數(shù)學(xué)教學(xué)中的哲學(xué)內(nèi)涵與人文意境.pdf

數(shù)學(xué)教學(xué) 中的哲學(xué) 內(nèi)涵與人文意境 清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 1 0 o 0 8 4 韓云瑞 西 安 通 信 學(xué) 院 7 1 0 1 0 6 楊 東升 序 言 從古希臘時代開始 數(shù)學(xué)與哲學(xué) 美學(xué)就結(jié)下不解 之緣 著名數(shù)學(xué)史家克萊因指出 實用的 科學(xué)的 美 學(xué)的和哲學(xué)的因素 共同促進了數(shù)學(xué)的形成 在判定 數(shù)學(xué)的價值方面 美的滿足與實用的 科學(xué)的標準并駕 齊驅(qū) 1 恩格斯指出 數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點是笛卡爾的變數(shù) 有了變數(shù) 辯證法就進入了數(shù)學(xué) l 2 J 作為人類文明的 重要成果 微積分的原理和方法包含豐富的辯證思想 在教學(xué)過程中闡明微積分中的辯證思想和方法 不僅 能夠幫助學(xué)生從更高 更深的角度理解掌握微積分的 原理和方法 而且能夠提高運用微積分的方法 的自覺 性 并且有助于培養(yǎng)創(chuàng)造能力 數(shù)學(xué)美感是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分 數(shù)學(xué)美包 括數(shù)學(xué)的簡約 清晰和井然有序 數(shù)學(xué)的對稱 數(shù)學(xué)的 和諧 以及數(shù)學(xué)的奇異之美 數(shù)學(xué)之美不僅是可供欣賞 的藝術(shù) 也是啟迪數(shù)學(xué)情趣 啟發(fā)創(chuàng)造思維的工具 在 微積分中 數(shù)學(xué)之美更加多彩多姿 數(shù)學(xué)是抽象的 并且看起來往往是枯燥的 但是許 多概念和原理都能體現(xiàn)某種人文意境 這種意境可以 豐富數(shù)學(xué)的內(nèi)涵 激發(fā)學(xué)生的興趣 使得抽象枯燥的數(shù) 學(xué)概念變得生動活潑 平易近人 一 微積分 中的辯證思想 辯證法的核心是對立統(tǒng)一 即處在統(tǒng)一中的兩個 相對立的事物的相互矛盾 相互轉(zhuǎn)化 微積分的原理和 方法處處包含辯證思想 在教學(xué)中揭示各種概念之間 的辯證關(guān)系 是提高教學(xué)水平的有效途徑之一 1 有限和無限的辯證關(guān)系 無限和有限是相反的概念 但 是無限的概念是借助有限表述的 兩個概念之間的橋 梁是極限 2 函數(shù)的局部性質(zhì)和全局性質(zhì)是兩個相 反的概念 在一定條件下 局部性質(zhì)可以轉(zhuǎn)化為全局性 質(zhì) 3 演繹推理與歸納的辯證關(guān)系 數(shù)學(xué)不承認直 觀感覺和歸納得到的結(jié)論 但是基于直觀觀察的歸納 推理是數(shù)學(xué)創(chuàng)造的重要途徑 張景中先生指出 在某些 情形 歸納推理也可以證明定理 是演繹推理證明了 歸納推理的有效性 l 6 J 4 極限是因變量隨 自變量 的變化趨勢 但是極限概念必須用常量和不等式表述 顛倒變量的因果關(guān)系才能夠使極限概念具有可觀測 性 4 J 5 微積分主要研究非線性 非多項式的函數(shù) 但是用線性函數(shù)和多項式近似地表示 函數(shù)是研究函數(shù) 中學(xué)數(shù)學(xué)研究 編輯委員會 名譽主編 鐘集 顧問 以姓氏筆畫為序 王林全 張謀成 柳柏濂 主編 吳康 編委 以姓氏筆畫為序 孫道椿 呂偉泉 何小亞 陳焯榮 陳奇斌 林長好 林少杰 姚靜 章紹輝 黃志達 