數(shù)列創(chuàng)新題.doc

9.(湖北省八校高2008第二次聯(lián)考)在數(shù)列中，若（為常數(shù)），則稱為“等差比數(shù)列”. 下列是對(duì)“等差比數(shù)列”的判斷：不可能為0 等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列 等比數(shù)列一定是等差比數(shù)列 等差比數(shù)列中可以有無數(shù)項(xiàng)為0其中正確的判斷是（ ）A B C D 答案：D10.(湖南省岳陽(yáng)市2008屆高三第一次模擬)對(duì)于一個(gè)有限數(shù)列，的蔡查羅和（蔡查羅為一數(shù)學(xué)家）定義為，其中，若一個(gè)99項(xiàng)的數(shù)列的蔡查羅和為1000，那么100項(xiàng)數(shù)列的蔡查羅和為（ ）A991 B.992 C.993 D.999答案：A設(shè)等比數(shù)列的首相為，公比為q ，則“ 0 且0 q 1）。設(shè)=+.+ ,=-+.+(-1 ,n (I) 若= 1，d=2，q=3，求 的值；(II) 若=1，證明（1-q）-（1+q）=，n； () 若正數(shù)n滿足2nq，設(shè)的兩個(gè)不同的排列， ， 證明。本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力，推理論證能力及綜合分析和解決問題的能力的能力，滿分14分。（）解：由題設(shè)，可得所以， （）證明：由題設(shè)可得則 式減去式，得 式加上式，得 式兩邊同乘q，得 所以， ()證明： 因?yàn)樗?（1） 若，取i=n （2） 若，取i滿足且由（1）,(2)及題設(shè)知，且 當(dāng)時(shí)，得即，又所以 因此 當(dāng)同理可得，因此 綜上，37.（2009年上海卷理）已知是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列。（1） 若，是否存在，有說明理由； （2） 找出所有數(shù)列和，使對(duì)一切,并說明理由；（3） 若試確定所有的，使數(shù)列中存在某個(gè)連續(xù)項(xiàng)的和是數(shù)列中的一項(xiàng)，請(qǐng)證明。解法一（1）由，得， 2分整理后，可得，、，為整數(shù)， 不存在、，使等式成立。 5分（2）若，即， （*）（）若則。 當(dāng)為非零常數(shù)列，為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求。 7分（）若，（*）式等號(hào)左邊取極限得，（*）式等號(hào)右邊的極限只有當(dāng)時(shí)，才能等于1。此時(shí)等號(hào)左邊是常數(shù)，矛盾。綜上所述，只有當(dāng)為非零常數(shù)列，為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求。10分【解法二】設(shè) 則（i） 若d=0，則 （ii） 若（常數(shù)）即，則d=0，矛盾綜上所述，有， 10分（3） 設(shè).，. 13分取 15分由二項(xiàng)展開式可得正整數(shù)M1、M2，使得（4-1）2s+2=4M1+1, 故當(dāng)且僅當(dāng)p=3s,sN時(shí)，命題成立. 說明：第（3）題若學(xué)生從以下角度解題，可分別得部分分（即分步得分）若p為偶數(shù)，則am+1+am+2+am+p為偶數(shù)，但3k為奇數(shù)故此等式不成立，所以，p一定為奇數(shù)。當(dāng)p=1時(shí)，則am+1=bk,即4m+5=3k，而3k=(4-1)k=當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，存在，使3k成立 1分當(dāng)p=3時(shí)，則am+1+am+2+am+3=bk,即3am+2-bk, 也即3（4m+9）=3k,所以4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1由已證可知，當(dāng)k-1為偶數(shù)即k為奇數(shù)時(shí)，存在m, 4m+9=3k成立 2分當(dāng)p=5時(shí)，則am+1+am+2+am+5=bk,即5am+3=bk也即5（4m+13）=3k,而3k不是5的倍數(shù)，所以，當(dāng)p=5時(shí)，所要求的m不存在故不是所有奇數(shù)都成立. 2分38.(2009重慶卷理）設(shè)個(gè)不全相等的正數(shù)依次圍成一個(gè)圓圈（）若，且是公差為的等差數(shù)列，而是公比為的等比數(shù)列；數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，求通項(xiàng)；（）若每個(gè)數(shù)是其左右相鄰兩數(shù)平方的等比中項(xiàng)，求證：； 解：（I）因是公比為d的等比數(shù)列，從而 由 ，故 解得或（舍去）。因此 又 。解得從而當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由是公比為d的等比數(shù)列得因此（II）由題意得有得 由，得， 故. 又，故有.下面反證法證明：若不然，設(shè)若取即，則由得，而由得得由得而及可推得（）與題設(shè)矛盾同理若P=2，3，4，5均可得（）與題設(shè)矛盾,因此為6的倍數(shù)由均值不等式得由上面三組數(shù)內(nèi)必有一組不相等（否則，從而與題設(shè)矛盾），故等號(hào)不成立，從而又，由和得因此由得8.（2009冠龍高級(jí)中學(xué)3月月考）由函數(shù)確定數(shù)列，函數(shù)的反函數(shù)能確定數(shù)列，若對(duì)于任意，都有，則稱數(shù)列是數(shù)列的“自反數(shù)列”。(1)若函數(shù)確定數(shù)列的自反數(shù)列為，求的通項(xiàng)公式；(2)在(1)條件下，記為正數(shù)數(shù)列的調(diào)和平均數(shù)，若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的調(diào)和平均數(shù)，求；(3)已知正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)之和。求的表達(dá)式。解：(1)由題意的：f 1(x)= f(x)=，所以p = 1，所以an= (2) an=，dn=n， Sn為數(shù)列dn的前n項(xiàng)和，Sn=，又Hn為數(shù)列Sn的調(diào)和平均數(shù)，Hn= = (3)因?yàn)檎龜?shù)數(shù)列cn的前n項(xiàng)之和Tn=(cn+)，所以c1=(c1+)，解之得：c1=1，T1=1 當(dāng)n2時(shí)，cn = TnTn1，所以2Tn = TnTn1 +， Tn +Tn1 = ，即：= n，所以，= n1，= n2，=2，累加得：=2+3+4+ n， =1+2+3+4+ n =，Tn=16.(黑龍江省哈爾濱九中2008年第三次模擬考試)已知