高等數(shù)學(xué)(一)學(xué)習(xí)筆記.pdf

Mark Ma5 7 11Page 1 of 6 高等數(shù)學(xué) 一 學(xué)習(xí)筆記 一 函數(shù) 極限 連續(xù)一 函數(shù) 極限 連續(xù)一 函數(shù) 極限 連續(xù)一 函數(shù) 極限 連續(xù) 1 函數(shù)的概念設(shè) x 和 y 是兩個變量 D 是一個給定的數(shù)集 如果對于每一個數(shù) xD 變量 y 按照一定的 法則總有確定的數(shù)值和它對應(yīng) 則稱 y 是 x 的函數(shù) 記做 y f x 2 函數(shù)的奇偶性 單調(diào)性 周期性和有界性 奇偶性 設(shè)函數(shù) f x 的定義域 D 關(guān)于原點(diǎn)對稱 即若 xD 則 必 xD 如果對于任意 xD f x f x 恒成立 則稱 f x 為偶函數(shù) 如果對于任意 xD f x f x 恒成立 則稱 f x 為奇函數(shù) 單調(diào)性 設(shè)函數(shù) f x 的定義域?yàn)?D 區(qū)間 ID 如果對于區(qū)間 I 上的任意兩點(diǎn) x1 及 x2 當(dāng) x1 x2 時 f x1 f x2 恒成立 則稱 f x 為在區(qū)間 I 上 單調(diào)減少 有界性 設(shè)函數(shù) f x 的定義域?yàn)?D 數(shù)集 XD 如果存在正數(shù) M 使得對于任一 xX f x M 恒成 立 則稱 f x 為在區(qū)間 X 上有界 周期性 設(shè)函數(shù) f x 的定義域?yàn)?D 如果存在一個不為零的數(shù) l 使得對于任一 xD 有 xlD 且 f x l f x 恒成立 則稱 f x 為周期函數(shù) l 為 f x 為最小周期 3 復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念 了解反函數(shù)及隱函數(shù)概念 復(fù)合函數(shù) 設(shè)函數(shù) f u 的定義域?yàn)?D1 u 定義域?yàn)?D2 值域?yàn)?W2 若 W2D1 則稱 y f x x 為復(fù)合函數(shù) 4 基本初等函數(shù)的性質(zhì)及圖形 冪函數(shù) y u 為常數(shù) u 1 2 3 1 1 2 為常見函數(shù) 記住圖形 x 指數(shù)函數(shù) y a 為常數(shù) 且 a 0 a1 定義域?yàn)?一 值域?yàn)?0 且過 0 1 點(diǎn) 即圖形完 x a 全在 x 軸上方 I 若 a 1 則指數(shù)函數(shù)是單調(diào)增加的 若 a0 a1 定義域?yàn)?0 值域?yàn)?一 且過 1 0 點(diǎn) 即圖形 x a 完全在 y 軸右方 I 若 a 1 則對數(shù)函數(shù)是單調(diào)增加的 若 aN 時的 一切 不等式都成立 那幺就稱常數(shù) a 是數(shù)列的極限 或者稱數(shù)列收斂于 a 記為 n x axn n x n x 或 n axn n lim n xa 1 定理一 極限唯一性 數(shù)列不能收斂于兩個不同的極限 n x 2 定理二 收斂數(shù)列有界性 如果數(shù)列收斂 那幺數(shù)列一定有界 n x n x 2 Mark Ma5 7 11Page 2 of 6 6 函數(shù)的極限 1 x時的極限 0 x 定義 如果對于任意給定的正數(shù) 不論它多幺小 總存在正數(shù) 使得對于 x 一 時的一切 0 x x 對應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式 f x A 0 或 A0 或 f x X 時的一切 x 對應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式 f x A M 時 有 g x f x h x 2 lim g x A lim h x A 那麼 lim f x 存在且為 A 夾逼準(zhǔn)則 準(zhǔn)則二 單調(diào)有界數(shù)列必有極限 兩個重要極限公式 1 sin lim 0 x x x e n n n 1 1 lim 10 函數(shù)的連續(xù)性概念 3 Mark Ma5 7 11Page 3 of 6 定義定義定義定義 設(shè)函數(shù) y f x 