 為橢圓E 上一點(diǎn) 貝l J k g 矗塒B 一之 教師 很好 你們不負(fù)眾望 老師為你們驕傲 掌聲 鼓勵(lì) 為了研究問題的方便 把學(xué)生3 學(xué)生4 提出的猜想 分別記為 岡0 才兩位同學(xué)提出了兩個(gè)猜想 既然是 猜想 當(dāng)然需要我們?nèi)ヲ?yàn)證 教師用 幾何畫板 演示 給學(xué)生直觀 動(dòng)態(tài)的感受 從動(dòng)態(tài)的演示中 同學(xué)們欣喜若狂 發(fā)現(xiàn)他們的猜想 是成立的 經(jīng)過師生共同的參與研究 完成猜想 的驗(yàn)證過程 如下 為了方便 記k 塒 設(shè)M x y o A 扎y B x y 2 則直線刪 y y o 后 戈咄 由方葦 i j ll Y 6 Y 2 口k 訌 x 扔x 消去y 整理得菇的一元二次方程 6 2 礬2 菇2 2 a 2 k y o k x o 茗 a 2 y o k x 2 b 2 0 因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)根為X X 由根與系 數(shù)間的關(guān)系得茗 慨 2 a i 2 k 薩k x 礦o y o 所以茗l a 2 k 2 x i 2 瓦a 2 k 矛y o 一 b 2 x o 代入得y b 2 y o j a f 2 k 孬2 y 孑o 2 b 2 k x o 又由J j 塒 I 廬一罷得知廬一要 所以將方程組中的后換成一要 解 茁西K蓮k 得x 2 a 2 k Z x 礎(chǔ)o 2 4 a 2 k 6 y o b 2 x o y 1 b 2 y o i a 2 k 再2 y o 萬 2 一b 2 k x o 于是x l 慨2 0 Y 1 y 2 O 所以點(diǎn)A B 關(guān)于原點(diǎn)0 對(duì)稱 故A B 的連線過橢圓的中心O 對(duì)于猜想 學(xué)生求解的思路是 當(dāng)f 為橢圓E 的長(zhǎng) 短軸所在的直線時(shí) 前面已知 這 里只寫出不是長(zhǎng) 短軸的情形 設(shè)M x o y o A Y B x Y 直線l y k x 由方程 組 意巍批消去y 得 群 6 2 x 2 a 2 b 2 0 所 機(jī)2 o 茗 z 一麗a 2 b 2 于是有y t 坳 戈牟z 一薹羞象 所以晟塒 材 法 l 一 y 2 y o y y o 堅(jiān) 竺 趟一墮籃二墮 鈾一瓦 而一磊了磊蕊i 一一a 2 y 2 0 k x 2 一芒 注意到6 j 口粥 扔z 綜上 猜想成立 曠 教師 大家已驗(yàn)證了猜想是成立的 那么把我們的 研究成果形成結(jié)論 不妨分別叫做結(jié)論1 和結(jié)論2 請(qǐng)大家仔細(xì)觀察圖1 老師 過橢圓的中 O o 作O P f f M A 交M B 于點(diǎn)P 結(jié)合結(jié)論1 和結(jié)論2 你有 什么新的發(fā)現(xiàn)嗎 V B 移展 鄉(xiāng) 二 體驗(yàn)高考 經(jīng)過一番探究后 在大家都為自己的探究興奮不已 時(shí) 筆者順勢(shì)拋出了下面的三道練習(xí)題 題1 2 0 1 3 年全國(guó)高考大綱卷理科第8 題 橢圓c 等 等 l 的左 右頂點(diǎn)分別鐘 A 點(diǎn)贓c 上 且直線 尉 的斜率的取值范圍是 一2 一1 那么直線P A 的斜率 的取值范圍是 A 吉 號(hào) B 詈 尋 c D 尋 題2 2 0 1 3 年全國(guó)高考新課標(biāo)I 卷理科第1 0 題 已 知橢圓E 等 等 1 痧6 o 的右焦點(diǎn)為只3 o 過點(diǎn)瑚 直線交E 于A 曰兩點(diǎn) 若A 曰的中點(diǎn)坐標(biāo)為 1 一1 則E 的 方程為 A 1B 笙 1c 蘭 1 D 蘭 1 4 5 3 63 62 72 71 81 89 題3 2 0 1 0 年全國(guó)高考數(shù)學(xué)上海卷理科第2 3 題 已 知橢圓丁 等 善 1 口 6 0 點(diǎn)P 的坐標(biāo)為 一口 b I 略 設(shè)直線2 y 而傅 p 交橢圓吁C D 兩點(diǎn) 交直線 1 2 y 南彬于點(diǎn)E 若I 函2 一 O 證明 E 為c D 的中點(diǎn) 高中版十 7 擻 7 l 萬方數(shù)據(jù) 教材 教法 案例點(diǎn)評(píng) 2 0 1 4 年4 月 略 很快 有學(xué)生結(jié)合結(jié)論得出了題1 題2 的選項(xiàng)分別 為B 和D 對(duì)于題3 當(dāng)大家正在激烈地進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算時(shí) 平時(shí)愛思考的學(xué)生6 給出了簡(jiǎn)潔證法 證明 過 亡t c c c f 交橢圓盱點(diǎn)G 由 k 2 芝得 曠 函薩一芒 由結(jié)論1 知原點(diǎn) 為佃的中點(diǎn) 所以E 為c D 的 礦 中點(diǎn) 課堂在一片熱烈的掌聲中落下了帷幕 三 教后反思 本節(jié)課迎合新課程理念 不僅圓滿地完成了預(yù)期的 課堂教學(xué)任務(wù) 更重要的是達(dá)到了以下的效果 1 給學(xué)生留出了時(shí)間 留出了空間 提供了體驗(yàn)和 領(lǐng)悟的機(jī)會(huì) 通過問題串的引領(lǐng) 