維普資訊 2 0 0 6年第 8期 中學(xué)數(shù)學(xué)研究 的重要方法 6 數(shù)學(xué)是精確的科學(xué) 數(shù)學(xué)模型要精 確 但是在建立模型時必須放棄對于絕對精確的追求 忽略次要因素 雖然偏離現(xiàn)實 但是能夠簡化問題 得 到與現(xiàn)實非常近似的結(jié)果 3 J 7 數(shù)學(xué)脫離現(xiàn)實而進 入抽象的最高層次 最抽象的東西 是解決現(xiàn)實問題最 有力的武器 這一悖論已經(jīng)被廣泛接受 l 8 數(shù)學(xué) 的體系結(jié)構(gòu)和證明必須符合邏輯 但是數(shù)學(xué)的創(chuàng)造發(fā) 明是非常不合邏輯的 1 l J 下面就其中幾個方面進行一些具體的分析 1 從有限到無限 以歐幾里得幾何為核心的古 希臘數(shù)學(xué) 具有封閉 靜止和有限的特點 古希臘的哲 學(xué)家和數(shù)學(xué)家排斥 甚至懼怕無限 由于沒有變化的觀 點和科學(xué)極限的理論 有限和無限之間有道不可逾越 的鴻溝 有人利用這道鴻溝制造了一些數(shù)學(xué)悖論 這些 悖論曾在數(shù)學(xué)界與哲學(xué)界引起恐慌 其中有個關(guān)于龜 兔賽跑的著名悖論 兔子永遠不能追上烏龜 因為每當 兔子追趕到烏龜原先的位置時 烏龜已前進到新的位 置 而且這個過程是無限的 在任何有限時間中 不可 能完成無限個過程 于是兔子永遠不能追上烏龜 J 今天 凡學(xué)過級數(shù)的學(xué)生都可解釋這件事情 盡管可以 人為地將兔子追趕烏龜?shù)倪^程分成無限多步 但是完 成這無限多步所需時間是有限的 2 從局部到全局 函數(shù)的局部性質(zhì)和全局性質(zhì) 是不同的性質(zhì) 但是在一定條件下 前者可以轉(zhuǎn)化為后 者 區(qū)分兩者 掌握由局部向全局轉(zhuǎn)化的條件 是微積 分的重要內(nèi)容 例如 函數(shù) 廠 在一點 的連續(xù)性是局部性質(zhì) 只反映當 一 時的某種趨勢 不包含 在點 o 以外其它點的任何信息 但函數(shù)的一致連續(xù)性是一種 在某個區(qū)間上的 全局性質(zhì) 若f 在 a b 處處連 續(xù) 則局部性質(zhì)就轉(zhuǎn)化為一致連續(xù)的全局性質(zhì) 又如 廠 0 是函數(shù) 廠 在點 o 的一種局部 性質(zhì) 只包含很少的信息 如果在某個區(qū)間 上處處有 廠 0 那么局部性質(zhì)就轉(zhuǎn)化為函數(shù)在這個區(qū)間上 的全局性質(zhì) 微分中值定理在這里起到關(guān)鍵作用 3 極限是因變量隨自變量變化的趨勢 是動態(tài)過 程 但極限概念的表述方式是靜態(tài)的 用常量表述 且在其表述中顛倒了變量間的因果關(guān)系 通常 數(shù)列極限l i ma A的所謂 直觀定義 是 n 當 n無限增大時 a 無限趨向于常數(shù)A 這種表述使人們腦子里出現(xiàn)一幅詩意的圖畫 孤 帆遠影碧空盡 惟見長江天際流 但是我們不能斷定帆 船是否真正駛往大海 也不知道帆船與大海之間還有 多少路程 因此依據(jù)直覺的表述既說不清 又靠不住 關(guān)于直覺的失敗 還可參考以下兩例 j 例 1 水果商販出售一批桃和梨 桃 5 元2只 梨5 元 3只 商販為算賬簡單 便按 l 0 元 5 只水果的方式出 售 他認為買賣雙方都不吃虧 但在結(jié)賬時 商販發(fā)現(xiàn) 自己虧了錢 顯然 商販的直覺錯了 例 2 某公 司招 聘 新職 員 甲種 崗位底 薪 是 l o o o 元 月 每月加薪 2 0 0元 乙種 崗位底 薪是 6 o o 元 月 每半月加薪 6 0元 兩種崗位都是每半月 發(fā)一次薪 多數(shù)人根據(jù)直覺選擇了甲種崗位 但實際情 況是 到了第 2 2 個月 