條件概率試題.doc

2.2.1條件概率【學(xué)習(xí)要求】1理解條件概率的定義2掌握條件概率的計(jì)算方法3利用條件概率公式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題【學(xué)法指導(dǎo)】理解條件概率可以以簡(jiǎn)單事例為載體，先從古典概型出發(fā)求條件概率，然后再進(jìn)行推廣；計(jì)算條件概率可利用公式P(B|A)也可以利用縮小樣本空間的觀點(diǎn)計(jì)算.1條件概率的概念設(shè)A，B為兩個(gè)事件，且P(A)0，稱(chēng)P(B|A) 為在事件 發(fā)生的條件下，事件 發(fā)生的條件概率P(B|A)讀作 發(fā)生的條件下 發(fā)生的概率2條件概率的性質(zhì)(1)P(B|A) (2)如果B與C是兩個(gè)互斥事件，則P(BC|A) .一點(diǎn)通求條件概率一般有兩種方法：一是對(duì)于古典概型類(lèi)題目，可采用縮減基本事件總數(shù)的辦法來(lái)計(jì)算，P(B|A)，其中n(AB)表示事件AB包含的基本事件個(gè)數(shù)，n(A)表示事件A包含的基本事件個(gè)數(shù)二是直接根據(jù)定義計(jì)算，P(B|A)，特別要注意P(AB)的求法例1一只口袋內(nèi)裝有2個(gè)白球和2個(gè)黑球，那么： (1)先摸出1個(gè)白球不放回，再摸出1個(gè)白球的概率是多少？ (2)先摸出1個(gè)白球后放回，再摸出1個(gè)白球的概率是多少？ 思路點(diǎn)撥先摸出1個(gè)白球后放回或不放回，影響到后面取到白球的概率，應(yīng)注意兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率的不同精解詳析(1)設(shè)“先摸出1個(gè)白球不放回”為事件A，“再摸出1個(gè)白球”為事件B，則“先后兩次摸到白球”為AB，先摸1球不放回，再摸1球共有43種結(jié)果P(A)，P(AB).P(B|A).(2)設(shè)“先摸出1個(gè)白球放回”為事件A1，“再摸出1個(gè)白球”為事件B1，兩次都摸到白球?yàn)槭录嗀1B1.P(A1)，P(A1B1).P(B1|A1).故先摸1個(gè)白球不放回，再摸出1個(gè)白球的概率為；先摸1個(gè)白球后放回，再摸出1個(gè)白球的概率為.1拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的所有可能結(jié)果為1,2,3,4,5,6，記事件A2,3,5，B1,2,4,5,6，則P(A|B)()A.B. C. D.解析：P(B)，P(AB)，P(A|B)2已知P(A|B)，P(B)，則P(AB)_.解析：P(A|B)，P(AB)P(A|B)P(B).3甲、乙兩地都位于長(zhǎng)江下游，根據(jù)一百多年的氣象記錄，知道甲、乙兩地一年中雨天所占的比例分別為20%和18%，兩地同時(shí)下雨的比例為12%，問(wèn)：(1)乙地為雨天時(shí)甲地也為雨天的概率是多少？(2)甲地為雨天時(shí)乙地也為雨天的概率是多少？解：設(shè)“甲地為雨天”為事件A，“乙地為雨天”為事件B，由題意，得P(A)0.20，P(B)0.18，P(AB)0.12.(1)乙地為雨天時(shí)甲地也為雨天的概率是P(A|B)0.67.(2)甲地為雨天時(shí)乙地也為雨天的概率是P(B|A)0.60.探究點(diǎn)一條件概率問(wèn)題13張獎(jiǎng)券中只有1張能中獎(jiǎng)，現(xiàn)分別由3名同學(xué)無(wú)放回地抽取，問(wèn)最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率是否比其他同學(xué)??？答最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率為，不比其他同學(xué)小問(wèn)題2如果已知第一名同學(xué)沒(méi)有抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券，那么最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率是多少？答按照古典概型的計(jì)算公式，此時(shí)最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率為.小結(jié)已知第一名同學(xué)的抽獎(jiǎng)結(jié)果會(huì)影響最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率，這就是條件概率例1在5道題中有3道理科題和2道文科題如果不放回地依次抽取2道題，求：(1)第1次抽到理科題的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科題的概率；(3)在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率解設(shè)“第1次抽到理科題”為事件A，“第2次抽到理科題”為事件B，則“第1次和第2次都抽到理科題”就是事件AB.(1)從5道題中不放回地依次抽取2道的事件數(shù)為n()A20.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，n(A)AA12.于是P(A).(2)因?yàn)閚(AB)A6，所以P(AB).(3)方法一由(1)(2)可得，在“第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題”的概率為P(B|A).方法二因?yàn)閚(AB)6，n(A)12，所以P(B|A).