2020版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)、解三角形4.1任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)教案文新人教A版.docx

4.1任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)最新考綱考情考向分析1.了解任意角的概念和弧度制的概念2.能進(jìn)行弧度與角度的互化3.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.以理解任意角三角函數(shù)的概念、能進(jìn)行弧度與角度的互化和扇形弧長(zhǎng)、面積的計(jì)算為主，常與向量、三角恒等變換相結(jié)合，考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用及三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值，考查分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用意識(shí)題型以選擇題為主，低檔難度.1.角的概念(1)角的分類(按旋轉(zhuǎn)的方向)角(2)象限角象限角象限角的集合表示第一象限角|k360k36090，kZ第二象限角|k36090k360180，kZ第三象限角|k360180k360270，kZ第四象限角|k3602700)，則sin；cos；tan；cot；sec；csc.4.三角函數(shù)在各象限的符號(hào)規(guī)律及三角函數(shù)線(1)三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：象限符號(hào)函數(shù)sin，csccos，sectan，cot(2)三角函數(shù)線：正弦線如圖，角的正弦線為.余弦線如圖，角的余弦線為.正切線如圖，角的正切線為.概念方法微思考1總結(jié)一下三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律提示一全正、二正弦、三正切、四余弦2三角函數(shù)坐標(biāo)法定義中，若取點(diǎn)P(x，y)是角終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，怎樣定義角的三角函數(shù)？提示設(shè)點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離為r，則sin，cos，tan(x0)題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)銳角是第一象限的角，第一象限的角也都是銳角()(2)角的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān)()(3)不相等的角終邊一定不相同()(4)若為第一象限角，則sincos1.()題組二教材改編2角225弧度，這個(gè)角在第象限答案二3若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)Q，則sin，cos.答案4一條弦的長(zhǎng)等于半徑，這條弦所對(duì)的圓心角大小為弧度答案題組三易錯(cuò)自糾5集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是()答案C解析當(dāng)k2n(nZ)時(shí)，2n2n，此時(shí)表示的范圍與表示的范圍一樣；當(dāng)k2n1 (nZ)時(shí)，2n2n，此時(shí)表示的范圍與表示的范圍一樣，故選C.6已知點(diǎn)P在角的終邊上，且0,2)，則的值為()A.B.C.D.答案C解析因?yàn)辄c(diǎn)P在第四象限，所以根據(jù)三角函數(shù)的定義可知tan，又，所以.7在0到2范圍內(nèi)，與角終邊相同的角是答案解析與角終邊相同的角是2k(kZ)，令k1，可得與角終邊相同的角是.8(2018赤峰模擬)函數(shù)y的定義域?yàn)榇鸢?kZ)解析2cosx10，cosx.由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)，x(kZ)題型一角及其表示1下列與角的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()A2k45(kZ) Bk360(kZ)Ck360315(kZ) Dk(kZ)答案C解析與角的終邊相同的角可以寫成2k(kZ)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有答案C正確2設(shè)集合M，N，那么()AMNBMNCNMDMN答案B解析由于M中，x18045k9045(2k1)45，2k1是奇數(shù)；而N中，x18045k4545(k1)45，k1是整數(shù)，因此必有MN，故選B.3(2018沈陽(yáng)質(zhì)檢)終邊在直線yx上，且在2，2)內(nèi)的角的集合為答案解析如圖，在坐標(biāo)系中畫出直線yx，可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角是，在0,2)內(nèi)，終邊在直線yx上的角有兩個(gè)：，；在2，0)內(nèi)滿足條件的角有兩個(gè)：，故滿足條件的角構(gòu)成的集合為.4若角是第二象限角，則是第象限角答案一或三解析是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，是第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，是第三象限角綜上，是第一或第三象限角思維升華 (1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對(duì)集合中的參數(shù)k(kZ)賦值來求得所需的角(2)確定k，(kN)的終邊位置的方法先寫出k或的范圍，然后根據(jù)k的可能取值確定k或的終邊所在位置題型二弧度制及其應(yīng)用例1已知一扇形的圓心角為，半徑為R，弧長(zhǎng)為l.若，R10cm，求扇形的面積解由已知得，R10cm，S扇形R2102(cm2)引申探究1若例題條件不變，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在弓形的面積解lR10(cm)，S弓形S扇形S三角形lRR2sin10102(cm2)2若例題條件改為：“若扇形周長(zhǎng)為20cm”，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？解由已知得，l2R20，則l202R(0R0，解得m3.命題點(diǎn)2三角函數(shù)線例3(1)滿足cos的角的集合是答案解析作直線x交單位圓于C，D兩點(diǎn)，連接OC，OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角終邊的范圍，故滿足條件的角的集合為.