（浙江專用）高考數(shù)學(xué) 專題七 立體幾何 第55練 空間角與空間距離的求解練習(xí).doc

【步步高】（浙江專用）2017年高考數(shù)學(xué) 專題七 立體幾何 第55練 空間角與空間距離的求解練習(xí)訓(xùn)練目標(biāo)(1)會(huì)求線面角、二面角；(2)會(huì)解決簡(jiǎn)單的距離問(wèn)題.訓(xùn)練題型(1)求直線與平面所成的角；(2)求二面角；(3)求距離.解題策略利用定義、性質(zhì)去“找”所求角，通過(guò)解三角形求角的三角函數(shù)值，盡量利用特殊三角形求解.一、選擇題1.(2015上海閔行區(qū)三模)如圖，在底面是邊長(zhǎng)為a的正方形的四棱錐pabcd中，已知pa平面abcd，且paa，則直線pb與平面pcd所成的角的余弦值為()a. b.c. d.2(2015邯鄲上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))在正四棱錐pabcd中，pa2，直線pa與平面abcd所成角為60，e為pc的中點(diǎn)，則異面直線pa與be所成的角為()a90 b60c45 d303.如圖所示，在三棱錐sabc中，abc是等腰三角形，abbc2a，abc120，sa3a，且sa平面abc，則點(diǎn)a到平面sbc的距離為()a. b.c. d.二、填空題4(2015麗水二模)如圖，在正方體abcda1b1c1d1中，點(diǎn)m為平面abb1a1的中心，則mc1與平面bb1c1c所成角的正切值為_(kāi)5如圖所示，在三棱錐sabc中，sbc，abc都是等邊三角形，且bc1，sa，則二面角sbca的大小為_(kāi)6.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體abcda1b1c1d1中，點(diǎn)p在線段ad1上運(yùn)動(dòng)，給出以下命題：異面直線c1p與cb1所成的角為定值；二面角pbc1d的大小為定值；三棱錐dbpc1的體積為定值；異面直線a1p與bc1間的距離為定值其中真命題的個(gè)數(shù)為_(kāi)三、解答題7(2015浙江名校交流卷)如圖，在abc中，abc45，點(diǎn)o在ab上，且obocab，po平面abc，dapo，daaopo.(1)求證：pb平面cod；(2)求二面角ocda的余弦值8(2015寧波二模)如圖，正四棱錐sabcd中，saab2，e，f，g分別為bc，sc，cd的中點(diǎn)設(shè)p為線段fg上任意一點(diǎn)(1)求證：epac；(2)當(dāng)p為線段fg的中點(diǎn)時(shí)，求直線bp與平面efg所成角的余弦值9(2015安徽江南十校上學(xué)期期末大聯(lián)考)如圖，四棱錐pabcd中，底面abcd為矩形，pa底面abcd，且pb與底面abcd所成的角為45，e為pb的中點(diǎn)，過(guò)a，e，d三點(diǎn)的平面記為，pc與的交點(diǎn)為q.(1)試確定q的位置并證明；(2)求四棱錐pabcd被平面所分成上下兩部分的體積之比；(3)若pa2，截面aeqd的面積為3，求平面與平面pcd所成的銳二面角的正切值答案解析1d設(shè)b到平面pcd的距離為h，直線pb與平面pcd所成的角為，則由等體積法可得aahaaa，ha.又pba，sin ，又(0，)，cos .故選d.2c如圖，連接ac，bd交于點(diǎn)o，連接oe，op.因?yàn)閑為pc中點(diǎn)，所以oepa，所以oeb即為異面直線pa與be所成的角因?yàn)樗睦忮Fpabcd為正四棱錐，所以po平面abcd，所以ao為pa在平面abcd內(nèi)的射影，所以pao即為pa與平面abcd所成的角，即pao60.因?yàn)閜a2，所以oaob1，oe1.所以在直角三角形eob中，oeb45，即異面直線pa與be所成的角為45.故選c.3a作adcb交cb的延長(zhǎng)線于點(diǎn)d，連接sd，如圖所示sa平面abc，bc平面abc，sabc.又bcad，saada，sa平面sad，ad平面sad，bc平面sad，又bc平面sbc，平面sbc平面asd，且平面sbc平面asdsd.