2020年高中數(shù)學(xué)《等差數(shù)列前N項(xiàng)和的公式》說(shuō)課稿.doc

高中數(shù)學(xué)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式說(shuō)課稿 以下是高中數(shù)學(xué)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式說(shuō)課稿，僅供參考。 教學(xué)目標(biāo) A、知識(shí)目標(biāo)： 掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法;掌握公式的運(yùn)用。 B、能力目標(biāo)： (1)通過(guò)公式的探索、發(fā)現(xiàn)，在知識(shí)發(fā)生、發(fā)展以及形成過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力。 (2)利用以退求進(jìn)的思維策略，遵循從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生在實(shí)踐中通過(guò)觀察、嘗試、分析、類比的方法導(dǎo)出等差數(shù)列的求和公式，培養(yǎng)學(xué)生類比思維能力。 (3)通過(guò)對(duì)公式從不同角度、不同側(cè)面的剖析，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。 C、情感目標(biāo)：(數(shù)學(xué)文化價(jià)值) (1)公式的發(fā)現(xiàn)反映了普遍性寓于特殊性之中，從而使學(xué)生受到辯證唯物主義思想的熏陶。 (2)通過(guò)公式的運(yùn)用，樹立學(xué)生大眾教學(xué)的思想意識(shí)。 (3)通過(guò)生動(dòng)具體的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，令人著迷的數(shù)學(xué)史，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，樹立學(xué)生求真的勇氣和自信心，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的心理體驗(yàn)，產(chǎn)生熱愛數(shù)學(xué)的情感。 教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式。 教學(xué)難點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式的靈活運(yùn)用。 教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)、討論、引導(dǎo)式。 教具：現(xiàn)代教育多媒體技術(shù)。 教學(xué)過(guò)程 一、創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課。 師：上幾節(jié)，我們已經(jīng)掌握了等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式及其有關(guān)性質(zhì)，今天要進(jìn)一步研究等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。提起數(shù)列求和，我們自然會(huì)想到德國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家高斯神速求和的故事，小高斯上小學(xué)四年級(jí)時(shí)，一次教師布置了一道數(shù)學(xué)習(xí)題：把從1到100的自然數(shù)加起來(lái)，和是多少?年僅10歲的小高斯略一思索就得到答案5050，這使教師非常吃驚，那么高斯是采用了什么方法來(lái)巧妙地計(jì)算出來(lái)的呢?如果大家也懂得那樣巧妙計(jì)算，那你們就是二十世紀(jì)末的新高斯。(教師觀察學(xué)生的表情反映，然后將此問(wèn)題縮小十倍)。我們來(lái)看這樣一道一例題。 例1，計(jì)算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10. 這道題除了累加計(jì)算以外，還有沒有其他有趣的解法呢?小組討論后，讓學(xué)生自行發(fā)言解答。 生1:因?yàn)?+10=2+9=3+8=4+7=5+6，所以可湊成5個(gè)11，得到55。 生2：可設(shè)S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10，根據(jù)加法交換律，又可寫成S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。 上面兩式相加得2S=11+10+.+11=1011=110 10個(gè) 所以我們得到S=55， 即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 師：高斯神速計(jì)算出1到100所有自然數(shù)的各的方法，和上述兩位同學(xué)的方法相類似。 理由是：1+100=2+99=3+98=.=50+51=101，有50個(gè)101，所以1+2+3+.+100=50101=5050。請(qǐng)同學(xué)們想一下，上面的方法用到等差數(shù)列的哪一個(gè)性質(zhì)呢? 生3：數(shù)列an是等差數(shù)列，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq. 二、教授新課(嘗試推導(dǎo)) 師：如果已知等差數(shù)列的首項(xiàng)a1，項(xiàng)數(shù)為n，第n項(xiàng)an，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，如何來(lái)導(dǎo)出它的前n項(xiàng)和Sn計(jì)算公式呢?根據(jù)上面的例子同學(xué)們自己完成推導(dǎo)，并請(qǐng)一位學(xué)生板演。 生4：Sn=a1+a2+.an-1+an也可寫成 Sn=an+an-1+.a2+a1 兩式相加得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+.(an+a1) n個(gè) =n(a1+an) 所以Sn= (I) 師：好!如果已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，項(xiàng)數(shù)為n，則an=a1+(n-1)d代入公式(1)得 Sn=na1+ d(II)上面(I)、(II)兩個(gè)式子稱為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。