(2)若，從單位圓中的三角函數(shù)線觀察sin，cos，tan的大小關(guān)系是答案sincostan解析如圖，作出角的正弦線，余弦線，正切線，觀察可知sincos0.則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(2,3 B(2,3)C2,3) D2,3答案A解析cos0，sin0，角的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上2cosx成立的x的取值范圍是()A.B.C.D.答案C解析當(dāng)x時(shí)，sinx0，cosx0，顯然sinxcosx成立；當(dāng)x時(shí)，作出三角函數(shù)線，如圖，OA為x的終邊，由三角函數(shù)線可知，sinxcosx；當(dāng)x時(shí)，如圖，OB為x的終邊，由三角函數(shù)線可知sinxcosx.同理當(dāng)x時(shí)，sinxcosx；當(dāng)x時(shí)，sinxcosx，故選C.1下列說法中正確的是()A第一象限角一定不是負(fù)角B不相等的角，它們的終邊必不相同C鈍角一定是第二象限角D終邊與始邊均相同的兩個(gè)角一定相等答案C解析因?yàn)?3036030，所以330角是第一象限角，且是負(fù)角，所以A錯(cuò)誤；同理330角和30角不相等，但它們終邊相同，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)殁g角的取值范圍為(90，180)，所以C正確；0角和360角的終邊與始邊均相同，但它們不相等，所以D錯(cuò)誤2已知扇形的周長(zhǎng)是6，面積是2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是()A1B4C1或4D2或4答案C解析設(shè)扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，則解得或從而4或1.3.設(shè)是第三象限角，且cos，則是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案B解析由是第三象限角知，為第二或第四象限角，cos，cos0，sincos0，sin0，cos0或sin0，cos0，cos0時(shí)，為第一象限角，當(dāng)sin0，cos0時(shí)，為第三象限角sincos0，cos30，sin2cos3tan40.7已知角的終邊過點(diǎn)P(8m，6sin30)，且cos，則m的值為()ABC.D.答案C解析由題意得點(diǎn)P(8m，3)，r，所以cos，解得m，又cos0，所以8m0，所以m.8給出下列命題：第二象限角大于第一象限角；三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角；不論是用角度制還是用弧度制度量一個(gè)角，它們與扇形的半徑的大小無關(guān)；若sinsin，則與的終邊相同；若cos0，則是第二或第三象限的角其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A1B2C3D4答案A解析舉反例：第一象限角370不小于第二象限角100，故錯(cuò)；當(dāng)三角形的內(nèi)角為90時(shí)，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故錯(cuò)；正確；由于sinsin，但與的終邊不相同，故錯(cuò)；當(dāng)cos1，時(shí)，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故錯(cuò)綜上可知，只有正確9若圓弧長(zhǎng)度等于該圓內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)，則其圓心角的弧度數(shù)是答案解析設(shè)圓半徑為r，則圓內(nèi)接正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為2r，正方形邊長(zhǎng)為r，圓心角的弧度數(shù)是.10若角的終邊與直線y3x重合，且sin0，又P(m，n)是角終邊上一點(diǎn)，且|OP|，則mn.答案2解析由已知tan3，n3m，又m2n210，m21.又sin0，m1，n3.故mn2.11已知角的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則角的最小正值為答案解析由題意知，點(diǎn)P，r1，所以點(diǎn)P在第四象限，根據(jù)三角函數(shù)的定義得cossin，故2k(kZ)，所以的最小正值為.12函數(shù)y的定義域?yàn)榇鸢?，kZ解析利用三角函數(shù)線(如圖)，由sinx，可知2kx2k，kZ.13已知角的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，則角用集合可表示為答案解析在0,2)內(nèi)，終邊落在陰影部分角的集合為，所求角的集合為.14若角的終邊落在直線yx上，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，且sincos0，則cossin.答案解析由角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，得cos，又由sincos0知，sin0，因?yàn)榻堑慕K邊落在直線yx上，所以角只能是第三象限角記P為角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，設(shè)P(x，y)(x0，y0)，則|OP|1(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，即x2y21，又由yx得x，y，所以cosx，因?yàn)辄c(diǎn)在單位圓上，所以2m21，解得m，所以sin，所以cossin.15九章算術(shù)是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中“方田”章給出了計(jì)算弧田面積時(shí)所用的經(jīng)驗(yàn)公式，即弧田面積(弦矢矢2)弧田(如圖1)由圓弧和其所對(duì)弦圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差，現(xiàn)有圓心角為，半徑為3米的弧田，如圖2所示按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積大約是平方米(結(jié)果保留整數(shù)，1.73)答案5解析如題圖2，由題意可得AOB，OA3，所以在RtAOD中，AOD，DAO，ODAO3，可得CD3，由ADAOsin3，可得AB2AD3.所以弧田面積S(弦矢矢2)5(平方米)16如圖，A，B是單位圓上的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)，