乙種崗位的薪水就超過了甲種 崗位 由于這個答案與直覺不符 我們將兩種崗位的薪 水以半月為單位列表說明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 1 2 2 田 5 0 o 5 0 o 6 0 0 6 0 0 7 0 0 7 0 o 8 0 0 8 0 0 9 1 5 0 o 1 5 0 o 乙 3 0 0 3 印 4 4 8 0 5 4 0 6 0 0 6 6 0 7 加 7 1 5 0 o 1 5 6 0 為什么在許多情景直覺靠不住 一個原因是人有 限的直覺能力與客觀事物無限的變化之間的矛盾 靠 直覺表述概念帶來的另一個問題 是結(jié)論的不可觀測 性 任何一個概念 只有能夠被觀測到 檢測到 才能 夠?qū)τ谶@個概念進行運算 才能夠應(yīng)用 現(xiàn)在回到數(shù)列極限l i m a A的嚴格定義 n 如果對于任意給定的正數(shù) e 都能找到正整數(shù) 只要自然數(shù) n滿足n N 就有 I a 一A I 則稱 A 是數(shù)列 a 的極限 數(shù)列極限的這個定義 不是跟蹤變量 a 而是以 點 A為中心 任意畫一個開區(qū)間 A一 A 總存在 一 個正整數(shù) 當 n超過 時 a 就會進入這個區(qū)間 并且一旦進入 永遠不再離開 于是我們看到一種無限 追求和 義無反顧 的精神 7 1 這種由因變量反求 自變 量的方法 體現(xiàn)了用常量描述變量的變化趨勢和 以靜 制動 的辯證思想 極限保號性是極限的一個重要性質(zhì) 設(shè) l i m a A B 曰 于是在這里我們體會到一種 超越精神 在趨向于 維普資訊 2 中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2 0 0 6 年第 8 期 A的過程中 n 能夠超越任何一個比A小的 目標 教學(xué)實踐表明 對于抽象 枯燥的數(shù)學(xué)概念賦予這 樣的具有人文內(nèi)涵的解釋 這種看起來與數(shù)學(xué)毫不相 干的解釋能夠使人體會到一種寓意貼切 饒有興致的 人文意境 這個意境有時可以起到畫龍點睛的效果 二 辯證思想產(chǎn) 生的方法論 揭示微積分中的辯證思想不僅是為了解釋微積分 的內(nèi)容 也更深刻地理解和掌握微積分的方法 1 繁簡 難易 一般與特殊的關(guān)系及處理方法 在數(shù)學(xué)問題中 繁 與 簡 難 和 易 是相反的概 念 但是借助于一定的方法 繁 可以轉(zhuǎn)化為 簡 難 可以轉(zhuǎn)化為 易 一般與特殊的關(guān)系也如此 笛卡爾創(chuàng)造了一套尋求真理的方法 其第二條原 則是 把大問題分解為一些小難點 第三條是 由簡到 繁 笛卡爾的方法論對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了深刻影響 當人們面對一個難題或者復(fù)雜問題時 總是設(shè)法 通過轉(zhuǎn)化和分解的手段化解難點 降低難度和簡化問 題 當人們試圖解決比較一般性的問題時 往往先要考 慮一個特殊情形的問題 在解決特殊問題的過程中發(fā) 現(xiàn)規(guī)律 積累經(jīng)驗 這就是辯證法的運用 這是進行數(shù) 學(xué)研究的一個非常基本的方法 在微積分的定理證明 和問題中 這是一個經(jīng)常被用到的方法 例如 連續(xù)函數(shù)的零點定理是介值定理的特殊情 形 在證明過程中 我們先證明零點定理 然后借助于 一 個簡單的技巧將介值定理的證明轉(zhuǎn)化為零點定理的 推論 又例如 對于微分中值定理 先證明最簡單的羅 爾定理 然后借助于輔助函數(shù)的方法將更為一般 更難 的拉格朗13 定理和柯西定理轉(zhuǎn)化為羅爾定理的問題 再如 在格林公式 高斯公式和斯托克斯公式的證明過 程中 首先考慮一種簡單的區(qū)域 然后將一般的區(qū)域分 