公式(I)是基本的，我們可以發(fā)現(xiàn)，它可與梯形面積公式(上底+下底)高2相類比，這里的上底是等差數(shù)列的首項(xiàng)a1，下底是第n項(xiàng)an，高是項(xiàng)數(shù)n。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：這些公式中出現(xiàn)了幾個(gè)量?(a1，d，n，an，Sn)，它們由哪幾個(gè)關(guān)系聯(lián)系?an=a1+(n-1)d，Sn= =na1+ d;這些量中有幾個(gè)可自由變化?(三個(gè))從而了解到：只要知道其中任意三個(gè)就可以求另外兩個(gè)了。下面我們舉例說(shuō)明公式(I)和(II)的一些應(yīng)用。 三、公式的應(yīng)用(通過(guò)實(shí)例演練，形成技能)。 1、直接代公式(讓學(xué)生迅速熟悉公式，即用基本量觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)公式)例2、計(jì)算： (1)1+2+3+.+n (2)1+3+5+.+(2n-1) (3)2+4+6+.+2n (4)1-2+3-4+5-6+.+(2n-1)-2n 請(qǐng)同學(xué)們先完成(1)-(3)，并請(qǐng)一位同學(xué)回答。 生5：直接利用等差數(shù)列求和公式(I)，得 (1)1+2+3+.+n= (2)1+3+5+.+(2n-1)= (3)2+4+6+.+2n= =n(n+1) 師：第(4)小題數(shù)列共有幾項(xiàng)?是否為等差數(shù)列?能否直接運(yùn)用Sn公式求解?若不能，那應(yīng)如何解答?小組討論后，讓學(xué)生發(fā)言解答。 生6：(4)中的數(shù)列共有2n項(xiàng)，不是等差數(shù)列，但把正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)分開，可看成兩個(gè)等差數(shù)列，所以 原式=1+3+5+.+(2n-1)-(2+4+6+.+2n) =n2-n(n+1)=-n 生7：上題雖然不是等差數(shù)列，但有一個(gè)規(guī)律，兩項(xiàng)結(jié)合都為-1，故可得另一解法： 原式=-1-1-.-1=-n n個(gè) 師：很好!在解題時(shí)我們應(yīng)仔細(xì)觀察，尋找規(guī)律，往往會(huì)尋找到好的方法。注意在運(yùn)用Sn公式時(shí)，要看清等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，否則會(huì)引起錯(cuò)解。 例3、(1)數(shù)列an是公差d=-2的等差數(shù)列，如果a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，求a1，d，S10。 生8：(1)由a1+a2+a3=12得3a1+3d=12，即a1+d=4 又d=-2，a1=6 S12=12a1+66(-2)=-60 生9：(2)由a1+a2+a3=12，a1+d=4 a8+a9+a10=75，a1+8d=25 解得a1=1，d=3S10=10a1+ =145 師：通過(guò)上面例題我們掌握了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式。在Sn公式有5個(gè)變量。已知三個(gè)變量，可利用構(gòu)造方程或方程組求另外兩個(gè)變量(知三求二)，請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)例3自己編題，作為本節(jié)的課外練習(xí)題，以便下節(jié)課交流。 師：(繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生，將第(2)小題改編) 數(shù)列an等差數(shù)列，若a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，且Sn=145，求a1，d，n 若此題不求a1，d而只求S10時(shí)，是否一定非來(lái)求得a1，d不可呢?引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)，用整體思想考慮求a1+a10的值。 2、用整體觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)Sn公式。 例4，在等差數(shù)列an，(1)已知a2+a5+a12+a15=36，求S16;(2)已知a6=20，求S11。(教師啟發(fā)學(xué)生解) 師：來(lái)看第(1)小題，寫出的計(jì)算公式S16= =8(a1+a6)與已知相比較，你發(fā)現(xiàn)了什么? 生10：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，有a1+a16=a2+a15=a5+a12=18，所以S16=818=144。 師：對(duì)!(簡(jiǎn)單小結(jié))這個(gè)題目根據(jù)已知等式是不能直接求出a1，a16和d的，但由等差數(shù)列的性質(zhì)可求a1與an的和，于是這個(gè)問(wèn)題就得到解決。這是整體思想在解數(shù)學(xué)問(wèn)題的體現(xiàn)。 師：由于時(shí)間關(guān)系，我們對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn的運(yùn)用一一剖析，引導(dǎo)學(xué)生觀察當(dāng)d0時(shí)，Sn是n的二次函數(shù)，那么從二次(或一次)的函數(shù)的觀點(diǎn)如何來(lái)認(rèn)識(shí)Sn公式后，這留給同學(xué)們課外繼續(xù)思考。 最后請(qǐng)大家課外思考Sn公式(1)的逆命題： 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若對(duì)于所有自然數(shù)n，都有Sn= 。數(shù)列an是否為等差數(shù)列，并說(shuō)明理由。 四、小結(jié)與作業(yè)。 師：接下來(lái)請(qǐng)同學(xué)們一起來(lái)小結(jié)本節(jié)課所講的內(nèi)容。 生11：1、用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式。 2、用所推導(dǎo)的兩個(gè)公式解決有關(guān)例題，熟悉對(duì)Sn公式的運(yùn)用。 生12：1、運(yùn)用Sn公式要注意此等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n的值。 2、具體用Sn公式時(shí)，要根據(jù)已知靈活選擇公式(I)或(II)，掌握知三求二的解題通法。 3、當(dāng)已知條件不足以求此項(xiàng)a1和公差d時(shí)，要認(rèn)真觀察，靈活應(yīng)用等