在平面asd內(nèi)，過(guò)點(diǎn)a作ahsd于點(diǎn)h，則ah平面sbc，ah的長(zhǎng)即為點(diǎn)a到平面sbc的距離在rtsad中，sa3a，adabsin 60a.由，得ah，即點(diǎn)a到平面sbc的距離為.4.解析如圖，過(guò)點(diǎn)m作bb1的垂線，垂足為n，則mn平面bb1c1c，連接nc1，則mc1n為mc1與平面bb1c1c所成的角設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2a，則mna，nc1a，所以tanmc1n.560解析取bc的中點(diǎn)o，連接so，ao，因?yàn)閍bac，o是bc的中點(diǎn)，所以aobc，同理可證sobc，所以soa是二面角sbca的平面角在aob中，aob90，abo60，ab1，所以ao1sin 60.同理可求so.又sa，所以soa是等邊三角形，所以soa60，所以二面角sbca的大小為60.64解析對(duì)于，因?yàn)樵诶忾L(zhǎng)為1的正方體abcda1b1c1d1中，點(diǎn)p在線段ad1上運(yùn)動(dòng)，在正方體中有b1c平面abc1d1，而c1p平面abc1d1，所以b1cc1p，所以這兩個(gè)異面直線所成的角為定值90，故正確；對(duì)于，因?yàn)槎娼莗bc1d的實(shí)質(zhì)為平面abc1d1與平面bdc1所成的二面角，而這兩個(gè)平面為固定不變的平面，所以?shī)A角也為定值，故正確；對(duì)于，三棱錐dbpc1的體積還等于三棱錐pdbc1的體積，而dbc1面積一定，又因?yàn)閜ad1，而ad1平面bdc1，所以點(diǎn)a到平面dbc1的距離即為點(diǎn)p到該平面的距離，所以三棱錐的體積為定值，故正確；對(duì)于，因?yàn)橹本€a1p和bc1分別位于平面add1a1，平面bcc1b1中，且這兩個(gè)平面平行，由異面直線間的距離定義及求法，知這兩個(gè)平面間的距離即為所求的異面直線間的距離，所以這兩個(gè)異面直線間的距離為定值，故正確7(1)證明因?yàn)閜o平面abc，adpo，ab平面abc，所以poab，daab.又daaopo，所以aod45.因?yàn)閛bab，所以oaab，所以oaob，又aopo，所以obop，所以obp45，即odpb.又pb平面cod，od平面cod，所以pb平面cod.(2)解如圖，過(guò)a作amdo，垂足為m，過(guò)m作mncd于n，連接an，則anm為二面角ocda的平面角設(shè)ada，在等腰直角三角形aod中，得ama，在直角三角形cod中，得mna，在直角三角形amn中，得ana，所以cosanm.8(1)證明設(shè)ac交bd于o，sabcd為正四棱錐，so底面abcd，bdac，又ac平面abcd，soac，bdsoo，ac平面sbd，e，f，g分別為bc，sc，cd的中點(diǎn)，fgsd，bdeg.又fgegg，sdbdd，平面efg平面bsd，ac平面gef.又pe平面gef，peac.(2)解過(guò)b作bhge于h，連接ph，bdac，bdgh，bhac，由(1)知ac平面gef，則bh平面gef.bph就是直線bp與平面efg所成的角在rtbhp中，bh，ph，pb，故cosbph.9解(1)q為pc的中點(diǎn)證明如下：因?yàn)閍dbc，ad平面pbc，bc平面pbc，故ad平面pbc.又由于平面平面pbceq，故adeq，所以bceq.又e為pb的中點(diǎn)，故q為pc的中點(diǎn)(2)如圖，連接eq，dq，因?yàn)閜a底面abcd，所以pb與底面abcd所成的角為pba45.故paab.又因?yàn)閑為pb的中點(diǎn)，所以peae.因?yàn)樗倪呅蝍bcd是矩形，所以adab.又pa底面abcd，ad底面abcd，所以adpa.又paaba，所以ad平面pab，又pe平面pab，所以adpe.又aeada，ae平面，ad平面，故pe平面.設(shè)pah，ad2a，設(shè)四棱錐pabcd被平面所分成的上下兩部分的體積分別為v1和v2，則eqa.又因?yàn)閍d平面pab，ae平面pab，所以adae.v上pes梯形aeqd(a2a)，v下pas底面abcdv上h2ah，所以.(3)過(guò)e作efdq，連接pf，因?yàn)閜e平面，所以pedf.又由于efpee，所以df平面pef，則df