小結(jié)利用P(B|A)解答問(wèn)題的關(guān)鍵在于明確B中的基本事件空間已經(jīng)發(fā)生了質(zhì)的變化，即在A事件必然發(fā)生的前提下，B事件包含的樣本點(diǎn)數(shù)即為事件AB包含的樣本點(diǎn)數(shù)跟蹤訓(xùn)練1一個(gè)盒子中有6個(gè)白球、4個(gè)黑球，每次從中不放回地任取1個(gè)，連取兩次，求第一次取到白球的條件下，第二次取到黑球的概率解方法一記“第一次取到白球”為事件A，“第二次取到黑球”為事件B.顯然，事件“第一次取到白球，第二次取到黑球”的概率為P(AB).由條件概率的計(jì)算公式，得P(B|A).方法二這個(gè)問(wèn)題還可以這樣理解：第一次取到白球，則只剩9個(gè)球，其中5個(gè)白球，4個(gè)黑球，在這個(gè)前提下，第二次取到黑球的概率當(dāng)然是.探究點(diǎn)二條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用問(wèn)題條件概率滿足哪些性質(zhì)？答條件概率具有一般概率的性質(zhì)，即對(duì)P(B|A)來(lái)說(shuō)有：0P(B|A)1；如果B，C為互斥事件，則P(BC|A)P(B|A)P(C|A)例2一張儲(chǔ)蓄卡的密碼共有6位數(shù)字，每位數(shù)字都可從09中任選一個(gè)某人在銀行自動(dòng)提款機(jī)上取錢(qián)時(shí)，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，求：(1)任意按最后一位數(shù)字，不超過(guò)2次就按對(duì)的概率；(2)如果他記得密碼的最后一位是偶數(shù)，不超過(guò)2次就按對(duì)的概率解設(shè)“第i次按對(duì)密碼”為事件Ai(i1,2)，則AA1(A2)表示“不超過(guò)2次就按對(duì)密碼”(1)因?yàn)槭录嗀1與事件A2互斥，由概率的加法公式得P(A)P(A1)P(A2).(2)用B表示“最后一位按偶數(shù)”的事件，則P(A|B)P(A1|B)P(A2|B).小結(jié)本題條件多，所設(shè)事件多，要分清楚事件之間的關(guān)系及誰(shuí)是條件，同時(shí)利用公式P(BC|A)P(B|A)P(C|A)可使有些條件概率的計(jì)算較為簡(jiǎn)捷，但應(yīng)注意這個(gè)性質(zhì)在“B與C互斥”這一前提下才成立跟蹤訓(xùn)練2在某次考試中，從20道題中隨機(jī)抽取6道題，若考生至少能答對(duì)其中的4道即可通過(guò)；若至少能答對(duì)其中5道就獲得優(yōu)秀已知某考生能答對(duì)其中10道題，并且知道他在這次考試中已經(jīng)通過(guò)，求他獲得優(yōu)秀成績(jī)的概率解設(shè)事件A為“該考生6道題全答對(duì)事件B為“該考生答對(duì)了其中5道題，另一道答錯(cuò)”，事件C為“該考生答對(duì)了其中4道題，另兩道答錯(cuò)”,事件D為“該考生在這次考試中通過(guò)”，事件E為“該考生在這次考試中獲得優(yōu)秀”，則A、B、C兩兩互斥，且DABC，由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)P(ABC)P(A)P(B)P(C) P(AD)P(AD)P(A)，P(BD)P(BD)P(B)，P(E|D)P(AB|D)P(A|D)P(B|D) .所以他獲得優(yōu)秀成績(jī)的概率是1.某種動(dòng)物能活到20歲的概率為0.8，能活到25歲的概率為0.4，現(xiàn)有一只20歲的這種動(dòng)物，問(wèn)它能活到25歲的概率是_解析設(shè)事件A為“能活到20歲”，事件B為“能活到25歲”，則P(A)0.8，P(B)0.4，而所求概率為P(B|A)，由于BA，故ABB，于是P(B|A)0.5，所以一只20歲的這種動(dòng)物能活到25歲的概率是0.5.21,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件A“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)等于（）A. B. C. D.解析P(A)，P(AB)，P(B|A).3某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的條件下，則他在周六晚值班的概率為_(kāi)解析設(shè)事件A為“周日值班”，事件B為“周六值班”則P(A)，P(AB)，故P(B|A).4考慮恰有兩個(gè)小孩的家庭若已知某家有男孩，求這家有兩個(gè)男孩的概率；若已知某家第一個(gè)是男孩，求這家有兩個(gè)男孩(相當(dāng)于第二個(gè)也是男孩)的概率(假定生男生女為等可能)解(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)設(shè)B“有男孩”，則B(男，男)，(男，女)，(女，男)A“有兩個(gè)男孩”，則A(男，男)，B1“第一個(gè)是男孩”，則B1(男，男)，(男，女)于是得P(B)，P(BA)P(A)，P(A|B)；P(B1)，P(B1A)P(A)，P(A|B1).1條件概率：P(B|A).2概率P(B|A)與P(AB)的區(qū)別與聯(lián)系：P(AB)表示在樣本空間中，計(jì)算AB發(fā)生的概率，而P(B|A)表示在縮小的樣本空間A中，計(jì)算B發(fā)生的概率用古典概型公式，則P(B|A)，P(AB).方法 規(guī)律 小結(jié)1計(jì)算條件概率要明確： (1)準(zhǔn)確理解條件概率的概念：條件概率中的兩個(gè)事件是互相影響的，其結(jié)果受兩個(gè)條件的概率的制約； (2)要正確求出條件概率，必須首先弄清楚“事件A發(fā)生”“事件A發(fā)生并且事件B也發(fā)生”“事件B在事件A發(fā)生的條件下發(fā)生”的概率之間的