讓學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)認(rèn) 知的過程 讓學(xué)生大膽地猜想 感悟數(shù)學(xué)問題的產(chǎn)生原 本就是那么的自然 合理 簡(jiǎn)單 自己通過努力也能發(fā)現(xiàn) 和解決 從心理上消除了數(shù)學(xué)難學(xué)的困惑 2 調(diào)動(dòng)了學(xué)生探究學(xué)習(xí)的熱情 激發(fā)了學(xué)生的求 知欲和進(jìn)取精神 學(xué)習(xí)潛力也得到了挖掘 正所謂 知之 者不如好之者 好之者不如樂之者 也增強(qiáng)了課堂教學(xué) 活力 提高了教學(xué)效率 教材凝聚了專家們的心智 教材中的例習(xí)題都具有 很強(qiáng)的基礎(chǔ)性 典范性和示范性 它是教師教學(xué)的基礎(chǔ) 和根本 也是高考命題的立足點(diǎn) 因此對(duì)教材例習(xí)題的 探究 拓展 能夠引導(dǎo)學(xué)生重視教材 回歸教材 夯實(shí)基 礎(chǔ) 培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心 數(shù)學(xué)的精髓在于探索和創(chuàng)新 本節(jié)課通過教材中一 道平常的例題 經(jīng)過教師精心的設(shè)計(jì) 以問題串引領(lǐng)學(xué) 生不斷地發(fā)現(xiàn)新問題 獲取新信息 得出新結(jié)論 對(duì)學(xué)生 而言 調(diào)動(dòng)學(xué)生通過探索交流的動(dòng)態(tài)方式去參與探索 發(fā)現(xiàn) 解決問題的全過程 這樣 學(xué)生學(xué)到的不單是知識(shí) 本身 也經(jīng)歷了知識(shí)發(fā)生 形成的過程 同時(shí)在分析 探 索 發(fā)現(xiàn)的過程中領(lǐng)會(huì)到知識(shí)創(chuàng)新的思維過程和思維方 法 從而提高他們的創(chuàng)新能力 參考文獻(xiàn) 1 人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn) 實(shí)驗(yàn)教科書 選修2 1 M 北京 人民教育出版社 2 0 0 7 2 葉堯城 高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)教師讀本 M 武漢 華 中師范大學(xué)出版社 2 0 0 3 3 邵珍紅 自主探究 合作交流在課堂中的實(shí)際應(yīng)用 J 數(shù)學(xué)通報(bào) 2 0 1 1 2 圃 上接第1 5 頁 1 求證 直線E 助面一C D 2 求證 面E F C 上酗C D C 圖2 在解題過程中 相同的 也有定義法和建立直角坐 標(biāo)系法兩種 要證明兩平面垂直 首先就得明白 兩個(gè) 平面相交 如果所成的二面角是直二面角 那么這兩個(gè) 平面互相垂直 如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條 垂線 那么這兩個(gè)平面互相垂直 如果一個(gè)平面垂直 于兩個(gè)平行面中的一個(gè) 那么 也垂直于另一個(gè)平面 當(dāng)然 也可以同樣通過以D 為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo) 系 通過求兩個(gè)平面的法向量 當(dāng)兩個(gè)平面的法向量數(shù) 量積為0 時(shí) 那么兩個(gè)平面相互垂直 4 復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)要以學(xué)生為主體 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有 效復(fù)習(xí)與鞏固 在高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)階段 復(fù)習(xí)時(shí)更應(yīng)該以學(xué)生為主 體 在講授新課時(shí) 多以教師的講授和學(xué)生的被動(dòng)接受 為主要方式 但是 在復(fù)習(xí)時(shí)就應(yīng)該打破這樣的模式 教 師在這一過程中 應(yīng)當(dāng)以學(xué)生為主 盡可能地讓學(xué)生自 十 鼗 高中版 己去回憶和思考以前所學(xué)的知識(shí) 在學(xué)生想不起來時(shí) 再予以提醒和指點(diǎn) 然后 在學(xué)生對(duì)知識(shí)有了印象之后 再將前后的知識(shí)連貫起來 突出新的知識(shí)點(diǎn) 最后 再在 新知識(shí)的基礎(chǔ)上 出練習(xí)題 讓學(xué)生練習(xí) 這樣 學(xué)生不 僅不會(huì)覺得復(fù)習(xí)課無聊 相反 他們還會(huì)覺得復(fù)習(xí)課有 新的知識(shí)點(diǎn) 更有樂趣 而且 綜合的練習(xí)題對(duì)于學(xué)生而 言 更有挑戰(zhàn)性 更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和練習(xí)的積極性 二 總結(jié) 傳統(tǒng)高中數(shù)學(xué)課的復(fù)習(xí)主要以題海戰(zhàn)術(shù)和教師講 述為主 在目前的教育環(huán)境下 所取得的效果不是非常 理