競賽講座-幾何解題途徑的探求方法.doc

第58課時：幾何解題途徑的探求方法 一充分地展開想象 想象力，就是人們平常說的形象思維或直覺思維能力。想象力對于人們的創(chuàng)造性勞動的重要作用，馬克思曾作過高度評價：“想象是促進人類發(fā)展的偉大天賦?！苯忸}一項創(chuàng)造性的工作，自然需要豐富的想象力。在解題過程中，充分展開想象，主要是指：1全面地設想 設想，是指對同一問題從各個不同的角度去觀察思考和深入分析其特征，推測解題的大致方向，構思各種不同的處理方案。例1在中，AB=AC，D是BC邊上一點，E是線段AD上一點 ，且，求證：BD=2CD（92年全國初中聯(lián)賽試題）例2 在中，ABAC，的外角平分線交的外接圓于D，于E。求證：（89年全國高中聯(lián)賽試題）3在的斜邊上取一點D，使的內(nèi)切圓相等。證明：（31屆IMO備選題）例4設A是三維立體的長方體磚塊。若B是所有到A的距離不超過1的點的集合（特別地，B包含A），試用的多項式表示B的體積（84年美國普特南數(shù)學竟賽試題）2廣泛地聯(lián)想 聯(lián)想，是指從事物的相聯(lián)糸中來考慮問題，從一事物想到與其相關的各種不同的事物，進行由此彼的思索。在解題過程中，我們?nèi)缒芨栴}特征廣泛地聯(lián)想熟知命題，并設法將其結論或解法加以利用，則無疑是獲得解題途徑的簡捷方法。例5在中角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若角A，B，C的大小成等比數(shù)列，且，求角B（85年全國高中聯(lián)賽試題）例6四邊形ABCD內(nèi)接于，對角線于，是的中點，（78年上海高中竟賽試題）例7 在正方體中，是的中點，在棱上，且，求平面與底面所成的二面角。（85年全國高中聯(lián)賽試題）例8 設為0的內(nèi)接四邊形，依次為的垂心。求證：四點在同一個圓上，并確定該圓的圓心位置。（92年全國高中聯(lián)賽試題）3大膽地猜測想 猜想，是指由直覺或某些數(shù)學事實，推測某個判斷或命題可能成立的一種創(chuàng)造性的思維活動過程?？茖W家都非常重視猜想的作用。譽滿世界被稱為數(shù)學王子的德國數(shù)學家高斯就曾深有體會地說：“沒有大膽的猜想就不可能有偉大的發(fā)現(xiàn)。”“若無某種放肆的猜想，一般是不可能有知識的進展的?！痹诮忸}過程中，通過猜想不僅可以得到問題的結論，而且還可以獲得解題的途徑，但應注意，由猜想所得出的結論不一定可靠，其正確性還必須經(jīng)過嚴格的邏輯證明或?qū)嵺`的檢驗。例9 正方形的邊長為1，分別是邊與邊上各一點。若的周長為2。求（88年國家隊選拔試題）例10已知圓內(nèi)接四邊形的對角線與相交于。求證：例11已知四面體的六條棱長之和為，并且，試求它的最大體積。（28屆IMO備選題）例12設正方體的棱長為，過棱上一點作一直線與棱和的延長線分別交于，試問：當在棱上移動時，線段最短時的長度是多少？證明你的結論。二精心地進行類比類比，是指人們在觀察或思考問題時，往往把相似的事物加以比較，并把處理某些事物的成功經(jīng)驗用到與其性質(zhì)相似的另一些事物上去的思維方式。在解題過程中，若能將它與相似的問題精心地進行類比，則往往可由此得到解題途徑，甚至發(fā)現(xiàn)新的知識。例13四邊形內(nèi)接于，對角線與相交于，設和的外接圓圓心分別為。求證：三直線共點。（90年全國高中聯(lián)試題）例14在四面體中，已知，試問：之間有何關系？證明你的結論。例16設是四體內(nèi)部的任意一點，和的延長線分別與面和交于。求證：三合理地利用特殊例17.和在邊的同側,且邊與邊相交于點.求證:.例18.已知半徑分別為、（）的兩圓內(nèi)切于，是外圓的直徑，的垂線與兩圓分別交于同側的兩點和，試求的外接圓直徑（83年蘇聯(lián)競賽題）例19設是的角平分線，且點共線（），則（79年蘇聯(lián)競賽題）例20已知菱形外切于，是與邊分別交于的的任一切線，求證：為定值。（89年蘇聯(lián)奧賽題）例21設是正三角形外接圓的劣弧上任一點，求證：（1）；（2）例22求證：頂點在單位圓上的銳角三角形的三個內(nèi)角的余弦之和小于這個三角形周長的一半。例23外接于，是弧上一點，過作的垂線，與分別于，與分別義于。求證：的充要條件是。例24在凸六邊形中，若對角線中的每一條都把六邊形分成面積相等的兩部分，則這三條對角線相交于一點（88年蘇聯(lián)奧賽題）習題1若是的的平分線，且，則（78年四川聯(lián)賽試題）2在中，任意延長到，再延長到，使。求證：的外心與四點共圓（94年全國初中聯(lián)賽試題）3平面上已給一銳角，以中直徑的圓交高及延長線于，以為直徑的圓交高及其延長線于，證明：四點共圓（90年美國19屆奧賽題）4已知一凸五邊形中，且，求證：（90年全國初中聯(lián)賽題）5在中，的對邊分別為，已知，求它的最大角的度數(shù)（90年蘇聯(lián)奧賽試題）6已知銳角的頂點到垂心，外心的距離相等，求（90年匈牙利奧賽題）7在三棱錐中，和都有等腰三角形，是邊上任意一點，在平面內(nèi)作于，是的中點，求證：為定值。9設不過給定的平行四邊形頂點的任一直線分別與直線交于，則與的另一交點必在定直線上。10設是任意四邊形（包括凹四邊形），則的充要條件是：（1912年匈牙利競賽試題）11如圖，圓的三條弦兩兩相交，交點分別為。若。求證：是正三角形。（28屆I