解成簡單的區(qū)域 從而達到先易后難 先特殊后一般 化繁為簡的目的 2 函數(shù)的近似表示 微積分主要研究非線性和 非多項式的函數(shù) 但用線性函數(shù)和多項式近似地表示 函數(shù) 并由此獲得函數(shù)的信息 是微積分的重要思想 函數(shù)微分是將曲線 面 變成直線 平面 的技巧 泰勒公式是將函數(shù)變成多項式的技巧 另外 用三角函 數(shù)多項式近似地表示周期函數(shù)也是微積分的重要方 法 但是在所有近似表示中 有兩個問題需要注意 第 一 微分和泰勒多項式的逼近效果是局部的 傅里葉級 數(shù) 部分和對于函數(shù)的逼近效果是整體的 第二 近似 表示的精確程度和計算的復(fù)雜度是相矛盾的 如果想 獲得更高的精度 就要在計算方面付出更多的代價 這 就是函數(shù)近似表示中的辯證法 就是微積分 中有關(guān)函 數(shù)近似表示的全部內(nèi)容 3 返璞歸真 追求 自然 張景 中先生有一句著 名的話 從學(xué)生頭腦中找概念 5 J 在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中 不管是概念的引入方式 還是定理證明的思路 應(yīng)當盡 量 自然 盡量與學(xué)生已有的經(jīng)驗銜接 抽象化和形式化是純數(shù)學(xué)的重要特征 但數(shù)學(xué)教 學(xué)應(yīng)避免對兩者的過度追求 試舉兩例 1 關(guān)于數(shù)列極限保號性 教材中有兩種表述方 式 若 l i m 0 A 0 則存在 自 然數(shù) v 當 n N n 時 恒有 0 0 設(shè)l i m 0 A l i m b B 若 A 日 則存在自然數(shù) v 當 n N時 恒有 n b 有人喜歡用后者表述前者 認為更具一般性 可以 推出前者 但兩個命題是等價的 更加重要的是 前者 更加簡約 而且更加確切地反映了極限的本質(zhì) 在許多 情形 簡約的 平易的表述方式能夠更加科學(xué) 清楚地 表述數(shù)學(xué)概念的實質(zhì) 2 考察二元函數(shù)微分概念的如下表述方式 定義 假設(shè)二元函數(shù) 廠 Y 在點 0 Y o 存在兩 個偏導(dǎo)數(shù) 和 如果當 一0 A y一0時有f x 0 y 0 y 一f X O Y o i x A x o 2 A y 則稱 I廠 Y 在點 粕 Y 0 可微 分 并且稱 和 的線性函數(shù) A y為 廠 Y 在點 0 Y 0 的微分 J 與許多教科書中關(guān)于微分的更抽象化的表述比 較 此定義絲毫不失科學(xué)性和一般性 但因放棄了對抽 象化和形式化的過度追求 使微分概念比較平易 且使 整個微分的概念體系變得更加簡約清晰 4 發(fā)展直覺思維能力 此處直覺 非指人的感官 的感覺 視覺 聽覺 觸覺 味覺和嗅覺 而是克萊因的 經(jīng)驗 感官和粗略猜想的結(jié)合 濃縮的經(jīng)驗 在 數(shù)學(xué)上 直覺能力可解釋為一種判斷力和洞察力 也是 學(xué)生的水平的一種反映 未經(jīng)嚴格的推理證明 未經(jīng)仔 細的計算 就能對于問題結(jié)論和解題思路作出初步的 正確的判斷 這就是直覺能力 直覺能力來源于知識的 積累 理解深入 見多識廣 以及正反兩方面的經(jīng)驗 直覺不能最終證明結(jié)論是否正確 但是直覺能力 維普資訊 2 0 0 6 年第 8 期 中學(xué)數(shù)學(xué)研究 3 與高解題能力和創(chuàng)造能力有密切的關(guān)系 由直覺能力 可以從一個側(cè)面判斷一名學(xué)生的數(shù)學(xué)能力 例如 某個極限問題是不是不定式 當 一 時 無窮大量 x p P 0 l n 與a x 1 是什么關(guān)系 rl 在瑕積分l 擴 1 一 口 l n x d x 中 l