在點(diǎn) x0的某一鄰域內(nèi)有定義 如 果函數(shù) f x 當(dāng) x時的極限存在且等於它在 x0點(diǎn) 0 x 處的函數(shù)值 f x0 即 那麼就稱函數(shù) f x 在點(diǎn) x0連續(xù) 也可用 或 定義 lim 0 0 xfxf xx x y 左 連續(xù)和右連續(xù)的概念 間斷點(diǎn)類型間斷點(diǎn)類型間斷點(diǎn)類型間斷點(diǎn)類型 I 第一類間斷點(diǎn) A 可去間斷點(diǎn) 即左 右極限相等 B 跳躍間斷點(diǎn) 即左 右極限不相等 II 第二類間斷點(diǎn) A 無窮間斷點(diǎn) 即極限為 B 振蕩間斷點(diǎn) 連續(xù)函數(shù)的和 乘積 商均連續(xù) 分母不為 0 反函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)的連續(xù)性 若原函數(shù)在某區(qū)間上單值 單增 減 且連續(xù) 則其反函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間上也單值 單增 減 且連續(xù) 複合函數(shù)極限與連續(xù)的關(guān)係複合函數(shù)極限與連續(xù)的關(guān)係複合函數(shù)極限與連續(xù)的關(guān)係複合函數(shù)極限與連續(xù)的關(guān)係 若 而函數(shù) y f u 在 u a 處連續(xù) 那麼複合函數(shù)極限存在 ax xx lim 0 lim 0 afxf xx 若函數(shù) u 在 x x0處連續(xù) 且 u0 而函數(shù) y f u 在 u u0處連續(xù) 那麼複合函數(shù) y f x 0 x x 在 x0也是連續(xù)的 基本初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)的連續(xù)性 在它們定義域內(nèi)都是連續(xù)的 初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性 在它們定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的 提供了求極限的一個方法 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) I 最大值和最小值定理 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值 而且也一定有界 II 零點(diǎn)定理 閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù) 若端點(diǎn)值異號 那麼在這開區(qū)間內(nèi) 至少有一個零值點(diǎn) III 介值定理 閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù) 若端點(diǎn)值為 A 和 B 那麼在這開區(qū)間內(nèi) 至少有一個點(diǎn)使得 函數(shù)值介于 A 和 B 之間 推論 閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值 M 和最小值 m 之間的任何值 二 一元函數(shù)微分學(xué)二 一元函數(shù)微分學(xué)二 一元函數(shù)微分學(xué)二 一元函數(shù)微分學(xué) 一一一一 導(dǎo)數(shù)與微分 導(dǎo)數(shù)與微分 導(dǎo)數(shù)與微分 導(dǎo)數(shù)與微分 1 導(dǎo)數(shù)定義 設(shè) y f x 在點(diǎn) x0的某個領(lǐng)域內(nèi)有定義 且當(dāng)自變量 x 在 x0 處取得增量 n 點(diǎn) x0 n 仍在 該領(lǐng)域內(nèi) 時 相應(yīng)的函數(shù) y 取得增量 m f x0 n 一 f x0 如果 m 與 n 之比當(dāng) n 趨向于 0 時的極限存 在 則稱函數(shù) y f x 在點(diǎn) x0 處可導(dǎo) 并稱這個極限為函數(shù) y f x 在點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù) 記為 y x x0 即 y x x0 或 f n m n0 lim n xfnxf n lim 00 0 0 x dx dy 0 xx dx xdf 0 xx 2 導(dǎo)函數(shù)定義 f x 注 在某點(diǎn)的極限過程中 x 是常量 n 是變量 n xfnxf n lim 0 3 可導(dǎo)的充要條件 I 在處 左導(dǎo)數(shù) f 和右導(dǎo)數(shù) f 存在且相等 II 在開區(qū)間 a b 0 x 0 x 0 x 內(nèi)任意點(diǎn)都可導(dǎo) 且右導(dǎo)數(shù) f a 和左導(dǎo)數(shù) f b 存在 則 f x 在 a b 上可導(dǎo) 4 切線方程 000 xxxfyy 法線方程 1 0 0 0 xx xf yy 5 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)係 可導(dǎo)一定連續(xù) 連續(xù)不一定可導(dǎo) 6 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等於直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù) 即 無需換元 1 y xf 7 複合函數(shù)的求導(dǎo) 複合前之各函數(shù)在其有效的定義域內(nèi)可導(dǎo) 則複合函數(shù)也可導(dǎo) 且 dx du du dy dx dy 8 高階導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) 需熟記基本初等函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和部分的 n 階導(dǎo)數(shù) 見附件 9 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法 一般地 兩邊都對 x 求導(dǎo)即可 10 參數(shù)方程函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 一般地 相關(guān)變化率 dy dt 和 dx dt dt dx dt dy dx dy 4 Mark Ma5 7 11Page 4 of 6 11 微分 通俗說 自變量的增量即微分 記為 dy f x dx 微分不變性 無論 u 是自變量還是另一變量的可微函數(shù) 微分的形式 dy f u du 保持不變 微分近似計算公式 f x f x0 f x0 x x0 可取 x0 0 已簡化計算 二二二二 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 1 儸爾定理 如果函數(shù) f x 在閉區(qū)間 a b 上連續(xù) 在開區(qū)間 a b 內(nèi)可導(dǎo) 且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相 等 即 f a f b 那麼在 a b 內(nèi)至少有一點(diǎn) a b 使得該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零 即 f 0 2 拉格朗日中值定理 如果函數(shù) f x 在閉區(qū)間 a b 上連續(xù) 在開區(qū)間 a b 內(nèi)可導(dǎo) 那麼在 a b 內(nèi) 至少有一點(diǎn) a b 使等式 f b f a f b a 成立 3 柯西中值定理 如果函數(shù) f x F x 在閉區(qū)間 a b 上連續(xù) 在開區(qū)間 a b 內(nèi)可導(dǎo) 且 F x 在 a b 內(nèi)的每一點(diǎn)都不為零 那麼在 a b 內(nèi)至少有一點(diǎn) a b 使等式 F f aFbF afbf 成立 4 儸比塔法則 條件 原式為或 其它部分如 0 一 00 0 lim lim xF xf xF xf 0 0 也可適用 但后者不存在 并不表示前者不存在 5 泰勒中值定理 如果函數(shù) f x 在含有 x0的某個開區(qū)間 a b 內(nèi)具有直到 n 1 階的導(dǎo)數(shù) 則當(dāng) x 在 a b 內(nèi)時 f x 可表示為 的一個 n 次多項(xiàng)式與一個余項(xiàng)之和 0 xx 其中 2 0 02 0 0 000 xRxx n xf xx xf xxxfxfxf n n n 這裡是 x0與 x 之間的某個值 1 0 1 1 n n n