n 對于瑕點0 和1 J 0 各有什么影響 下列兩個命題是否正確 若 l i m廠 則 l i m f f 若 l i m f 則 l i m廠 事實證明 基本功扎實的學(xué)生已形成了一定的直 覺能力 能夠?qū)栴}作出正確的判斷 然后設(shè)法尋找依 據(jù)進行證明 基本功差的學(xué)生 則缺乏這種直覺能力 三 在欣賞數(shù)學(xué)美中提高興趣 啟發(fā)創(chuàng)新意識 數(shù)學(xué)美是一種超 自然的美 理性之美 數(shù)學(xué)美包括 簡約之美 對稱之美 和諧之美與奇異之美等 數(shù)學(xué)的 美感不僅是供欣賞的藝術(shù) 更是啟發(fā)創(chuàng)造能力的途徑 梭羅說 最美的必然 以數(shù)學(xué)形式來表達 畢達 哥拉斯宣稱地球是球形的 因為他認為球形是立體中 最美的形狀 數(shù)學(xué) 包括體系結(jié)構(gòu) 概念表述和分析證明的過 程 都應(yīng)當是簡約 清晰和井然有序的 追求數(shù)學(xué)的簡 約之美 與培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的教學(xué) 目標是一致的 數(shù)學(xué)的對稱之美在微積分中體現(xiàn)得淋漓盡致 例 如 一元函數(shù)與多元函數(shù)的對稱 連續(xù)變量與離散變量 的對稱 微分與積分的對稱 無窮積分與瑕級分的對稱 以及反常積分與級數(shù)的對稱等等 根據(jù)瑕積分與無窮 積分的對稱性 可以得到關(guān)于瑕積分的概念和所有的 收斂判別法 根據(jù)微分與積分的對稱 由微分法可以得 到求原函數(shù)的各種技巧等 在微積分中 數(shù)學(xué)的奇異之美往往可以激發(fā)學(xué)生 的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)造意識 所謂奇異 是指那些有悖于直 覺 直觀與經(jīng)驗 的現(xiàn)象和規(guī)律 對于初學(xué)者來說 微 積分充滿了奇異之美 例如 處處間斷的函數(shù) 僅在整 數(shù)點連續(xù) 其它都是第二類間斷點的函數(shù) 廠 o 0 但是在 的任意鄰域中都不單調(diào)的函數(shù) 二元 函數(shù)極限中的種種奇異現(xiàn)象 條件收斂的級數(shù)改變求 和次序居然能夠收斂于任意實數(shù)等 由于教學(xué)計劃的約束 在非數(shù)學(xué)專業(yè)的微積分教 學(xué)中 一般回避這些問題 但這沒有妨礙學(xué)生的好奇心 和鉆研精神 至少對于部分學(xué)生 數(shù)學(xué)的奇異之美可使 他們增長學(xué)數(shù)學(xué)的興趣 在鉆研和思考中提高水平 結(jié)束語 教育數(shù)學(xué)的一個重要原則 是讓數(shù) 學(xué)適合于教 育 為了達到這樣 的目的 我們應(yīng)當運用教育數(shù)學(xué) 的思想 認真地審視現(xiàn)有的數(shù)學(xué)知識的體系結(jié)構(gòu)與表 述方式 從數(shù)學(xué)方面對于有關(guān)的內(nèi)容進行深入研究 以 更加科學(xué) 更加簡約和更加平易的方式向?qū)W生傳授那 些最值得傳授的知識 揭示數(shù)學(xué)中的哲學(xué)內(nèi)涵 發(fā)掘數(shù) 學(xué)教學(xué) 中的人文意境 對于數(shù)學(xué)教學(xué)是一件很有意義 因而值得探討的工作 參考文獻 1 克萊 因 西方文化 中的數(shù)學(xué) 張祖 貴譯 上海 復(fù) 旦大 學(xué) 出版社 2 0 0 5 2 李心燦 微積分的創(chuàng)立者及其先驅(qū) 北京 高等教育出版 社 2 0 0 2 3 M 克萊因 數(shù)學(xué)與知識的探求