xx n f xR 6 麥克勞林公式 在上式中 令 x0 0 并令 0 0 那麼函數(shù) f x 在閉區(qū)間 a b 上單調(diào)增加 2 如果在 a b 內(nèi) f x 0 那麼函數(shù) f x 在閉區(qū)間 a b 上單調(diào)減少 8 函數(shù)的極值 設(shè)函數(shù) f x 在區(qū)間 a b 上有定義 x0是 a b 內(nèi)的點(diǎn) 在這一點(diǎn)的去心鄰域內(nèi) I 若 f x f x0 則 f x0 為 f x 的一個極 小值 定理定理定理定理 1 1 極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)為 0 的點(diǎn) 或連續(xù)點(diǎn) 若該點(diǎn)不可導(dǎo) 駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn) 如 y x3 中 x 0 點(diǎn)僅是駐點(diǎn) 定理定理定理定理 2 2 第一充分 設(shè) f x 在點(diǎn) x0的一個鄰域內(nèi)可導(dǎo)且 f x0 0 I 左側(cè) f x 0 右側(cè) f x 0 則極大值 II 左側(cè) f x 0 則極小值 III 左右側(cè) 恒正或恒負(fù) 非 極值點(diǎn) 定理定理定理定理 3 第二充分 設(shè) f x 在點(diǎn) x0的一個鄰域內(nèi)可導(dǎo)且 f x0 0 f x0 0 那麼 I f x0 0 極小值 9 最大值和最小值 I 變區(qū)間連續(xù) 開區(qū)間可導(dǎo) 則端點(diǎn)值與極值相比較可得出 II 任意區(qū)間可 導(dǎo)且只有一個駐點(diǎn) 且就是極值點(diǎn) 則其就是最值點(diǎn) 10 曲線的凹凸與拐點(diǎn) 凹凸定義凹凸定義凹凸定義凹凸定義 設(shè) f x 在 a b 內(nèi)連續(xù) 如果對 a b 內(nèi)任意兩點(diǎn) x1 和 x2 恒有 f x1 x2 2 f x1 f x2 2 那麼其在 a b 內(nèi)的圖形是凹的 如果恒有大於 則是凸的 如果 在 a b 上連續(xù) 且在 a b 內(nèi)的圖形是凹 或凸 的 那麼就稱其在 a b 上的圖形是凹 或凸 的 凹凸判定方法凹凸判定方法凹凸判定方法凹凸判定方法 用二階導(dǎo)數(shù)來判定 設(shè) f x 在 a b 上連續(xù) 在 a b 內(nèi)有一階和二階導(dǎo)數(shù) 則 I I 二階導(dǎo)數(shù)大於 0 則在 a b 是凹的 IIII 二階導(dǎo)數(shù)小於 0 則在 a b 是凸的 IIIIII 拐點(diǎn) 凹凸弧的 分界點(diǎn)為拐點(diǎn) 其二階導(dǎo)數(shù)為 0 但二階導(dǎo)數(shù)為 0 的點(diǎn)不一定是拐點(diǎn) 5 Mark Ma5 7 11Page 5 of 6 函數(shù)圖形描繪函數(shù)圖形描繪函數(shù)圖形描繪函數(shù)圖形描繪 確定定義域 求一 二階導(dǎo)數(shù)為 0 的實(shí)根 劃分定義域 確定升降 凹凸 極值 點(diǎn) 拐點(diǎn) 確定水平 垂直漸進(jìn)線 在補(bǔ)充一些點(diǎn) 11 曲率 弧微分 ds dxy 2 1 平均曲率 單位弧段上切線轉(zhuǎn)角的大小 記為 K 即 K 其極限即為曲率 圓 K 1 r s 曲率公式 曲率圓於曲率半徑 2 32 1 y y K 三 一元函數(shù)積分學(xué)三 一元函數(shù)積分學(xué)三 一元函數(shù)積分學(xué)三 一元函數(shù)積分學(xué) 一一一一 不定積分 不定積分 不定積分 不定積分 1 原函數(shù)定義 如果在區(qū)間 I 內(nèi) 可導(dǎo)函數(shù) F x 的導(dǎo)數(shù)為 f x 則稱 F x 是 f x 在區(qū)間 I 上的原函 數(shù) 連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù) 2 不定積分定義 在區(qū)間 I 內(nèi) 函數(shù) f x 的帶有任意常項(xiàng)的原函數(shù)稱為 f x 在區(qū)間 I 內(nèi)的不定積 分 記作 dxxf 3 不定積分性質(zhì) I 函數(shù)的和的不定積分等於各個函數(shù)的不定積分的和 II 常數(shù)可提到外面 4 第一類換元積分法 設(shè) f u 具有原函數(shù) u v x 可導(dǎo) 則有換元公式 xvu duufdxxvxvf 5 第二類換元積分法 設(shè) x v t 是單調(diào)可導(dǎo)的 並且 v t 0 又設(shè) f v t v t 有原函數(shù) 則有公 式 xvt dttvtvfdxxf 使用技巧 I I 如果被積函數(shù)含有 可作代換 x asint IIII 如果被積函數(shù)含有 22 xa 22 ax 可作代換 x atgt IIIIII 如果被積函數(shù)含有 可作代換 x asect 實(shí)際中 需靈活 22 ax 6 分部積分法 即 vduuvudv 使用技巧 I I xusinx cosx 和 xuax類型 設(shè)冪函數(shù) xu U IIII xulogax和 xuarc 類型 設(shè) log 或 arc 為 U 7 有理函數(shù)的積分 I I 真分式可分解成多項(xiàng)式和假分式之和 IIII 若假分式分母 Q x 能分解成一次 因式和二次質(zhì)因式的乘積 則此式可分解成和的形式 IIIIII 若 Q x 含有因式 x 一 a k 則分解后有 下列之和 IVIV 若 Q x 含有因式 x2 px q k 且 p2 4q 則分 1 21 kk ax A ax A ax Ak 解后有下列之和 V V 需求出待定系數(shù) A 12 22 2 11 kk qpxx NxM qpxx NxM qpxx NxM kk 2 M N 等 VIVI 分解后 只出現(xiàn)多項(xiàng)式和及 最后者應(yīng)用配方公式可求 n ax A n qpxx NxM 2 得 即 結(jié)論結(jié)論結(jié)論結(jié)論 有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù) 有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù) 有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù) 有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù) 4 2 2 22 p q p xqpxx 8 三角函數(shù)的有理式積分 I I 定義 三角函數(shù) 均可化成 sinx 和 cosx 的形式 和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算所構(gòu)成的函數(shù) IIII 規(guī)則 將正 余弦化成半角正切的形式 見下式 IIIIII 做變換 即可轉(zhuǎn)為有理式 2 1 2 2 2 sec 2 2 2 cos 2 sin2sin 22 x tg x tg x x tg xx x 2 1 2 1 2 sec 2 1 2 sin 2 coscos 2 2 2 2 22 x tg x tg x x tg xx x 6 Mark Ma5 7 11Page 6 of 6 作 u tg x 2 替換即可化簡為有理式 9 簡單無理函數(shù)的積分 形如及積分均可變量代換去根號變?yōu)橛欣硎角蠓e分 之後再代回 n baxxR n ecx bax xR 二二二二 定積分 定積分 定積分 定積分 1 定義 n i ii b a xfdxxf 1 0 lim 2 充分條件 I 設(shè) f x 在 a b 上連續(xù) 則在 a b 上可積 II 有界 且只有有限間斷點(diǎn) 則可積 3 定積分性質(zhì) 5 6 7 需 a b 的條件 I I 和差性 IIII 常數(shù)性 IIIIII 區(qū)間可分性 IVIV 若 f x 1 V V 若 f x 0 則積分0 VIVI b a abdx1 b a abMdxxfabm VIIVII 定積分中值定理 若連續(xù) 則至少存在一點(diǎn)滿足 b a abfdxxf 4 積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 若 f x 在 a b 連續(xù) 則積分上限函數(shù)在 a b 上有導(dǎo) x a dttfx 數(shù) x 在 a b x a xfdttf dx d x 5 牛頓 萊布尼玆公式 若 f x 連續(xù) 則 F x 為其一原函 b a b a b